山东省章丘绣江中学推荐生考试数学模拟试题及答案.docx
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山东省章丘绣江中学推荐生考试数学模拟试题及答案
2014.5章丘市推荐生考试倒计时1
1、如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-2,-4),OB=2,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、O、B三点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点M是抛物线对称轴上一点,试求AM+OM的最小值;
(3)在此抛物线上,是否存在点P,使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形.若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
解:
(1)由OB=2,可知B(2,0)
将A(-2,-4),B(2,0),O(0,0)三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c,得
解得:
∴抛物线的函数表达式为。
(2)由,可得,抛物线的对称轴为直线,且对称轴是线段OB的垂直平分线,连结AB交直线于点M,即为所求。
∴MO=MB,则MO+MA=MA+MB=AB
作AC⊥x轴,垂足为C,则AC=4,BC=4,∴AB=
∴MO+MA的最小值为。
(3)①若OB∥AP,此时点A与点P关于直线对称,
由A(-2,-4),得P(4,-4),则得梯形OAPB。
②若OA∥BP,设直线OA的表达式为,由A(-2,-4)得,。
设直线BP的表达式为,由B(2,0)得,,即,
∴直线BP的表达式为
由,解得,(不合题意,舍去)
当时,,∴点P(),则得梯形OAPB。
③若AB∥OP,设直线AB的表达式为,则
,解得,∴AB的表达式为。
∴直线OP的表达式为。
由,得,解得,(不合题意,舍去),此时点P不存在。
综上所述,存在两点P(4,-4)或P()使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形。
2、如图,顶点坐标为(2,﹣1)的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C(0,3),与x轴交于A、B两点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)设抛物线的对称轴与直线BC交于点D,连接AC、AD,求△ACD的面积;
(3)点E为直线BC上一动点,过点E作y轴的平行线EF,与抛物线交于点F.问是否存在点E,使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似?
若存在,求点E的坐标;若不存在,请说明理由.
分析
(1)已知抛物线的顶点,可先将抛物线的解析式设为顶点式,再将点C的坐标代入上面的解析式中,即可确定待定系数的值,由此得解.
(2)可先求出A、C、D三点坐标,求出△ACD的三边长后,可判断出该三角形的形状,进而得到该三角形的面积.(也可将△ACD的面积视为梯形与两个小直角三角形的面积差)
(3)由于直线EF与y轴平行,那么∠OCB=∠FED,若△OBC和△EFD相似,则△EFD中,∠EDF和∠EFD中必有一角是直角,可据此求出点F的横坐标,再代入直线BC的解析式中,即可求出点E的坐标.
解答
解:
(1)依题意,设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)2﹣1,代入C(O,3)后,得:
a(0﹣2)2﹣1=3,a=1
∴抛物线的解析式:
y=(x﹣2)2﹣1=x2﹣4x+3.
(2)由
(1)知,A(1,0)、B(3,0);
设直线BC的解析式为:
y=kx+3,代入点B的坐标后,得:
3k+3=0,k=﹣1
∴直线BC:
y=﹣x+3;
由
(1)知:
抛物线的对称轴:
x=2,则D(2,1);
∴AD2=2,AC2=10,CD2=8
即:
AC2=AD2+CD2,△ACD是直角三角形,且AD⊥CD;
∴S△ACD=AD•CD=××2=2.
(3)由题意知:
EF∥y轴,则∠FED=∠OCB,若△OCB与△FED相似,则有:
①∠DFE=90°,即DF∥x轴;
将点D纵坐标代入抛物线的解析式中,得:
x2﹣4x+3=1,解得x=2±;[来源:
Zxxk.Com]
当x=2+时,y=﹣x+3=1﹣;
当x=2﹣时,y=﹣x+3=1+;
∴E1(2+,1﹣)、E2(2﹣,1+).
②∠EDF=90°;
易知,直线AD:
y=x﹣1,联立抛物线的解析式有:
x2﹣4x+3=x﹣1,解得x1=1、x2=4;
当x=1时,y=﹣x+3=2;
当x=4时,y=﹣x+3=﹣1;
∴E3(1,2)、E4(4,﹣1);
综上,存在符合条件的点E,且坐标为:
(2+,1﹣)、(2﹣,1+)、(1,2)或(4,﹣1).
点评
此题主要考查了函数解析式的确定、图形面积的解法以及相似三角形的判定和性质等知识;需要注意的是,已知两个三角形相似时,若对应边不相同,那么得到的结果就不一定相同,所以一定要进行分类讨论.
3、如图1,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1).点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线交折线OAB于点E.
(1)记△ODE的面积为S,求S与b的函数关系式;
(2)当点E在线段OA上时,若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1,试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化?
若不变,求出重叠部分的面积;若改变,请说明理由.
思路点拨
1.数形结合,用b表示线段OE、CD、AE、BE的长.
2.求△ODE的面积,要分两种情况.当E在OA上时,OE边对应的高等于OC;当E在AB边上时,要利用割补法求△ODE的面积.
3.第(3)题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形.
4.图形翻着、旋转等运动中,计算菱形的边长一般用勾股定理.
满分解答
(1)①如图2,当E在OA上时,由可知,点E的坐标为(2b,0),OE=2b.此时S=S△ODE=.
②如图3,当E在AB上时,把y=1代入可知,点D的坐标为(2b-2,1),CD=2b-2,BD=5-2b.把x=3代入可知,点E的坐标为,AE=,BE=.此时
S=S矩形OABC-S△OAE-S△BDE-S△OCD
=.
(2)如图4,因为四边形O1A1B1C1与矩形OABC关于直线DE对称,因此DM=DN,那么重叠部分是邻边相等的平行四边形,即四边形DMEN是菱形.
作DH⊥OA,垂足为H.由于CD=2b-2,OE=2b,所以EH=2.
设菱形DMEN的边长为m.在Rt△DEH中,DH=1,NH=2-m,DN=m,所以12+(2-m)2=m2.解得.所以重叠部分菱形DMEN的面积为.
图2图3图4
考点伸展把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转,如果重叠部分的形状是菱形(如图5),那么这个菱形的最小面积为1,如图6所示;最大面积为,如图7所示.
图5图6图7
4、如图1,已知抛物线(b、c是常数,且c<0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴的负半轴交于点C,点A的坐标为(-1,0).
(1)b=______,点B的横坐标为_______(上述结果均用含c的代数式表示);
(2)连结BC,过点A作直线AE//BC,与抛物线交于点E.点D是x轴上一点,坐标为(2,0),当C、D、E三点在同一直线上时,求抛物线的解析式;
(3)在
(2)的条件下,点P是x轴下方的抛物线上的一动点,连结PB、PC.设△PBC的面积为S.
①求S的取值范围;
②若△PBC的面积S为正整数,则这样的△PBC共有_____个.
思路点拨
1.用c表示b以后,把抛物线的一般式改写为两点式,会发现OB=2OC.
2.当C、D、E三点共线时,△EHA∽△COB,△EHD∽△COD.
3.求△PBC面积的取值范围,要分两种情况计算,P在BC上方或下方.
4.求得了S的取值范围,然后罗列P从A经过C运动到B的过程中,面积的正整数值,再数一数个数.注意排除点A、C、B三个时刻的值.
满分解答
(1)b=,点B的横坐标为-2c.
(2)由,设E.
过点E作EH⊥x轴于H.由于OB=2OC,当AE//BC时,AH=2EH.所以.因此.所以.当C、D、E三点在同一直线上时,.所以.
整理,得2c2+3c-2=0.解得c=-2或(舍去).所以抛物线的解析式为.
(3)①当P在BC下方时,过点P作x轴的垂线交BC于F.直线BC的解析式为.
设,那么,.
所以S△PBC=S△PBF+S△PCF=.
因此当P在BC下方时,△PBC的最大值为4.
当P在BC上方时,因为S△ABC=5,所以S△PBC<5.
综上所述,0<S<5.
②若△PBC的面积S为正整数,则这样的△PBC共有11个.
考点伸展
点P沿抛物线从A经过C到达B的过程中,△PBC的面积为整数,依次为(5),4,3,2,1,(0),1,2,3,4,3,2,1,(0).
当P在BC下方,S=4时,点P在BC的中点的正下方,F是BC的中点.
5、如图1,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A(0,1)、B(2,0)、O(0,0),将此三角板绕原点O逆时针旋转90°,得到三角形A′B′O.
(1)一抛物线经过点A′、B′、B,求该抛物线的解析式;
(2)设点P是第一象限内抛物线上的一个动点,是否存在点P,使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍?
若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在
(2)的条件下,试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形?
并写出它的两条性质.
思路点拨
1.四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍,可以转化为四边形PB′OB的面积是△A′B′O面积的3倍.
2.联结PO,四边形PB′OB可以分割为两个三角形.
3.过点向x轴作垂线,四边形PB′OB也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形.
满分解答
(1)△AOB绕着原点O逆时针旋转90°,点A′、B′的坐标分别为(-1,0)、(0,2).
因为抛物线与x轴交于A′(-1,0)、B(2,0),设解析式为y=a(x+1)(x-2),
代入B′(0,2),得a=1.
所以该抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-2)=-x2+x+2.
(2)S△A′B′O=1.
如果S四边形PB′A′B=4S△A′B′O=4,那么S四边形PB′OB=3S△A′B′O=3.
如图2,作PD⊥OB,垂足为D.设点P的坐标为(x,-x2+x+2).
.
.
所以.
解方程-x2+2x+2=3,得x1=x2=1.
所以点P的坐标为(1,2).
图2图3图4
(3)如图3,四边形PB′A′B是等腰梯形,它的性质有:
等腰梯形的对角线相等;等腰梯形同以底上的两个内角相等;等腰梯形是轴对称图形,对称轴是经过两底中点的直线.
考点伸展
第
(2)题求四边形PB′OB的面积,也可以如图4那样分割图形,这样运算过程更简单.
.
.
所以.
甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P:
作△A′OB′关于抛物线的对称轴对称的△BOE,那么点E的坐标为(1,2).
而矩形EB′OD与△A′OB′、△BOP是等底等高的,所以四边形EB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍.因此点E就是要探求的点P.
6、如图1,已知抛物线(b是实数且b>2)与x轴的正半轴分别交于点A、B(点A位于点B是左侧),与y轴的正半轴交于点C.
(1)点B的坐标为______,点C的坐标为__________(用含b的代数式表示);
(2)请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?
如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)?
如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
思路点拨
1.第
(2)题中,等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等.
2.联结OP,把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形,底边可以用含b
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