近世代数期末考试试卷及答案.doc

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一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设G有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（）是子群。

A、B、C、D、

2、下面的代数系统（G，*）中，（）不是群

A、G为整数集合，*为加法B、G为偶数集合，*为加法

C、G为有理数集合，*为加法D、G为有理数集合，*为乘法

3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？

（）

A、a*b=a-b　　B、a*b=max{a,b}C、a*b=a+2bD、a*b=|a-b|

4、设、、是三个置换，其中=（12）（23）（13），=（24）（14），=（1324），则=（）

A、B、C、D、

5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。

A、不可能是群　　B、不一定是群　

C、一定是群　D、是交换群

二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：

任一个子群都同一个----------同构。

2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。

3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于------。

4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-------同构。

5、A={1.2.3}B={2.5.6}那么A∩B=-----。

6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。

7、叫做域的一个代数元，如果存在的-----使得。

8、是代数系统的元素，对任何均成立，则称为---------。

9、有限群的另一定义：

一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、---------。

10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是----------。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,（12）}，写出H的所有陪集。

2、设E是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是E中的运算，（E，）是一个代数系统，问（E，）是不是群，为什么？

3、a=493,b=391,求（a,b）,[a,b]和p,q。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、若是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b。

2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：

a〜b当且仅当m︱a–b。

近世代数模拟试题三

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、6阶有限群的任何子群一定不是（）。

A、2阶　　B、3阶C、4阶　D、6阶

2、设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群。

A、4个B、5个C、6个D、7个

3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。

A、偶数　B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂

4、下列哪个偏序集构成有界格（）

A、（N,）　B、（Z,）

C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））　D、（P（A）,）

5、设S3＝{

（1），（12），（13），（23），（123），（132）}，那么，在S3中可以与（123）交换的所有元素有（）

A、

（1），（123），（132）B、12），（13），（23）

C、

（1），（123）D、S3中的所有元素

二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。

2、如果是与间的一一映射，是的一个元，则----------。

3、区间[1，2]上的运算的单位元是-------。

4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。

5、环Z8的零因子有-----------------------。

6、一个子群H的右、左陪集的个数----------。

7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。

8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------。

9、设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为--------。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？

2、S1，S2是A的子环，则S1∩S2也是子环。

S1+S2也是子环吗？

3、设有置换，。

1．求和；

2．确定置换和的奇偶性。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。

2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。

近世代数模拟试题一参考答案

一、单项选择题。

1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；

二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）。

1、；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构;7、零、-a；8、S=I或S=R；9、域；

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、解：

把和写成不相杂轮换的乘积：

可知为奇置换，为偶置换。

和可以写成如下对换的乘积：

2、解：

设A是任意方阵，令，，则B是对称矩阵，而C是反对称矩阵，且。

若令有，这里和分别为对称矩阵和反对称矩阵，则，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：

，，所以，表示法唯一。

3、答：

（，）不是群，因为中有两个不同的单位元素0和m。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、对于G中任意元x，y，由于，所以（对每个x，从可得）。

2、证明在F里

有意义，作F的子集

显然是R的一个商域证毕。

近世代数模拟试题二参考答案

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）。

1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；

二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）。

1、变换群；2、交换环；3、25；4、模n乘余类加群；5、{2}；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环；

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、解：

H的3个右陪集为：

{I,（12）}，{（123），（13）}，{（132），（23）}

H的3个左陪集为：

{I,（12）}，{（123），（23）}，{（132），（13）}

2、答：

（E，）不是群，因为（E，）中无单位元。

3、解方法一、辗转相除法。

列以下算式：

a=b+102

b=3×102+85

102=1×85+17

由此得到（a,b）=17,[a,b]=a×b/17=11339。

然后回代：

17=102-85=102-（b-3×102）=4×102-b=4×（a-b）-b=4a-5b.

所以p=4,q=-5.

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、证明设e是群的幺元。

令x＝a－1*b，则a*x＝a*（a－1*b）＝（a*a－1）*b＝e*b＝b。

所以，x＝a－1*b是a*x＝b的解。

若x¢∈G也是a*x＝b的解，则x¢＝e*x¢＝（a－1*a）*x¢＝a－1*（a*x¢）＝a－1*b＝x。

所以，x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解。

2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合记为Zm，每个整数a所在的等价类记为[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可记为，称之为模m剩余类。

若m︱a–b也记为a≡b（m）。

当m=2时，Z2仅含2个元：

[0]与[1]。

近世代数模拟试题三参考答案

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；

二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、唯一、唯一；2、；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、；

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、解在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。

用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：

例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种。

2、证由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b∈S1∩S2有a-b,ab∈S1∩S2：

因为S1，S2是A的子环，故a-b,ab∈S1和a-b,ab∈S2，

因而a-b,ab∈S1∩S2，所以S1∩S2是子环。

S1+S2不一定是子环。

在矩阵环中很容易找到反例：

3、解：

1．，；

2．两个都是偶置换。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、证明：

假定是R的一个理想而不是零理想，那么a，由理想的定义，因而R的任意元

这就是说=R，证毕。

2、证必要性：

将b代入即可得。

充分性：

利用结合律作以下运算：

ab=ab（ab2a）=（aba）b2a=ab2a=e，

ba=（ab2a）ba=ab2（aba）=ab2a=e，

所以b=a-1。