届海南省新高考高三线上诊断性测试数学试题解析版.docx
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届海南省新高考高三线上诊断性测试数学试题解析版
2020届海南省新高考高三线上诊断性测试数学试题
、单选题
1.已知集合
A
x|3x4,B
x|4
x6,则
(eRA)I
B(
)
A.x|4
x
6
B.
x|4x
3
x|4x
6
C.x|4
x
6
D.
x|4x
3
x|4x
6
【答案】D
【解析】根据补集的运算法则,求出集合A的补集,再求交集即可得解
【详解】
因为Ax|3x4,Bx|4x6,
所以eRABx|4x3x|4x6.故选:
D
【点睛】
此题考查集合的补集运算和交集运算,属于简单题目,考查基础知识的掌握
2.若复数z的虚部小于0,|z|
5,且z
z
4,则iz
()
A.13i
B.2i
C
.12i
D
.12i
【答案】C
【解析】根据z
z
4可得z
2mi(m
R)
,结合模长关系列方程,
根据虚部小于
0即可得解.
【详解】
由zz4,得
z
2mi(m
R),因为|
z|
m24
5,所以
m1.
又z的虚部小于
0,
所以z2
i,iz1
2i.
故选:
C
【点睛】
此题考查复数的概念辨析和模长计算,根据复数的概念和运算法则求解
3.“游客甲在海南省”是“游客甲在三亚市”的()
C.充要条件【答案】B
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】根据三亚与海南省的关系,结合充分条件和必要条件的关系判定.
【详解】因为三亚是海南省的一个地级市,所以如果甲在三亚市,那么甲必在海南省,反之不成立,故选:
B.
【点睛】此题考查充分条件和必要条件的辨析,关键在于弄清概念,准确识别三亚与海南省两者
之间的关系.
答案】
详解】
故选:
C
点睛】
性质,准确列出不等关系求解,需要注意考虑端点处等号能否成立
答案】
详解】
【点睛】本题考查求二项式展开式中指定项的计算问题,属于基础题.
6.现将五本相同的作文本分给甲、乙、丙三人,每人至少一本,则甲分得三本的概率
是(
)
1
A.6
112
B.C.D.
3129
【答案】
A
【解析】
列出树状图分别分析三人分得书的数目情况,根据古典概型求解.
【详解】
将甲、乙、丙三人分得的作文本的数量用树状图列举如下:
故所求概率P
故选:
A
点睛】
此题考查求古典概型,
关键在于准确得出基本事件总数,利用树状图解决问题通俗易懂,
需要注意此题是五本相同的书
7.如图,在等腰直角ABC中,D,E分别为斜边BC的三等分点(D靠近点B),
过E作AD的垂线,垂足为F,则uAuFuv(
3uuuv
1uuuv
2uuuv
1uuuv
A.AB
AC
B.AB
AC
5
5
5
5
4
uuuv
8uuuv
8uuuv
4uuuv
C.
AB
AC
D.8AB
AC
15
15
15
15
【答案】
D
【解析】
设出等腰直角三角形
ABC的斜边长,由此结合余弦定理求得各边长,
并求得
uuur4uuur
cosDAE,由此得到AFAD,进而利用平面向量加法和减法的线性运算,将
5
uuur4uuuruuuruuur
AFAD表示为以AB,AC为基底来表示的形式.
5
【详解】
设BC6,则ABAC32,BDDEEC2,
故选:
D
【点睛】
本小题主要考查余弦定理解三角形,考查利用基底表示向量,属于中档题
有5个不同的实根,则m的取值范围为()
答案】A
【解析】作出函数图象,f(x)=1有2个实根,故方程fxm有3个实根,结合函数图象即可得出参数的取值范围.
【详解】
、多选题
9.如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺
炎累计确诊病例的曲线图,则下列判断正确的是()
A.1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了
B.1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势
C.2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例
D.2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8
日的增长率
【答案】ABC
【解析】根据曲线图可得ABC正确,2月8日到2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例
57
增加了,2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了,D说法不正确
4437
【详解】
1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有87例,其中西安32例,所以西安所占比
321例为,故A正确;
873
由曲线图可知,1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势,故B正确;
2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了21311697例,故C正确;
98885
2月8日到2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了,2月6日到2
8844
8874775
月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了,显然,故D错误.
74373744
故选:
ABC
【点睛】此题考查曲线图,根据图象特征判断选项说法是否正确,关键在于识图,弄清图中的数据变化.
A.fx的最小正周期为π
B.曲线yfx关于(,0)对称
3
C.fx的最大值为3
D.曲线yfx关于x对称
6
【答案】ACD
解析】根据三角恒等变换化简可得f(x)3sin2x,即可得到其最小正周期,
6
对称轴和对称中心以及最值
【详解】
f(x)
sin2x
1sin2x
2
3cos2x
2
3sin2x,
6
则T
,f(x)的最大值为
3,
f(6)
3sin
36
3曲线yf
x关于x对称,
6
f(3)
3sin
2
36
0,曲线y
fx不关于,0对称
3
故选:
ACD
【点睛】此题考查三角函数的性质,根据三角恒等变换求函数解析式,根据性质得最小正周期,对称轴和对称中心以及最值.
x22221
11.已知P是椭圆C:
y21上的动点,Q是圆D:
(x1)2y2上的动点,则
25
()
A.C的焦距为5B.C的离心率为30
6
C.圆D在C的内部D.PQ的最小值为25
5
【答案】BC
【解析】根据椭圆的性质可得焦距和离心率,求出|PD|的最小距离即可得到圆与椭圆
的位置关系.
【详解】
依题意可得c615,则C的焦距为
25,
e
5
6
30
6
设P(x,y)(6x6),
2
2222x
5
2
6
4
41
则|PD|2(x1)2y2(x1)21
x
6
6
5
5
55
所以圆D在C的内部,且|PQ|的最小值为
4
1
5.
5
5
5.
故选:
BC.
【点睛】
此题考查椭圆的基本量的计算,求椭圆上的点到圆上点的距离的取值范围,利用函数性质求解最值.
12.如图,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AB2AA1,E,F分别为AB,BC的中点,异面直AB1与C1F所成角的余弦值为m,则()
A.m3
3
C.m2
C.m
3
【答案】BC
B.直线A1E与直线C1F共面
D.直线A1E与直线C1F异面
解析】连接EF,A1C1,C1D,DF,易得EF//A1C1,在三角形DC1F中,由余弦
定理求解cosDC1F,即可得到m.
详解】
连接EF,A1C1,C1D,DF,EF//AC,根据长方体性质可得EF//A1C1,
所以直线A1E与直线C1F共面.
设AA12,则AB2AA12,
则DF5,C1F3,C1D6,
故选:
BC
【点睛】
此题考查空间直线的平行关系判断,根据直线平行,求直线的夹角,常用平行直线关系,
利用余弦定理求异面直线夹角,
三、填空题
13.若lgxlgy
0,则4x
9y的最小值为.
【答案】
12
【解析】
由lgx
lgy
0,得
xy
1x
0,y
0,利用基本不等式即可得解.
【详解】
因为lgx
lgy
0,所以xy
1x
0,y
0,
所以4x9y
24x9y12
等号成立的条件为
4x
9y,即x
3
32,y
23时取得最小值.
故答案为:
12
【点睛】此题考查利用基本不等式求最值,关键在于熟练掌握基本不等式的使用条件,注意考虑等号成立的条件.
2
14.已知P为双曲线C:
x2y1右支上一点,F1,F2分别为C的左、右焦点,且
4
线段A1A2,B1B2分别为C的实轴与虚轴.若A1A2,B1B2,PF1成等比数列,则PF2.
【答案】6
【解析】根据双曲线方程,可得实轴,虚轴A1A2,B1B2的长,再根据A1A2,B1B2
PF1成等比数列,求出PF1的值,最后根据双曲线的定义求出PF2的值.
【详解】
2
解:
Qx2y1
4
A1A22a2,B1B22b4,
QA1A2,B1B2,PF1成等比数列
2
A1A2PF1B1B2,
解得PF18,
PF282a6
故答案为:
6
点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质,属于基础题
15.四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上,AB,AC,AD两两垂直,且AB1,AC2,AD3,则四面体ABCD的体积为,球O的表面积为
【答案】114
【解析】①根据四面体的特征,利用锥体体积公式求解,②利用补图法可得该四面体的外接球与以AB,AC,AD为长宽高的长方体的外接球相同,求出体对角线长度即直径,即可得解.
详解】
11
所以四面体ABCD的体积V1231,
32
该四面体的外接球与以AB,AC,AD为长宽高的长方体的外接球相同,
直径为该长方体的体对角线长122232
详解】
函数在(,4)单调递减,(4,1)单调递增,
所以f(x)min
27f(4)274,当
e
x
1时,
fx0,
由洛必达法则
lim(x1)3lim
limxlim
xexx
3(x
e
1)2
x
6(x1)6
limxlimx0xexxex
27
故m4e
0.
故答案为:
27
4,0
e
【点睛】此题考查根据导数的几何意义解决切线问题,转化为函数零点问题,常用分离参数讨论函数单调性解决问题.
325
17.在①cosA,cosC,②csinCsinAbsinB,B60o,③c2,
55
1
cosA三个条件中任选一个补充在下面问题中,并加以解答.
8
已知VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a3,,求VABC的
面积S.
【答案】答案不唯一,具体见解析
【解析】若选①,首先根据同角三角函数的基本关系求出sinA,sinC,再根据两角
和的正弦公式求出sinB,由正弦定理求出边b,最后由面积公式求出三角形的面积.若选②,由正弦定理将角化边结合余弦定理求出边c,最后由面积公式求出三角形的面积.
若选③,由余弦定理求出边b,由同角三角函数的基本关系求出sinA,最后由面积公
式求出三角形的面积.
【详解】
解:
选①
3,
25
∵cosA
cosC
5
5
∴sinA
4
sinC
5,
5
5
∴sinB
sin
AC
sinAcosCcosAsinC
42535115
5
55525
选②
csinCsinAbsinB,
∴由正弦定理得c2ab2.
3.
5
解得b2或b2(舍去)
点睛】
本题考查利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式解三角形,属于基础题
四、解答题
18.如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,E为AB的中点,
建立空间直角坐标系Dxyz,如图所示,
E2,1,0,C0,2,0,
uuur
2,1,0,DA2,0,0.
x,y,z,
2xy3z0
2xy0
【答案】
(1)证明见解析
(2)361
61
【解析】
(1)通过证明PDAD,ADCD即可证明线面垂直;
(2)建立空间直角坐标系,利用向量方法求解线面角的正弦值【详解】
(1)证明:
因为E为AB的中点,AE1,
所以CDAB2,
所以CD2PD2PC2,从而PDCD.又PDCE,CDICEC,所以PD底面ABCD,所以PDAD.因为四边形ABCD是正方形,所以ADCD.
又CDIPDD,所以AD平面PCD.
(2)解:
以D为坐标原点,则A2,0,0,P0,0,3,
uuuruuur
所以PE2,1,3,ECr
设平面PCE的法向量为n
uuurruuurr则PEnECn0,即
ruuur
令x3,得nr3,6,4.cosrn,uDuAurrnDuuAur361,
|n||DA|61
故DA与平面PCE所成角的正弦值为361.
61
【点睛】
此题考查证明线面垂直,求直线与平面所成角的正弦值,关键在于熟练掌握线面垂直的判定定理,熟记向量法求线面角的方法.
19.某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况,对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计,得到如下人数分布表.
购买金额(元)
0,15
15,30
30,45
45,60
60,75
75,90
人数
10
15
20
15
20
10
(1)根据以上数据完成22列联表,并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于
60元与性别有关.
不少于60元
少于60元
合计
男
40
女
18
合计
(2)为吸引游客,该超市推出一种优惠方案,购买金额不少于60元可抽奖3次,每次
中奖概率为p(每次抽奖互不影响,且p的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率),中奖1次减5元,中奖2次减10元,中奖3次减15元.若游客甲计划购买80
元的土特产,请列出实际付款数X(元)的分布列并求其数学期望
附:
参考公式和数据:
2
2nadbc
K,nabcd.abcdacbd
附表:
k0
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
2
PK2⋯k0
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
【答案】
(1)见解析,有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.
(2)分布列见解析,数学期望75
解析】
(1)完善列联表,计算K2
1440
247
3.841得到答案.
2)先计算
1
1
2
4
p,分别计算PX
65
,PX70
,PX75
3
27
9
9
8
PX8027,得到分布列,计算得到答案详解】
1)22列联表如下:
不少于60元
少于60元
合计
男
12
40
52
女
18
20
38
合计
30
60
90
所以X的分布列为
X
65
70
75
80
PX
1
2
4
8
27
9
9
27
1248
EX6570758075.
279927
【点睛】本题考查了列联表,分布列,意在考查学生的应用能力和计算能力.
20.在数列an,bn中,a1b11,an13anbn3n1,bn13bnan3n1.
等差数列
cn
的前两项依次为
a2,b2.
(1)求
cn
的通项公式;
(2)求数列
anbncn的前n项和Sn.
【答案】
(1)
cn8n10
(2)
Sn(4n
9)2n2
36
【解析】
(1)
根据递推公式计算
a22,
b26,
利用等差数列公式计算得到答案
(2)将题目中两式相加得到an1bn12anbn,故anbn是首项为2,公比为
2的等比数列,计算得到通项公式,再利用错位相减法计算得到答案.
【详解】
(1)∵a1b11,∴a22,b26,则cn的公差为d628
故cn的通项公式为cn28(n1)8n10.
(2)an13anbn3n1,①
bn1
3bnan
3n
1,
②
①
②得an1
bn1
2
anbn.
又a1
b12,从而
an
bn是首项为2,公比为2的等比数列,
故an
bn2n.
an
bn
cn8n102n
Sn
226
22
L
(8n10)2n,
2Sn
222
6
23
L(8n10)2n1,
Sn2Sn482223L2n(8n10)2n1,
即Sn482n14(8n10)2n1(188n)2n136,
即Sn(4n9)2n236.
【点睛】
本题考查了通项公式,错位相减法,变换得到an1bn12anbn是解题的关键.
21.如图,已知点F为抛物线C:
y22px(p0)的焦点,过点F的动直线l与抛物线C交于M,N两点,且当直线l的倾斜角为45°时,MN16.
(1)求抛物线C的方程.
(2)试确定在x轴上是否存在点P,使得直线PM,PN关于x轴对称?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)y28x
(2)存在唯一的点P2,0,使直线PM,PN关于x轴对称
【解析】
(1)当直线l的倾斜角为45°,则l的斜率为1,则直线方程为yxp,联
2
立直线与抛物线方程,利用韦达定理可得x1x23p,根据焦点弦公式
MNx1x2p,求出p的值,即可得到抛物线方程.
(2)假设满足条件的点P存在,设Pa,0,当直线l不与x轴垂直时,设l的方程为
ykx2(k0),联立直线与抛物线方程,消元,列出韦达定理,因为直线PM,
PN关于x轴对称,所以kPMkPN0,即可求出a的值.当直线l与x轴垂直时,由
抛物线的对称性,易知PM,PN关于x轴对称,此时只需P与焦点F不重合即可
【详解】解:
(1)当直线l的倾斜角为45°,则l的斜率为1,
QFp2,0,l的方程为yx2p.
2
由2得x23pxp24y2px,
设Mx1,y1,Nx2,y2,则x1x23p,
∴MNx1x2p4p16,p4,
∴抛物线C的方程为y28x.
(2)假设满足条件的点P存在,设Pa,0,由
(1)知F2,0,
①当直线l不与x轴垂直时,设l的方程为ykx2(k0),由y2kx2,得k2x24k28x4k20,
y28x,
22222
4k284k24k264k2640,
4k28
x1x22,x1x24.
k2
∵直线PM,PN关于x轴对称,
kx22
x2a
∴a2时,此时P2,0.
②当直线l与x轴垂直时,由抛物线的对称性,
易知PM,PN关于x轴对称,此时只需P与焦点F不重合即可.综上,存在唯一的点P2,0,使直线PM,PN关于x轴对称.
【点睛】
本题考查抛物线的焦点弦公式的应用,直线与抛物线的综合问题,属于中档题
22.已知函数
x2lnx1sinx1,函数gxax1blnx
a,bR,ab0)
1)讨论gx的单调性;
3)证明:
当x1时,fxx22x2esinx
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- 关 键 词:
- 海南省 新高 三线 诊断 测试 数学试题 解析