人教版第二十六章反比例函数教案全章解答.docx
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人教版第二十六章反比例函数教案全章解答
第二十六章反比例函数
26.1.1反比例函数的意义
、教学目标
1•使学生理解并掌握反比例函数的概念
2•能判断一个给定的函数是否为反比例函数,并会用待定系数法求函数解析式
3•能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式,体会函数的模型思想、重、难点
1•重点:
理解反比例函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式
2•难点:
理解反比例函数的概念
3.难点的突破方法:
(1)在引入反比例函数的概念时,可适当复习一下第11章的正比例函数、一次函数等相关知识,这样以旧带新,相互对比,能加深对反比例函数概念的理解
k
(2)注意引导学生对反比例函数概念的理解,看形式y,等号左边是函数y,等
x
号右边是一个分式,自变量x在分母上,且x的指数是1,分子是不为0的常数k;看自变量x的取值范围,由于x在分母上,故取x工0的一切实数;看函数y的取值范围,因为k丰0,且xm0,所以函数值y也不可能为0。
讲解时可对照正比例函数y=kx(k丰0),比较二者解析式的相同点和不同点。
k1
(3)y(km0)还可以写成y=kx(km0)或xy=k(kM0)的形式
x
三、课堂引入
1、回忆一下什么是正比例函数、一次函数?
它们的一般形式是怎样的?
2、体育课上,老师测试了百米赛跑,那么,时间与平均速度的关系是怎样的?
3、阅读书P2思考题
四、例习题分析
k
-,再把x=2和y=6代入上式求出
x
例1.P3
分析:
因为y是x的反比例函数,所以先设y
常数k,即利用了待定系数法确定函数解析式。
例1.(补充)下列等式中,哪些是反比例函数
1
(6)y3(7)y=x—4
x
k
分析:
根据反比例函数的定义,关键看上面各式能否改写成y=k(k为常数,kM0)
x
1+3x
的形式,这里
(1)、(7)是整式,(4)的分母不是只单独含x,(6)改写后是y=「^分子不是常数,只有
(2)、(3)、(5)能写成定义的形式
3_2
例2•(补充)当m取什么值时,函数y=(m~2)x是反比例函数?
分析:
反比例函数y=k(k工0)的另一种表达式是y=kx」(k工0),后一种写法
x
中x的次数是一1因此m的取值必须满足两个条件,即m—2工0且3—m2=-1特别注
意不要遗漏k丰0这一条件,也要防止出现3—m2=1的错误。
解得m=—2
例3.(补充)已知函数y=yi+y2,yi与x成正比例,y与x成反比例,且当x=1时,y=4;当x=2时,y=5
(1)求y与x的函数关系式
(2)当x=—2时,求函数y的值
分析:
此题函数y是由yi和y2两个函数组成的,要用待定系数法来解答,先根据题意分别设出yi、y2与x的函数关系式,再代入数值,通过解方程或方程组求出比例系数的值。
这里要注意yi与x和y2与x的函数关系中的比例系数不一定相同,故不能都设为k,要用不同的字母表示。
kk
略解:
设yi=kix(ki*0),y22(k2*0),贝Vy=«x2,代入数值求得ki=2,
xx
…2
k2=2,贝Vy=2x,当x=—2时,y=—5
x
五、随堂练习
i•苹果每千克x元,花i0元钱可买y千克的苹果,则y与x之间的函数关系式为—
2•若函数y=(3•m)x8"是反比例函数,则m的取值是
3.矩形的面积为4,一条边的长为x,另一条边的长为y,则y与x的函数解析式为-
4.已知y与x成反比例,且当x=—2时,y=3,则y与x之间的函数关系式是_
当x=—3时,y=
i
5.函数y中自变量x的取值范围是
x+2
六、课后练习
已知函数y=yi+y2,yi与x+i成正比例,y2与x成反比例,且当x=i时,y=0;当x=4时,y=9,求当x=—i时y的值
答案:
y=4
26.1.2反比例函数的图象和性质
(1)
一、教学目标
1.会用描点法画反比例函数的图象
2.结合图象分析并掌握反比例函数的性质
3.体会函数的三种表示方法,领会数形结合的思想方法
二、重点、难点
1.重点:
理解并掌握反比例函数的图象和性质
2.难点:
正确画出图象,通过观察、分析,归纳出反比例函数的性质
3.难点的突破方法:
画反比例函数图象前,应先让学生回忆一下画函数图象的基本步骤,即:
列表、描点、
k
连线,其中列表取值很关键。
反比例函数y(心0)自变量的取值范围是x工0,所以
x
取值时应对称式地选取正数和负数各一半,并且互为相反数,通常取的数值越多,画出的图
象越精确。
连线时要告诉学生用平滑的曲线连接,不能用折线连接。
教学时,老师要带着学
生一起画,注意引导,及时纠错。
在探究反比例函数的性质时,可结合正比例函数y=kx(kz0)的图象和性质,来帮助
学生观察、分析及归纳,通过对比,能使学生更好地理解和掌握所学的内容。
这里要强调一下,反比例函数的图象位置和增减性是由反比例系数k的符号决定的;反之,双曲线的位置
和函数性质也能推出k的符号,注意让学生体会数形结合的思想方法。
四、课堂引入
提出问题:
1、一次函数y=kx+b(k、b是常数,kz0)的图象是什么?
其性质有哪些?
正比例函数y=kx(kz0)呢?
2、画函数图象的方法是什么?
其一般步骤有哪些?
应注意什么?
3、反比例函数的图象是什么样呢?
五、例习题分析
例2.见教材P4,用描点法画图,注意强调:
(1)列表取值时,xz0,因为x=0函数无意义,为了使描出的点具有代表性,可以
“0”为中心,向两边对称式取值,即正、负数各一半,且互为相反数,这样也便于求y值
(2)由于函数图象的特征还不清楚,所以要尽量多取一些数值,多描一些点,这样便于连线,使画出的图象更精确
(3)连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接,切忌画成折线
(4)由于xz0,kz0,所以yz0,函数图象永远不会与x轴、y轴相交,只是无限靠近两坐标轴
m2_3
m值,并
例1.(补充)已知反比例函数y=(m-1)x的图象在第二、四象限,求
指出在每个象限内y随x的变化情况?
m2_3
略解:
ty=(mT)x是反比例函数
又•••图象在第二、四象限
解得m=2且mv1
(C)SiVS2(D)大小关系不能确定
k
分析:
从反比例函数y(k工0)的图象上任一点P(x,y)向x轴、y轴作垂线段,
x
1
与x轴、y轴所围成的矩形面积s=|xy=|k,由此可得Si=S2=-,故选B
五、随堂练习
A_k
1.已知反比例函数y,分别根据下列条件求出字母k的取值范围
x
(1)函数图象位于第一、三象限
(2)在第二象限内,y随x的增大而增大
—a
2.函数y=—ax+a与y(0)在同一坐标系中的图象可能是()
x轴、
x
y轴的垂线段,与x轴、y轴所围成的矩形面积是6,则函数解析式为
七、课后练习
A-m
1.若函数y=(2m-1)x与y的图象交于第一、三象限,则m的取值范围是
x
2
2.反比例函数y,当x=—2时,y=;当xV—2时;y的取值范围是
x
当x>—2时;y的取值范围是
3.已知反比例函数
y=(a-2)xa丘,当x0时,y随x的增大而增大,
求函数关系式
答案:
3.
26.1.2反比例函数的图象和性质
(2)
、教学目标
1•使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质
2•能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题
3•深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系,体会数形结合及转化的思想方法
二、重点、难点
1重点:
理解并掌握反比例函数的图象和性质,并能利用它们解决一些综合问题
2•难点:
学会从图象上分析、解决问题
3.难点的突破方法:
在前一节的基础上,可适当增加一些较综合的题目,帮助学生熟练掌握反比例函数的图
象和性质,要让学生学会如何通过函数图象分析解析式,或由函数解析式分析图象的方法,以便更好的理解数形结合的思想,最终能达到从“数”和“形”两方面去分析问题、解决问题。
三、课堂引入
复习上节课所学的内容
1•什么是反比例函数?
2•反比例函数的图象是什么?
有什么性质?
四、例习题分析
例3.见教材P7
k
分析:
反比例函数y的图象位置及y随x的变化情况取决于常数k的符号,因此
x
要先求常数k,而题中已知图象经过点A(2,6),即表明把A点坐标代入解析式成立,所以用待定系数法能求出k,这样解析式也就确定了。
例4.见教材P7
k
例1.(补充)若点A(-2,a)、B(-1,b)、C(3,c)在反比例函数y(k
x
v0)图象上,贝Ua、b、c的大小关系怎样?
分析:
由kv0可知,双曲线位于第二、四象限,且在每一象限内,y随x的增大而增
大,因为A、B在第二象限,且一1>-2,故b>a>0;又C在第四象限,则cv0,所以b>a>0>c
说明:
由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内,因此函数y随x的增减性就不能连续的看,一定要强调“在每一象限内”,否则,笼统说kv0时y随x的增大而增大,就会
误认为3最大,则c最大,出现错误。
此题还可以画草图,比较a、b、c的大小,利用图象直观易懂,不易出错,应学会使用。
五、随堂练习
式正确的是()
1.
y随自变量x的增大而减小,
已知反比例函数y=生」的图象在每个象限内函数值
x
y--8的图像交于A、B两点,且
x
且k的值还满足9_2(2k-1)>2k—1,若k为整数,求反比例函数的解析式
2.已知一次函数y二kx•b的图像与反比例函数
点A的横坐标和点B的纵坐标都是一2,求
(1)一次函数的解析式;
(2)^AOB的面积答案:
135
1.y或y或y=_
xxx
2.
(1)y=—x+2,
(2)面积为6
26.2实际问题与反比例函数
(1)
一、教学目标
1.禾U用反比例函数的知识分析、解决实际问题
2.渗透数形结合思想,提高学生用函数观点解决问题的能力
二、重点、难点
1.重点:
禾U用反比例函数的知识分析、解决实际问题
2.难点:
分析实际问题中的数量关系,正确写出函数解析式
3.难点的突破方法:
用函数观点解实际问题,一要搞清题目中的基本数量关系,将实际问题抽象成数学问题,
看看各变量间应满足什么样的关系式(包括已学过的基本公式),这一步很重要;二是要分
清自变量和函数,以便写出正确的函数关系式,并注意自变量的取值范围;三要熟练掌握反比例函数的意义、图象和性质,特别是图象,要做到数形结合,这样有利于分析和解决问题。
教学中要让学生领会这一解决实际问题的基本思路。
三、课堂引入
寒假到了,小明正与几个同伴在结冰的河面上溜冰,突然发现前面有一处冰出现了裂痕,
小明立即告诉同伴分散趴在冰面上,匍匐离开了危险区。
你能解释一下小明这样做的道理吗?
四、例习题分析
例1.见教材第12页
分析:
(1)问首先要弄清此题中各数量间的关系,容积为104,底面积是S,深度为d,
满足基本公式:
圆柱的体积=底面积X高,由题意知S是函数,d是自变量,改写后所得
的函数关系式是反比例函数的形式,
(2)问实际上是已知函数S的值,求自变量d的取值,
(3)问则是与
(2)相反
例2.见教材第13页
分析:
此题类似应用题中的“工程问题”,关系式为工作总量=工作速度X工作时间,由于题目中货物总量是不变的,两个变量分别是速度v和时间t,因此具有反比关系,
(2)
问涉及了反比例函数的增减性,即当自变量t取最大值时,函数值v取最小值是多少?
2
\P
200
\
150
100
\
.A(1,5,64)
5C
L
(51
1.522.S3^
例3(补充)、某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压P(千帕)是气体体积V
(立方米)的反比例函数,其图像如图所示(千帕是一种压强单位)
(1)写出这个函数的解析式;
(2)当气球的体积是0.8立方米时,气球内的气压是多少千帕?
(3)当气球内的气压大于144千帕时,气球将爆炸,为了安全起见,气球的体积应不小于多少立方米?
分析:
题中已知变量P与V是反比例函数关系,并且图象经过点A,利用待定系数法
可以求出P与V的解析式,得P,(3)问中当P大于144千帕时,气球会爆炸,即V
当P不超过144千帕时,是安全范围。
根据反比例函数的图象和性质,P随V的增大而减
小,可先求出气压
P=144千帕时所对应的气体体积,再分析出最后结果是不小于-立方米
3
五、随堂练习
1•京沈高速公路全长658km,汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京,则汽车行完全程所需时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间的函数关系式为
2.完成某项任务可获得500元报酬,考虑由x人完成这项任务,试写出人均报酬y(元)与人数x(人)之间的函数关系式
3.一定质量的氧气,它的密度「(kg/m3)是它的体积V(m3)的反比例函数,当V
=10时,?
=1.43,
(1)求T与V的函数关系式;
(2)求当V=2时氧气的密度?
答案:
—143,当V=2时,?
=7.15
V
六、课后练习
1.小林家离工作单位的距离为3600米,他每天骑自行车上班时的速度为v(米/分),
所需时间为t(分)
(1)则速度v与时间t之间有怎样的函数关系?
(2)若小林到单位用15分钟,那么他骑车的平均速度是多少?
(2)如果小林骑车的速度最快为300米/分,那他至少需要几分钟到达单位?
t
2•学校锅炉旁建有一个储煤库,开学初购进一批煤,现在知道:
按每天用煤0.6吨计
算,一学期(按150天计算)刚好用完•若每天的耗煤量为x吨,那么这批煤能维持y天
(1)贝9y与x之间有怎样的函数关系?
(2)画函数图象
(3)若每天节约0.1吨,则这批煤能维持多少天?
26.2实际问题与反比例函数
(2)
一、教学目标
1•禾U用反比例函数的知识分析、解决实际问题
2•渗透数形结合思想,进一步提高学生用函数观点解决问题的能力,体会和认识反比例函数这一数学模型
二、重点、难点
1.重点:
禾U用反比例函数的知识分析、解决实际问题
2•难点:
分析实际问题中的数量关系,正确写出函数解析式,解决实际问题
3.难点的突破方法:
本节的两个例题与学生的日常生活联系紧密,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模
型并进行解释与应用,不但能巩固所学的知识,还能提高学生学习数学的兴趣。
本节的教学,要引导学生从已有的生活经验出发,按照上一节所讲的基本思路去分析、解决实际问题,注
意体会数形结合及转化的思想方法,要告诉学生充分利用函数图象的直观性,这对分析和解
决实际问题很有帮助。
三、课堂引入
1.小明家新买了几桶墙面漆,准备重新粉刷墙壁,请问如何打开这些未开封的墙面漆桶呢?
其原理是什么?
2.台灯的亮度、电风扇的转速都可以调节,你能说出其中的道理吗?
四、例习题分析
例3.见教材第14页
分析:
题中已知阻力与阻力臂不变,即阻力与阻力臂的积为定值,由“杠杆定律”知变量动力与动力臂成反比关系,写出函数关系式,得到函数动力F是自变量动力臂I的反比例
函数,当I=1.5时,代入解析式中求F的值;
(2)问要利用反比例函数的性质,I越大F
越小,先求出当F=200时,其相应的I值的大小,从而得出结果。
例4.见教材第15页
分析:
根据物理公式PR=U2,当电压U一定时,输出功率P是电阻R的反比例函数,
220
则P,
(2)问中是已知自变量R的取值范围,即
R
110WR<220,求函数P的取值范围,根据反比例函数的性
质,电阻越大则功率越小,
得220WPW440
例1.(补充)为了预防疾病,某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒,已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成为正比例,药物燃烧后,y与x
成反比例(如图),现测得药物8分钟燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量6毫克,请根
据题中所提供的信息,解答下列问题:
⑴药物燃烧时,y关于x的函数关系式为,自变量x的取值范为;
药物燃烧后,y关于x的函数关系式为.
(2)研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室,那么从消毒开
始,至少需要经过分钟后,员工才能回到办公室;
⑶研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时,才能
有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?
为什么?
分析:
(1)药物燃烧时,由图象可知函数y是x的正比例函数,设ynk/,将点(8,
6)代人解析式,求得y=3x,自变量0vxw8;药物燃烧后,由图象看出y是x的反比例
4
(2)燃烧时,药含量逐渐增加,燃烧后,药含量逐渐减少,因此,只能在燃烧后的某
48
一时间进入办公室,先将药含量y=1.6代入y,求出x=30,根据反比例函数的图象
x
与性质知药含量y随时间x的增大而减小,求得时间至少要30分钟
3
(3)药物燃烧过程中,药含量逐渐增加,当y=3时,代入y=_x中,得x=4,即当
4
药物燃烧4分钟时,药含量达到3毫克;药物燃烧后,药含量由最高6毫克逐渐减少,其间还能达到3毫克,所以当y=3时,代入y=48,得x=16,持续时间为16-4=12>10,
x
因此消毒有效
五、随堂练习
1.某厂现有800吨煤,这些煤能烧的天数y与平均每天烧的吨数x之间的函数关系是
()
仆、300
300
(A)y-
(x>0)
(B)
y-
(x>0)
x
x
(C)y=300x
(x>0)
(D)
y=300x
(x>0)
2.已知甲、乙两地相
s(千米),汽车从甲地匀速行驶到达乙地,如果汽车每小时耗
(0
(D)
的函数图象大致是(
油量为a(升),那么从甲地到乙地汽车的总耗油量y(升)与汽车的行驶速度v(千米/时)
3.你吃过拉面吗?
实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识,一定体积的面团做成拉面,面条的总长度y(m)是面条的粗细(横截面积)S(mm2)的反比
例函数,其图象如图所示:
(1)写出y与S的函数关系式;
(2)求当面条粗1.6mm2时,面条的总长度是多少米?
7.
课后练习
一场暴雨过后,一洼地存雨水20米3,如果将雨水全部排完需t分钟,排水量为a米3/分,
且排水时间为5〜10分钟
(1)试写出t与a的函数关系式,并指出a的取值范围;
(2)请画出函数图象
(3)根据图象回答:
当排水量为3米3/分时,排水的时间需要多长?
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