人教A版数学必修一到必修四知识点测试.docx
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人教A版数学必修一到必修四知识点测试
一、单选题(每题5分,共60分)
1.设集合,,,则
A.B.C.D.
2.设,,则
A.B.C.D.
3.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的个数()
①若则∥;②若∥,,则;
③若∥,则∥;④若,则.
A.1B.2C.3D.4
4.已知直线的方程为,则点关于的对称点的坐标为( )
A.B.C.D.
5.为计算,设计了下面的程序框图,则在空白框中应填入
A.
B.
C.
D.
6.如图,在正方体中,为的中点,则在该正方体各个面上的正投影可能是()
①②③④
A.①②B.②④C.②③D.①④
7.某同学在研究性学习中,收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量(单位:
万盒)的数据如下表所示:
若线性相关,线性回归方程为,估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量为()
A.万盒B.万盒C.万盒D.万盒
8.向上抛掷一颗骰子1次,设事件A表示向上的一面出现奇数点,事件B表示向上的一面出现的点数不超过3,事件C表示向上的一面出现的点数不小于4,则( )
A.A与B是互斥而非对立事件B.A与B是对立事件
C.B与C是互斥而非对立事件D.B与C是对立事件
9.动直线:
()与圆:
交于点,,则弦最短为()
A.B.C.D.
10.函数的图象大致为
A.AB.BC.CD.D
11.设点,,直线过点,且与线段相交,则的斜率的取值范围( )
A.或B.C.D.以上都不对
12.已知函数.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()
A.[–1,0)B.[0,+∞)C.[–1,+∞)D.[1,+∞)
二、填空题(每题5分,共20分)
13.已知,,则__________.
14.已知函数有且只有一个零点,则实数b的取值范围是______.
15.将两颗质地均匀的骰子抛掷一次,记第一颗骰子出现的点数是,记第二颗骰子出现的点数是,向量,向量,则向量的概率是_______.
16.函数在的零点个数为________.
三、解答题
17.(10分)已知集合,
(1)求集合;
(2)若,,求实数的取值范围.
18.(12分)如图,在三棱锥中,,,为的中点.
(1)证明:
平面;
(2)若点在棱上,且,求点到平面的距离.
19.(12分)某城市的华为手机专卖店对该市市民使用华为手机的情况进行调查.在使用华为手机的用户中,随机抽取100名,按年龄(单位:
岁)进行统计的频率分布直方图如图:
(1)根据频率分布直方图,分别求出样本的平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数的估计值(均精确到个位);
(2)在抽取的这100名市民中,按年龄进行分层抽样,抽取20人参加华为手机宣传活动,再从这20人中年龄在和的人群里,随机选取2人各赠送一部华为手机,求这2名市民年龄都在内的概率.
20.(12分)设向量,,记
(1)求函数的单调递减区间;
(2)求函数在上的值域.
21.(12分)已知点在圆上运动,且存在一定点,点为线段的中点.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)过且斜率为的直线与点的轨迹交于不同的两点,是否存在实数使得,并说明理由.
22.(12分)已知函数(且)是定义在上的奇函数.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求函数的值域;
(Ⅲ)当时,恒成立,求实数的取值范围.
参考答案
1.C2.B3.B4.B5.B6.D7.C8.D9.D10.B11.A12.C13.14.
15.16.
17.
(1);
(2)
解析:
(1)
(2),①若,则
②若,则,综上:
18.解:
(1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=.
连结OB.因为AB=BC=,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB==2.
由知,OP⊥OB.
由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面ABC.
(2)作CH⊥OM,垂足为H.又由
(1)可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM.
故CH的长为点C到平面POM的距离.
由题设可知OC==2,CM==,∠ACB=45°.
所以OM=,CH==.
所以点C到平面POM的距离为.
19.
(1)见解析
(2)
详解:
(Ⅰ)平均值的估计值:
中位数的估计值:
因为,
所以中位数位于区间年龄段中,设中位数为,
所以,.
(Ⅱ)用分层抽样的方法,抽取的20人,应有4人位于年龄段内,记为,2人位于年龄段内,记为.
现从这6人中随机抽取2人,设基本事件空间为,则
设2名市民年龄都在为事件A,则,所以.
20.
(1);
(2).
详解:
(1)依题意,得
.由,解得
故函数的单调递减区间是.
(2)由
(1)知,当时,得,所以,所以,所以在上的值域为.
21.
(1);
(2)见解析.
详解:
(1)由中点坐标公式,得即,.∵点在圆上运动,∴,即,整理,得.∴点的轨迹的方程为.
(2)设,,直线的方程是,代入圆.
可得,由,得,且,,∴.
.解得或1,不满足.
∴不存在实数使得.
22.(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ).
试题解析:
(Ⅰ)∵是上的奇函数,∴,
即.整理可得.
(注:
本题也可由解得,但要进行验证)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,
∴函数在上单调递增,又,∴,
∴.∴函数的值域为.
(Ⅲ)当时,.
由题意得在时恒成立,
∴在时恒成立.令,
则有,∵当时函数为增函数,
∴.∴.故实数的取值范围为.
参考答案
1.C
【解析】分析:
由题意首先进行并集运算,然后进行交集运算即可求得最终结果.
详解:
由并集的定义可得:
,
结合交集的定义可知:
.
本题选择C选项.
点睛:
本题主要考查并集运算、交集运算等知识,意在考查学生的计算求解能力.
2.B
【解析】分析:
求出,得到的范围,进而可得结果。
详解:
.
即
又
即
故选B.
点睛:
本题主要考查对数的运算和不等式,属于中档题。
3.B
【解析】分析:
根据直线与平面的位置关系的判定和性质,即可判定命题的真假.
详解:
对于①中,若,则或,所以不正确;
对于②中,若,则,又由,所以是正确;
对于③中,若,则或与相交,所以不正确;
对于④中,若,则,又由,所以是正确的,
综上正确命题的个数为2个,故选B.
点睛:
本题考查线面位置关系的判定与证明,熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定定理和性质定理及几何特征是解答的关键,其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型:
(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行;
(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直;(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.
4.B
【解析】分析:
设点是关于的对称点,根据轴对称的性质建立关于的方程组,解出且,即可得到点关于的对称点坐标.
详解:
设是关于的对称点,
则有,解得且,
所以坐标为,即为所求的点的坐标,故选B.
点睛:
本题主要考查了点关于定直线的对称点的坐标,着重考查了直线的基本量与基本形式、轴对称的性质等知识,以及学生的推理与运算能力.
5.B
【解析】分析:
根据程序框图可知先对奇数项累加,偶数项累加,最后再相减.因此累加量为隔项.
详解:
由得程序框图先对奇数项累加,偶数项累加,最后再相减.因此在空白框中应填入,选B.
点睛:
算法与流程图的考查,侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念,包括选择结构、循环结构、伪代码,其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件,更要通过循环规律,明确流程图研究的数学问题,是求和还是求项.
6.D
【解析】分析:
由题意需要从三个角度对正方体进行平行投影,首先确定关键点P、A在各个面上的投影,再把它们连接起来,即,△PAC在该正方体各个面上的射影.
详解:
从上下方向上看,△PAC的投影为①图所示的情况;
从左右方向上看,△PAC的投影为④图所示的情况;
从前后方向上看,△PAC的投影为④图所示的情况;
故答案为:
D
点睛:
本题主要考查了平行投影和空间想象能力,关键是确定投影图得关键点,如顶点等,再一次连接即可得在平面上的投影图,主要依据平行投影的含义和空间想象来完成.
7.C
【解析】分析:
由题意,根据表格中的数据求得样本中心为,代入回归直线,解得,得到回归直线的方程,即可作出预测.
详解:
由题意,根据表格中的数据可知:
,
即样本中心为,代入回归直线,解得,即
令,解得万盒,故选C.
点睛:
本题主要考查了回归直线分析问题,其中牢记回归直线的特征是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.
8.D
【解析】分析:
根据互斥事件和对立事件的概念,逐一判定即可.
详解:
对于A、B中,当向上的一面出现点数时,事件同时发生了,所以事件与不是互斥事件,也不是对立事件;对于事件与不能同时发生且一定有一个发生,所以事件与是对立事件,故选D.
点睛:
本题主要考查了互斥事件与对立事件的判定,其中熟记互斥事件和对立事件的基本概念是判定的关键,试题比较基础,属于基础题.
9.D
【解析】分析:
因为直线经过(2,﹣2),因为圆C截得的弦AB最短,则和AB垂直的直径必然过此点,则求出此直径所在直线的方程,根据两直线垂直得到两条直线的斜率乘积为﹣1,即可求出m值,然后利用勾股定理即可求出最短弦.
详解:
由直线l:
可知直线l过(2,﹣2);
因为圆C截得的弦AB最短,则和AB垂直的直径必然过此点,
且由圆C化简得
则圆心坐标为(1,2)
然后设这条直径所在直线的解析式为l1:
y=mx+b,
把(2,﹣2)和(1,2)代入求得y=﹣4x+6,
因为直线l1和直线AB垂直,两条直线的斜率乘积为﹣1,所以得m=﹣4,
即直线:
弦最短为
故选:
D.
点睛:
这个题目考查的是直线和圆的位置关系,一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的,联立的时候较少;还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距离时,一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离,再加减半径,分别得到最大值和最小值。
10.B
【解析】分析:
通过研究函数奇偶性以及单调性,确定函数图像.
详解:
为奇函数,舍去A,
舍去D;
,
所以舍去C;因此选B.
点睛:
有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路
(1)由函数的定义域,判断图象左右的位置,由函数的值域,判断图象的上下位置;②由函数的单调性,判断图象的变化趋势;③由函数的奇偶性,判断图象的对称性;④由函数的周期性,判断图象的循环往复.
11.A
【解析】分析:
画出图形,由题意得所求直线的斜率满足或,用直线的斜率公式求出和的值,求出直线的斜率的取值范围.
详解:
如图所示,由题意,所求直线的斜率满足或,
即或,所以或,
即直线的斜率的取值范围是或,故选A.
点睛:
本题主要考查了直线的斜率公式的应用,体香里数形结合的数学思想,解题的关键是利用数形结合思想,解题过程较为直观,本题类似的题目较多,可以移动一个点的坐标,变式处其他的题目.
12.C
【解析】分析:
首先根据g(x)存在2个零点,得到方程有两个解,将其转化为有两个解,即直线与曲线有两个交点,根据题中所给的函数解析式,画出函数的图像(将去掉),再画出直线,并将其上下移动,从图中可以发现,当时,满足与曲线有两个交点,从而求得结果.
详解:
画出函数的图像,在y轴右侧的去掉,
再画出直线,之后上下移动,
可以发现当直线过点A时,直线与函数图像有两个交点,
并且向下可以无限移动,都可以保证直线与函数的图像有两个交点,
即方程有两个解,
也就是函数有
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