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第八讲 非负数

时间：

2005-9-822:

29:

00来源：

初中数学竞赛辅导（初二分册）作者：

佚名

所谓非负数，是指零和正实数．非负数的性质在解题中颇有用处．常见的非负数有三种：

实数的偶次幂、实数的绝对值和算术根．

　　1．实数的偶次幂是非负数

　　若a是任意实数，则a2n≥0（n为正整数），特别地，当n=1时，有a2≥0．

　　2．实数的绝对值是非负数

　　若a是实数，则

　　性质绝对值最小的实数是零．`

　　3．一个正实数的算术根是非负数

　　4．非负数的其他性质

（1）数轴上，原点和原点右边的点表示的数都是非负数．

（2）有限个非负数的和仍为非负数，即若a1，a2，…，an为非负数，则

　　a1＋a2＋…＋an≥0．

　　（3）有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，即若a1，a2，…，an为非负数，且a1＋a2＋…＋an=0，则必有a1＝a2＝…＝an＝0．

　　在利用非负数解决问题的过程中，这条性质使用的最多．

　　（4）非负数的积和商（除数不为零）仍为非负数．

　　（5）最小非负数为零，没有最大的非负数．

　　（6）一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）有实数根的充要条件是判别式△=b2-4ac为非负数．

　　应用非负数解决问题的关键在于能否识别并揭示出题目中的非负数，正确运用非负数的有关概念及其性质，巧妙地进行相应关系的转化，从而使问题得到解决．

　　解得a=3，b=-2．代入代数式得

　　解因为（20x-3）2为非负数，所以

-（20x-3）2≤0．①

-（20x-3）2≥0．②

　　由①，②可得：

-（20x-3）2=0．所以

　　原式=｜｜20±0｜＋20｜=40．

　　说明本题解法中应用了“若a≥0且a≤0，则a=0”，这是个很有用的性质．

　　例3已知x，y为实数，且

　　解因为x，y为实数，要使y的表达式有意义，必有

　　解因为a2+b2-4a-2b+5=0，所以

a2-4a+4+b2-2b+1=0，

　　即（a-2）2+（b-1）2=0．

　　（a-2）2=0，且（b-1）2=0．

　　所以a=2，b=1．所以

　　例5已知x，y为实数，求

　　u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3的最小值和取得最小值时的x，y的值．

　　解u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3

　　　　=x2+y2+1-2xy+2x-2y+4x2-4xy+yg2+2

　　　　=（x-y+1）2+（2x-y）2+2．

　　因为x，y为实数，所以

　　（x-y+1）2≥0，（2x-y）2≥0，所以u≥2．所以当

　　时，u有最小值2，此时x=1，y=2．

　　例6确定方程（a2+1）x2-2ax+（a2+4）=0的实数根的个数．

　　解将原方程化为

　　a2x2-2ax+1+x2+a2+3=0，

　　即

　　（ax-1）2+x2+a2+3=0．

　　对于任意实数x，均有

　　（ax-1）2≥0，x2≥0，a2≥0，3＞0，所以，（ax-1）2+x2+a2+3恒大于0，故

　　（a2+1）x2-2ax+（a2+4）=0无实根．

　　例7求方程

的实数根．

　　分析本题是已知一个方程，但要求出两个未知数的值，而要确定两个未知数的值，一般需要两个方程．因此，要将已知方程变形，看能否出现新的形式，以利于解题．

　　解之得

　　经检验，均为原方程的解．

　　说明应用非负数的性质“几个非负数之和为零，则这几个非负数都为零”，可将一个等式转化为几个等式，从而增加了求解的条件．

　　例8已知方程组

　　数x1，x2，…，xn的值．

　　解显然，x1=x2=…=xn=0是方程组的解．

　　由已知方程组可知，在x1，x2，…，xn中，只要有一个值为零，则必有x1=x2=…=xn=0．所以当x1≠0，x2≠0，…，xn≠0时，将原方程组化为

　　将上面n个方程相加得

　　又因为xi为实数，所以

　　经检验，原方程组的解为

　　例9求满足方程｜a-b｜+ab=1的非负整数a，b的值．

　　解由于a，b为非负整数，所以

　　解得

　　例10当a，b为何值时，方程

　　x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2=0有实数根？

　　解因为方程有实数根，所以△≥0，即

　　△=4（1+a）2-4（3a2+4ab+4b2+2）

　　　=4a2+8a+4-12a2-16ab-16b2-8

　　　=-8a2-16ab-16b2+8a-4≥0，

　　所以

　　2a2-4ab-4b2+2a-1≥0，

　　-a2+2a-1-a2-4ab-4b2≥0，

　　-（a-1）2-（a+2b）2≥0．

　　因为（a-1）2≥0，（a+2b）2≥0，所以

　　例11已知实数a，b，c，r，p满足

pr＞1，pc-2b+ra=0，

　　求证：

一元二次方程ax2+2bx+c=0必有实数根．

　　证由已知得2b=pc+ra，所以

　　△=（2b）2-4ac=（pc+ra）2-4ac

　　　=p2c2+2pcra+r2a2-4ac

　　　=p2c2-2pcra+r2a2+4pcra-4ac

　　　=（pc-ra）2+4ac（pr-1）．由已知pr-1＞0，又（pc-ra）2≥0，所以当ac≥0时，△≥0；当ac＜0时，也有△=（2b）2-4ac＞0．综上，总有△≥0，故原方程必有实数根．

　　例12对任意实数x，比较3x2+2x-1与x2+5x-3的大小．

　　解用比差法．

　　（3x2+2x-1）-（x2+5x-3）

　　=2x2-3x+2

　　即

　　（3x2+2x-1）-（x2+5x-3）＞0，

　　所以3x2+2x-1＞x2+5x-3．

　　说明比差法是比较两个代数式值的大小的常用方法，除此之外，为判定差是大于零还是小于零，配方法也是常用的方法之一，本例正是有效地利用了这两个方法，使问题得到解决．

　　例13已知a，b，c为实数，设

　　证明：

A，B，C中至少有一个值大于零．

　　证由题设有

　　A+B+C

　　=（a2-2a+1）+（b2-2b+1）+（c2-2c+1）+π-3

　　=（a-1）2+（b-1）2+（c-1）2+（π-3）．

　　因为（a-1）2≥0，（b-1）2≥0，（c-1）2≥0，π-3＞0，所以A+B+C＞0．

　　若A≤0，B≤0，C≤0，则A+B+C≤0与A+B+C＞0不符，所以A，B，C中至少有一个大于零．

　　例14已知a≥0，b≥0，求证：

　　分析与证明对要求证的不等式两边分别因式分解有

　　由不等式的性质知道，只须证明

　　因为a≥0，b≥0，所以

　　又因为

　　所以原不等式成立．

　　例15四边形四条边长分别为a，b，c，d，它们满足等式

a4+b4+c4+d4=4abcd，

　　试判断四边形的形状．

　　解由已知可得

　　a4+b4+c4+d4-4abcd=0，

　　所以

　　（a4-2a2b2+b4）+（c2-2c2d2+d4）+（2a2b2-4abcd+2c2d2）=0，

　　即（a2-b2）2+（c2-d2）2+2（ab-cd）2=0．

　　因为a，b，c，d都是实数，所以

　　（a2-b2）2≥0，（c2-d2）2≥0，（ab-cd）2≥0，

　　所以

　　由于a，b，c，d都为正数，所以，解①，②，③有

a=b=c=d．

　　故此四边形为菱形．

练习八

　　1．求x，y的值：

　　4．若实数x，y，z满足条件

　　5．已知a，b，c，x，y，z都是非零实数，且a2+b2+c2=x2+y2+z2=ax+by-cz，

　　6．若方程k（x2-4）+ax-1=0对一切实数k都有实数根，求a的取值围．