高三第九次模拟考试数学理试题 含答案.docx
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高三第九次模拟考试数学理试题含答案
2021年高三第九次模拟考试数学(理)试题含答案
一、选择题:
(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设集合A={x|1<x<4},集合B={x|-2x-3≤0},则A∩(CRB)=()
(A)(1,4)(B)(3,4)(C)(1,3)(D)(1,2)∪(3,4)
2.已知命题p:
x1,x2R,[f(x2)f(x1)](x2x1)≥0,则p是()
(A)x1,x2R,[f(x2)f(x1)](x2x1)≤0
(B)x1,x2R,[f(x2)f(x1)](x2x1)≤0
(C)x1,x2R,[f(x2)f(x1)](x2x1)<0
(D)x1,x2R,[f(x2)f(x1)](x2x1)<0
3.若复数满足(为虚数单位),则为()
(A)(B)(C)(D)
4.已知是等差数列,公差不为零,前项和是,若,,成等比数列,则()
(A)(B)
(C)(D)
5.已知满足约束条件,若的最大值为4,则()
(A)3(B)2(C)(D)
6.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果.
(A)7(B)8(C)9(D)10
7.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽出了一个容量为n且支出在[20,60)元的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在[50,60)元的学生有30人,则n的值为( )
(A)90(B)100(C)900(D)1000
8.关于正态曲线性质的叙述:
①曲线关于直线x=μ对称,这个曲线在x轴上方;
②曲线关于直线x=σ对称,这个曲线只有当x∈(-3σ,3σ)时才在x轴上方;
③曲线关于y轴对称,因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数;
④曲线在x=μ时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时,曲线逐渐降低;
⑤曲线的对称轴由μ确定,曲线的形状由σ确定;
⑥σ越大,曲线越“矮胖”,σ越小,曲线越“高瘦”.
上述说法正确的是( )
(A)①④⑤⑥(B)②④⑤(C)③④⑤⑥(D)①⑤⑥
9.节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )
(A)(B)(C)(D)
10.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是( )
(A)(B)(C)(D)
11.若某几何体的三视图(单位:
cm)如图所示,则此几何体的体积等于________.
(A)16(B)18(C)24(D)26
12.函数在内( )
(A)没有零点(B)有且仅有一个零点
(C)有且仅有两个零点(D)有无穷多个零点
第Ⅱ卷
二、填空题:
(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知向量夹角为,且,则
14.的展开式中的系数是
15.
16.半球内有一内接正方体,则这个半球面的面积与正方体表面积之比是
三、解答题:
(本大题共6小题,共70分.解答应写出说明文字,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系中,已知向量,,.
(1)若,求tanx的值;
(2)若与的夹角为,求的值.
18.(本小题满分12分)
在一场晚会上,有5位歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.
(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;
(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列和数学期望.
19.(本小题满分12分)
如图,在直三棱柱中,,,,点是的中点
(1)求异面直线与所成角的余弦值
(2)求平面与平面所成二面角的正弦值.
20.(本小题满分12分)
如图,点是椭圆的一个顶点,的长轴是圆的直径.是过点且互相垂直的两条直线,其中交圆于A,B两点,交椭圆于另一点.
(1)求椭圆的方程;
(2)求面积取最大值时直线的方程.
21.(本小题满分12分)
设、是函数的两个极值点。
(1)若,求函数的解析式;
(2)若,求的最大值。
(3)若,且,,求证:
。
请考生在第22,23,24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分10分)选修4—1:
几何证明选讲
如图所示,△ABC的内角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.
(1)证明:
△ABE∽△ADC;
(2)若△ABC的面积S=
AD·AE,求∠BAC的大小.
23.(本小题满分10分)选修4—4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,圆的方程为。
(Ⅰ)求圆的直角坐标方程;
(Ⅱ)设圆与直线交于点。
若点的坐标为(3,),求。
24.(本小题满分10分)选修4—5:
不等式选讲
设a>0,b>0,解关于x的不等式:
|ax-2|≥bx.
吉林省实验中学xx届高三年级第九次模拟考试
试题答案
1~6:
BCABBC7~12:
BACBCB
13、14、15、016、
17、
18、
解:
(Ⅰ)设事件A表示:
观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手.
观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙未选中3号歌手的概率为.
所以P(A)=.
因此,观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为………………………5分
(Ⅱ)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,则X可取0,1,2,3.
观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙选中3号歌手的概率为.
当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时,这时X=0,
P(X=0)=.
当观众甲、乙、丙中只有1人选中3号歌手时,这时X=1,
P(X=1)=
.
当观众甲、乙、丙中只有2人选中3号歌手时,这时X=2,
P(X=2)=
.
当观众甲、乙、丙均选中3号歌手时,这时X=3,
P(X=3)=.………………………9分
X的分布列如下表:
X
0
1
2
3
P
…10分
所以,数学期望………………12分
19、
解:
(1)以为为单位正交基底建立空间直角坐标系,
则,,,,
∴,
∴
∴异面直线与所成角的余弦值为………………………………5分
(2)是平面的的一个法向量
设平面的法向量为,∵,
由
∴取,得,∴平面的法向量为
设平面与所成二面角为
∴
得
∴平面与所成二面角的正弦值为………………………………………12分
20、
解:
(Ⅰ)由已知得到,且,所以椭圆的方程是;………4分
(Ⅱ)因为直线,且都过点,所以设直线,直线,所以圆心到直线的距离为,所以直线被圆所截的弦;………6分
由,所以
………………………………8分
所以
………………………10分
当
时等号成立,此时直线
………………………12分
21.解:
(1)………………………………1分
∵是函数的两个极值点,
∴,。
…………………………………………………………2分
∴,,解得。
∴。
…………………………………………………………3分
(2)∵是函数的两个极值点,∴。
∴是方程的两根。
∵,∴对一切恒成立。
,,
∵,∴。
∴
。
……………………5分
由得,∴。
∵,∴,∴。
……………………………………6分
令,则。
当时,,∴在(0,4)内是增函数;
当时,,∴在(4,6)内是减函数。
∴当时,有极大值为96,∴在上的最大值是96,
∴的最大值是。
………………………………………………………………8分
(3)证法一:
∵是方程的两根,
∴,……………………………………………………9分
∴………………10分
∵,∴,,
∴
。
………………………11分
∵,,∴。
∴。
……………………………………12分
证法二:
∵是方程的两根,
∴,……………………………………………………9分
∵,,∴。
∴
……………10分
∵,
∴………………………………………………11分
。
……………………………………………………12分
22、
解析
(1)证明:
由已知条件,可得∠BAE=∠CAD.
因为∠AEB与∠ACD是同所对的圆周角,
所以∠AEB=∠ACD.故△ABE∽△ADC.………………………………………………………………5分
(2)因为△ABE∽△ADC,所以
=
,即AB·AC=AD·AE.
又S=
AB·ACsin∠BAC,且S=
AD·AE,故AB·ACsin∠BAC=AD·AE.
则sin∠BAC=1,又∠BAC为△ABC的内角,所以∠BAC=90°.……………………10分
23、解:
(Ⅰ)………………5分
(Ⅱ)将的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得
由,故可设是上述方程的两根
所以,又直线过点,故结合t的几何意义得
………………7分
=……………………………10分
24、解析 原不等式可化为ax-2≥bx或ax-2≤-bx,
即(a-b)x≥2①或(a+b)x≤2⇒x≤
②,………………………………2分
当a>b>0时,由①得x≥
,此时,原不等式的解集为:
x≥
或x≤
;…………4分别
当a=b>0时,由①得x∈∅,此时,原不等式的解集为:
x≤
;………………………………6分
当0<a<b时,由①得x≤
,此时,原不等式的解集为:
x≤
.………………………………8分
综上可得,当a>b>0时,原不等式的解集为(-∞,
]∪[
,+∞);
当0<a≤b时,原不等式的解集为(-∞,
].………………………………………………………………10分
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