河南中考数学复习专题专题类比探究题.docx
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河南中考数学复习专题专题类比探究题
专题七类比探究题专题类型突破
类型一
图形旋转引起的探究
(2019·河南)在△ABC中,CA=CB,∠ACB=α.点P是平面内不与点A,C重合的任意一点.连接AP,将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP,连接
AD,BD,CP.
(1)
观察猜想
小角的度数是
(2)类比探究
BD
如图2,当α=90°时,请写出CP的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数,并就图2的情形说明理由.
(3)解决问题
当α=90°时,若点E,F分别是CA,CB的中点,点P在直线EF上,请直接写
AD
出点C,P,D在同一直线上时CP的值
分析】
(1)延长CP交BD的延长线于E,设AB交EC于点O.证明△CAP≌△BAD,即可解决问题.
(2)设BD交AC于点O,BD交PC于点E.证明△DAB∽△PAC,即可解决问题.
(3)分两种情况:
当点D在线段PC上时,延长AD交BC的延长线于H.证明AD=DC即可解决问题;当点P在线段CD上时,同法可证DA=DC,解决问题.【自主解答】
1.(2018·河南)
(1)问题发现
如图1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M.填空:
AC
①BACD的值为;
②∠AMB的度数为;
(2)类比探究
如图2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连
接AC交BD的延长线于点
AC
M.请判断BD的值及∠AMB的度数,并说明理由;
(3)拓展延伸在
(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M,若
OD=1,OB=7,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.
2.(2017·河南)如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.
(1)观察猜想
图1中,线段PM与PN的数量关系是,位置关系是;
(2)探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN,BD,CE,判断△PMN的
形状,并说明理由;
(3)
拓展延伸
最大值.
3.(2015·河南)如图1,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2AB=8,点D,E分别是边BC,AC的中点,连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为α.
(1)问题发现
AE
①当α=0°时,BD=;
(2)拓展探究
AE
试判断:
当0°≤α<360°时,BD的大小有无变化请仅就图2的情形给出证明.
(3)解决问题
类型二动点引起的探究
(2016·河南)
(1)发现
如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.
填空:
当点A位于时,线段AC的长取得最大值,且最大值为(用
含a,b的式子表示);
(2)应用
点A为线段BC外一动点,且BC=3,AB=1,如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE.
①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;②直接写出线段BE长的最大值;(3)拓展
如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0),点
P为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,请直接写出线段AM
长的最大值及此时点P的坐标.
【分析】
(1)根据点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,即可得到结论;
(2)①根据等边三角形的性质得到AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,推出△CAD≌△EAB,根据全等三角形的性质得到CD=BE;
②由于线段BE的最大值=线段CD的最大值,根据
(1)中的结论即可得到结果.
(3)将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,得到△APN是等腰直角三角形,根据全等三角形的性质得到PN=PA=2,BN=AM,根据当N在线段
BA的延长线时,线段BN取得最大值,即可得到最大值为22+3;过P作PE⊥x轴于E,根据等腰直角三角形的性质即可得到点P的坐标.
【自主解答】
4.(2019·河南模拟)
(1)问题发现
重合),∠PAD=90°,∠APD=∠B,连接CD.
②∠ACD的度数为;
(2)拓展探究AB
如图2,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=k.点P是边BC上一动点(不与点B
重合),∠PAD=90°,∠APD=∠B,连接CD,请判断∠ACD与∠B的数量关系以
及PB与CD之间的数量关系,并说明理由;(3)解决问题
如图3,在△ABC中,∠B=45°,AB=42,BC=12,P是边BC上一动点(不与点B重合),∠PAD=∠BAC,∠APD=∠B,连接CD.若PA=5,请直接写出所有
CD的长.
类型三图形形状变化引起的探究
(2019·信阳一模)
(1)观察猜想
如图1,点B,A,C在同一条直线上,DB⊥BC,EC⊥BC,且∠DAE=90°,AD=
AE,则BC,BD,CE之间的数量关系为;
(2)问题解决
如图2,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,CB=4,AB=2,以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC,连接BD,求BD的长;
(3)拓展延伸
如图3,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,CB=4,AB=2,DC=DA,请直接写出BD的长.
【分析】
(1)通过证明△ADB≌△EAC,可得结论:
BC=AB+AC=BD+CE;
(2)过D作DE⊥AB,交BA的延长线于E,同理证明△ABC≌△DEA,可得DE=AB=2,AE=BC=4,最后利用勾股定理求BD的长;
(3)同理证明三角形全等,设AF=x,DF=y,根据全等三角形对应边相等列方程组可得结论.
【自主解答】
5.(2014·河南)
(1)问题发现
如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.填空:
①∠AEB的度数为;
②线段AD,BE之间的数量关系为;
(2)拓展探究
如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A,D,E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE,请判断∠AEB的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系,并说明理由;(3)解决问题
如图3,在正方形ABCD中,CD=2,若点P满足PD=1,且∠BPD=90°,请直
接写出点A到BP的距离.
参考答案
类型一
【例1】
(1)160°
BD
.理由如下:
(2)CP的值为2,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45如图,设BD交AC于点O,BD交PC于点E.
∵∠PAD=∠CAB=45°,
∴∠PAC=∠DAB.
ABAD∵AC=AP=2,
∴△DAB∽△PAC,
BDAB
∴∠PCA=∠DBA,PC=AC=2.
∵∠EOC=∠AOB,∴∠CEO=∠OAB=45°,
∴直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45°.
(3)ACDP的值为2+2或2-2.
如图,当点D在线段PC上时,延长AD交BC的延长线于H.
∵CE=EA,CF=FB,∴EF∥AB,
∴∠EFC=∠ABC=45°.
∵∠PAO=45°,∴∠PAO=∠OFH.
∵∠POA=∠FOH,∴∠H=∠APO.
∵∠APC=90°,EA=EC,
∴PE=EA=EC,∴∠EPA=∠EAP=∠BAH,
∴∠H=∠BAH,∴BH=BA.
∵∠ADP=∠BDC=45°,∴∠ADB=90°,
∴BD⊥AH,∴∠DBA=∠DBC=°.
∵∠ADB=∠ACB=90°,
∴A,D,C,B四点共圆,∠DAC=∠DBC=°,∠DCA=∠ABD=
∴∠DAC=∠DCA=°,∴DA=DC.
设AD=a,则DC=AD=a,PD=22a,
ADa
CP=2=2-2.
a+2a
如图,当点P在线段CD上时,同法可证DA=DC.设AD=a,则CD=AD=a,PD跟踪训练
1.解:
(1)①1
提示:
∵∠AOB=∠COD=40°,∴∠COA=∠DOB.
∵OC=OD,OA=OB,∴△COA≌△DOB(SAS,)
AC
∴AC=BD,∴BD=1.
②40°
提示:
∵△COA≌△DOB,∴∠CAO=∠DBO.
∵∠AOB=40°,∴∠OAB+∠ABO=140°.
在△AMB中,∠AMB=180°-(∠CAO+∠OAB+∠ABD)=180°-(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°-140°=40°.
AC
(2)BD=3,∠AMB=90°.理由如下:
∵∠AOB=∠COD=90°,∴∠AOC=∠BOD,∴△AOC∽△BOD,
∴ABDC=OOCD=3,∠CAO=∠DBO,∴∠AMB=180°-∠CAO-∠OAB-MBA=180°-(∠DAB+∠MBA+∠OBD=)
180°-90°=90°(3)23或33.
提示:
①点C与点M重合时,如图,
同理得△AOC∽△BOD,
设BD=x,则AC=3x.
在Rt△COD中,∵∠OCD=30°,OD=1,∴CD=2,∴BC=x-2.
在Rt△AOB中,∠OAB=30°,OB=7.
∴AB=2OB=27.
在Rt△AMB中,由勾股定理得AC2+BC2=AB2,即(3x)2+(x-2)2=(27)2,
解得x1=3,x2=-2(舍去),
∴AC=33.
设BD=x,则AC=3x,在Rt△AMB中,由勾股定理得AC2+BC2=AB2,
即(3x)2+(x+2)2=(27)2.
解得x1=-3,解得x2=2(舍去),∴AC=23.
综上所述,AC的长为33或23.
2.解:
(1)PM=PNPM⊥PN
提示:
∵点P,N是BC,CD的中点,
1
∴PN∥BD,PN=2BD.
∵点P,M是CD,DE的中点,
1
∴PM∥CE,PM=2CE.
∵AB=AC,AD=AE,∴BD=CE,∴PM=PN.∵PN∥BD,∴∠DPN=∠ADC,∵PM∥CE,∴∠DPM=∠DCA.
∵∠BAC=90°,∴∠ADC+∠ACD=90°,∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90∴PM⊥PN.
(2)△PMN为等腰直角三角形.理由如下:
由旋转知,∠BAD=∠CAE.
∵AB=AC,AD=AE,∴△ABD≌△ACE(SAS,)∴∠ABD=∠ACE,BD=CE.
同
(1)的方法,利用三角形的中位线定理得11
PN=2BD,PM=2CE,
∴PM=PN,∴△PMN是等腰三角形.
同
(1)的方法得PM∥CE,∴∠DPM=∠DCE.
同
(1)的方法得PN∥BD,
∴∠PNC=∠DBC.
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC,
ACB+
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC.
∵∠BAC=90°,
∴∠ACB+∠ABC=90°,∴∠MPN=90°,
∴△PMN是等腰直角三角形.
49
(3)2.
提示:
同
(2)的方法得△PMN是等腰直角三角形,
∴当MN最大时,△PMN的面积最大,
∴DE∥BC且DE在顶点A上面,
∴MN最大=AM+AN.如图,连接AM,AN.
在△ADE中,AD=AE=4,∠DAE=90°,
∴AM=22.
在Rt△ABC中,AB=AC=10,AN=52,
(1)①25
∴MN最大=22+52=72,
3.解:
提示:
当α=0°时,∵在Rt△ABC中,∠B=90°,
∴AC=AB2+BC2=(8÷2)2+82=45.
∵点D,E分别是边BC,AC的中点,∴AE=45÷2=25,BD=8÷2=4,
AE=25=5.
BD=4=2.
提示:
如图,当
=180
AC=BC,
AE=BD,
AE=AC=45=5.
BD=BC=8=2.
(2)当0°≤α≤360°时,
∵∠ECD=∠ACB,∴∠ECA=∠DCB.
又∵EC=AC=5,
又∵DC=BC=2,∴△ECA∽△DCB,
∴AE=EC=5
∴BD=DC=2.
(3)BD的长为45或1525
提示:
a.如图,
∵AC=45,CD=4,CD⊥AD,∴AD=AC2-CD2=(45)2-42=80-16=8.
∵AD=BC,AB=DC,∠B=90°,∴四边形ABCD是矩形,
∴BD=AC=45.
b.如图,连接BD,过点D作AC的垂线交AC于点Q,过点B作AC的垂线交AC
于点P.
∵AC=45,CD=4,CD⊥AD,
∴AD=AC2-CD2=(45)2-42=80-16=8.∵点D,E分别是边BC,AC的中点,
111
∴DE=AB=×(8÷2)=×4=2,
222
∴AE=AD-DE=8-2=6,
AE5
由
(2)得BAED=25
∴BD=6=125.
∴BD=5=5.
2
综上所述,BD的长为45或1255.
类型二
【例2】
(1)CB的延长线a+b
(2)①CD=BE.
理由:
∵△ABD与△ACE是等边三角形,∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,
即∠CAD=∠EAB.在△CAD和△EAB中,
AD=AB,
∠CAD=∠EAB,
AC=AE,
∴△CAD≌△EAB,∴CD=BE.
②4提示:
∵线段BE长的最大值等于线段CD的最大值,由
(1)知,当线段CD取得最大值时,点D在CB的延长线上,
∴线段BE的最大值为BD+BC=AB+BC=4.
(3)线段AM的最大值为22+3,点P的坐标为(2-22,2).提示:
如图,将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,则△APN是等腰直角三角形,
∴PN=PA=2,BN=AM.
∵点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0),∴OA=2,OB=5,∴AB=3,
∴线段AM的最大值等于线段BN的最大值,
∴当点N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,即最大值为AB+AN.
∵AN=2AP=22,
∴线段AM的最大值为22+3.
如图,过点P作PE⊥x轴于点E.
∵△APN是等腰直角三角形,
∴PE=AE=2,∴OE=BO-AB-AE=5-3-2=2-2,∴P(2-2,2).
跟踪训练
4.解:
(1)①1
②45°
PB
(2)∠ACD=∠B,=k.
理由如下:
∵∠BAC=∠PAD=90°,∠B=∠APD,
∴△ABC∽△APD,
ABAP
∴AC=AD=k.
∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD=90
∴∠BAP=∠CAD,
∴△ABP∽△CAD,∴∠ACD=∠B,PCBD=AABC=k.
CDAC
类型三
【例3】
(1)BC=BD+CE
提示:
∵∠B=90°,∠DAE=90°,
∴∠D+∠DAB=∠DAB+∠EAC=90°,∴∠D=∠EAC.
∵∠B=∠C=90°,AD=AE,
∴△ADB≌△EAC,
∴BD=AC,EC=AB,∴BC=AB+AC=BD+CE.
(2)如图,过D作DE⊥AB,交BA的延长线于E.
由
(1)同理得△ABC≌△DEA,
∴DE=AB=2,AE=BC=4.在Rt△BDE中,BE=6,∴由勾股定理得BD=62+22=210.
(3)如图,过点D作DE⊥BC于E,作DF⊥AB,交BA的延长线于F.∵△DCE为等边三角形,∴∠CDE=∠CED=60°∵点A,D,E在同一直线上,∴∠ADC=120°,∴∠BEC=120°,∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60②AD=BE
同理得△CED≌△AFD,
∴CE=AF,ED=DF.
设AF=x,DF=y,
5.解:
(1)①60°
提示:
∵△ACB和△DCE均为等边三角形,
∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,
AC=BC,
∠ACD=∠BCE,
CD=CE,
∴△ACD≌△BCE,∴∠ADC=∠BEC.
(2)∠AEB=90°,AE=BE+2CM.
理由如下:
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,
CA=CB,
∠ACD=∠BCE,
CD=CE,
∴△ACD≌△BCE,
∴AD=BE,∠ADC=∠BEC.
∵△DCE为等腰直角三角形,
∴∠CDE=∠CED=45°.
∵点A,D,E在同一直线上,
∴∠ADC=135°,∴∠BEC=135°,
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°.∵CD=CE,CM⊥DE,∴DM=ME.
∵∠DCE=90°,∴DM=ME=CM,∴AE=AD+DE=BE+2CM.
(3)点A到BP的距离为32-1或32+1.
提示:
∵PD=1,∴点P在以点D为圆心,1为半径的圆上.
∵∠BPD=90°,∴点P在以BD为直径的圆上,∴点P是这两圆的交点.
(i)当点P在如图所示位置时,连接PD,PB,PA,作AH⊥BP,垂足为H,过点A作AE⊥AP,交BP于点E.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ADB=45°,AB=AD=DC=BC=2,∠BAD=90°,∴BD=2.
∵DP=1,∴BP=3.
∵∠BPD=∠BAD=90°,
∴点A,P,D,B在以BD为直径的圆上,∴∠APB=∠ADB=45°,
∴△PAE是等腰直角三角形.
又∵△BAD是等腰直角三角形,点B,E,P共线,AH⊥BP,
∴由
(2)中的结论可得BP=2AH+PD,
(ii)当点P在如图所示位置时,连接PD,PB,PA,作AH⊥BP,垂足为H,过点
A作AE⊥AP,交PB的延长线于点E.
同理可得BP=2AH-PD,
∴3=2AH-1,∴AH=32+1.综上所述,点A到BP的距离为32-1或32+1.
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