2≤a≤2+2.
22
(3)(2017年苏北四市一模)已知A、B是圆C:
x2+y2=1上的动点,AB=3,P是圆
C:
(x-3)2+(y-4)2
=1上的动点,则PA+PB的取值范围是.[7,13]
1
略解:
取AB的中点M,则C1M=
2
1
,所以M在以C1圆心,半径为
2
的圆上,且
PA+PB=2PM,转化为两圆上动点的距离的最值.
(4)若对任意α∈R,直线l:
xcosα+ysinα=2sin(α+π)+4与圆C:
(x-m)2+(y-3m)2
6
=1均无公共点,则实数m的取值范围是.(-1,5)
22
略解:
直线l的方程为:
(x-1)cosα+(y-3)sinα=4,M(1,3)到l距离为4,所以l是
以M为圆心半径为4的定圆的切线系,转化为圆M与圆C内含.
00
注:
直线l:
(x-x0)cosα+(y-y0)sinα=R为圆M:
(x-x)2+(x-y)2=R2的切线系.
例2(2017年南通市一模)在平面直角坐标系xOy中,已知B,C为圆x2+y2=4上两点,点A(1,1),且AB⊥AC,则线段BC的长的取值范围为.
解:
法一(标解):
设BC的中点为M(x,y),
因为OB2=OM2+BM2=OM2+AM2,y
所以4=x2+y2+(x-1)2+(y-1)2,BM
C
22
化简得⎛x-1⎫
+⎛y-1⎫
=3,A
ç2⎪ç
2⎪2
⎝⎭⎝⎭
x
所以点M的轨迹是以⎛11⎫为圆心,32为半径的
2
⎝⎭
⎡6-
圆,所以AM的取值范围是
2
2,6+
2⎤,所
⎢22⎥例2
⎣⎦
以BC的取值范围是⎡6-
2,6+
2⎤.
⎣⎦
法二:
以AB、AC为邻边作矩形BACN,则BC=AN,由矩形的几何性质(矩形所在平面上的任意一点到其对角线上的两个顶点的距离的平方
和相等),有OB2+OC2=OA2+ON2,所以ON=6,
故N在以O为圆心,半径为6的圆上,所以BC的取值范围是⎡6-
2,6+
2⎤.
⎣⎦
变式1(2014年常州高三期末卷)在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:
x2+y2=16,点
P(1,2),M、N为圆O上两个不同的点,且PM⋅PN=0,若PQ=PM+PN,则PQ的
最小值为.33-5y
2222
变式2已知圆C1:
x+y
=9,圆C2:
x+y
=4,定点A
P(1,0),动点A,B分别在圆C1和圆C2上,满足∠APB=90,
则线段AB的取值范围.[23-1,23+1]
B
OPx
变式3已知向量a、b、c满足a=3,b=2,c=1,(a-c)⋅(b-c)=0,则a-b范围
为.[23-1,23+1]
策略二动点P对两定点A、B张角是900(k
PA⋅kPB
=-1,或PA⋅PB=0)确定隐形圆
例3
(1)(2014年北京卷)已知圆C:
(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0),
若圆上存在点P,使得∠APB=90,则m的取值范围是.[4,6]
略解:
由已知以AB为直径的圆与圆C有公共点.
(2)(海安2016届高三上期末)在平面直角坐标系xOy中,已知点P(−1,0),
Q(2,1),直线l:
ax+by+c=0其中实数a,b,c成等差数列,若点P在直线l上的射影为H,则线段QH的取值范围是.[2,32]
解:
由题意,圆心C(1,-2)在直线ax+by+c=0上,可得a-2b+c=0,即c=2b-a.
直线l:
(2a-b)x+(2b-c)y+(2c-a)=0,即a(2x+y-3)+b(4-x)=0,
⎧2x+y-3=0,
由⎨
⎩4-x=0
,可得x=4,y=-5,即直线过定点M(4,-5),
由题意,H在以PM为直径的圆上,圆心为A(5,2),方程为(x-5)2+(y-2)2=50,
∵|CA|=42,∴CH最小为52-42=2,CH最大为42+52=92,
∴线段CH长度的取值范围是[2,92].
(3)(通州区2017届高三下开学初检测)设m∈R,直线l1:
x+my=0与直线
l2:
mx-y-2m-4=0交于点P(x0,y0),则x0
2+y2
+2x0
的取值范围
0
是.[12-410,12+410]
略解:
l1过定点O(0,0),l2过定点A(2,-4),则P在以OA为直径的圆上(除去一点),变式(2017年南京二模)在平面直角坐标系xOy中,直线l1:
kx-y+2=0与
直线l2:
x+ky-2=0相交于点P,则当实数k变化时,点P到直线x-y-4=0的距
离的最大值为.32
策略三两定点A、B,动点P满足PA⋅PB=λ确定隐形圆
例4
(1)(2017年南通密卷3)已知点A(2,3),点B(6,-3)
,点P在直线3x-4y+3=0上,
若满足等式AP⋅BP+2λ=0的点P有两个,则实数λ的取值范围是.
解:
设P(x,y),则AP=(x-2,y-3),BP=(x-6,y+3),
根据AP⋅BP+2λ=0,有(x-4)2+y2=13-2λ⎛λ<13⎫.由题意
ç2⎪
⎝⎭
圆:
(x-4)2+y2=13-2λ⎛λ<13⎫圆与直线3x-4y+3=0相交,
ç2⎪
⎝⎭
3⋅4-4⋅0+3
圆心到直线的距离d==3<
32+42
13-2λ,所以λ<2.
(2)(2016年盐城三模)已知线段AB的长为2,动点C满足CA⋅CB=λ(λ为常数),
且点C总不在以点B为圆1
2
为半径的圆内,则负数λ的最大值是.-3
4
略解:
动点C满足方程x2+y2=λ+1.
策略四两定点A、B,动点P满足PA2+PB2是定值确定隐形圆
例5
(1)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:
(x-a)2+(y-a+2)2=1,点A(0,2),若圆C上存在点M,满足MA2+MO2=10,则实数a的取值范围是.[0,3]
略解:
M满足的方程为x2+(y-1)2=4,转化为两圆有公共点
(2)(2017年南京、盐城一模)在∆ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若
a2+b2+2c2=8,则∆ABC面积的最大值为.25
5
解:
以AB的中点为原点,AB所在直线为x轴,建系.
设A(-c,0),B(c,0),C(x,y),则由a2+b2+2c2=8,
22
得(x-c)2+y2+(x+c)+y2+2c2=8,即x2+y2=4-5c2,
22
所以点C在此圆上,S≤cr=c
4-5c2=1
4
(4-5c2)5c2≤25
224
5445
策略五两定点A、B,动点P满足PA=λ(λ>0,λ≠1)确定隐形圆(阿波罗尼斯圆)
PB
例6
(1)
略解:
点P满足圆的方程为x2+y2=4,转化到直线与圆相交.
(2)(2016届常州一模)在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:
x2+y2=1,
O1:
(x-4)2+y2=4,动点P在直线x+
3y-b=0上,过点P作圆O,O1的两条切线,
切点分别为A,B,若满足PB=2PA的点P有且仅有两个,则b的取值范围
.⎛-20,4⎫
ç3⎪
⎝⎭
例7(2017年南通二模)一缉私艇巡航至距领海边界线l(一条南北方向的直线)3.8海里的A处,发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑,缉私艇立即追击.已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍.假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行.
(1)若走私船沿正东方向逃离,试确定缉私艇的追击方向,使得用最短时间在领海内拦截
成功;(参考数据:
sin17°≈
3,33≈5.7446)
6
(2)问:
无论走私船沿何方向逃跑,缉私艇是否总能在领海内成功拦截?
并说明理由.
北l
领海公海
B
30°
A
解:
(1)略
(例7)
(2)如图乙,以A为原点,正北方向所在的直线为y轴建立平面直角坐标系xOy.
则B(2,23),设缉私艇在P(x,y)处(缉私艇恰好截住走私船的位置)与走私
船相遇,则PA=3,即
x2+y2
=3.l
PB(x-2)2+(y-23)
领海公海
整理得,(
9)(
93)9
22
x-4
+y-4
=4,B
所以点P(x,y)的轨迹是以点9,93为圆心,
44
60
2为半径的圆.
Ax
图乙
因为圆心(9,93)到领海边界线l:
x=3.8的距离为1.55,大于圆半径3,
442
所以缉私艇能在领海内截住走私船.策略六由圆周角的性质确定隐形圆
例8
(1)已知a,b,c分别为∆ABC的三个内角A,B,C的对边,a=2,
(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC则∆ABC面积的最大值为.3
略解:
cos∠A=1,∠A=60°,设∆ABC的外接圆的圆心为O,外接圆的半径为23,则
23
O到BC的距离为3,则边BC上的高h的最大值为3+23=3,则面积的最大值
333
为3.
(2)(2017年常州一模)在△ABC中,∠C=45o,O是△ABC的外心,若OC=mOA+nOB(m,
n∈R),则m+n的取值范围是.[-
2,1)
略解:
∠AOB=2∠C=90°,点C在以O为圆心,半径OA的圆上(在优弧AB上).
三、同步练习
1.已知直线l:
x-2y+m=0上存在点M满足与两点A(-2,0),B(2,0)连线的斜率之积为-1,
则实数m的取值范围是.[-25,25]
2.(2016年泰州一模)已知实数a,b,c满足a2+b2=c2,c≠0,则
b
a-2c
的取值范围
为.[-
3,3]
33
3.已知θ,t∈R,则(cosθ-t-2)2+(sinθ-t+2)2的取值范围是.[22-1,22+1]
4.已知圆C:
(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得PA⋅PB=1,则m的取值范围是.[15,35]
7.(2016年无锡一模)已知圆C:
(x-2)2+y2=4,线段EF在直线l:
y=x+1上运动,点P
为线段EF上任意一点,若圆C上存在两点A、B,使得PA⋅PB≤0,则线段EF长度的最大值是.14
8.如图,已知点A(-1,0)与点B(1,0),C是圆x2+y2=1上的动点(与点A,B不重合),连接BC并延长至D,使得|CD|
=|BC|,则线段PD的取值范围.(2,2)
3
9.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-t,0)(t>0),B(t,0),点C满足AC⋅BC=8,
且点C到直线l:
3x-4y+24=0的最小距离为9,则实数t的值是.1
5
10.(2013年江苏卷第17题改编)在平面直角坐标系xOy中,已知点O(0,0),A(0,3)如果
圆C:
(x-a)2+(y-2a+4)2=1上总存在点M使得MA=2MO,则圆心C的横坐标a的取值范围是.[0,12]
5
11.已知向量a、b、c满足a=
2,b=a⋅b=3,若(c-2a)(2b-3c)=0
,则b-c的最大
值是.1+2
12.设点A,B是圆x2+y2=4上的两点,点C(1,0),如果∠ACB=90,则线段AB长度的取
值范围为.[7-1,7+1]
13.在∆ABC中,BC=2,AC=1,以AB为边作等腰直角三角形ABD(B为直角顶点,C、
D两点在直线AB的两侧).当∠C变化时,线段CD长的最大值为.3
1
14.(2016年南通三模)在平面直角坐标系xOy中,圆C:
(x-1)2+y2=2,
圆C:
(x-m)2+(y+m)2=m2,若圆C上存在点P满足:
过点P向圆
作两条切线
12C1
PA、PB,切点为A、B,∆ABP的面积为1,则正数m的取值范围是.
解:
设P(x,y),设PA,PB的夹角为2θ.
△ABP的面积S=1PA2sin2θ=PA2⋅
2⋅PA
=1.
2PC1
PC1
由322
2PA
=PC1
=PA
+2,解得PA=2,
所以PC1=2,所以点P在圆(x-1)
2+y2
=4上.
所以m-2≤
(m-1)2+(-m)2≤m+2,解得1≤m≤3+23.