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高数笔记全
第一章函数、极限和连续
§函数一、主要内容㈠函数的概念
1.函数的定义:
y=f(x),x€D
定义域:
D(f),值域:
Z(f).
f(x)xD1y
2.分段函数:
g(x)xD2
3•隐函数:
F(x,y)=0
-1
4.反函数:
y=f(x)tx=$(y)=f-(y)y=f-1(x)
定理:
如果函数:
y=f(x),D(f)=X,Z(f)=Y
是严格单调增加(或减少)的;
则它必定存在反函数:
-1-1-1
y=f(x),D(f)=Y,Z(f)=X
且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡函数的几何特性
1.函数的单调性:
y=f(x),x€D,Xi、D
当XiVX2时,若f(x1)wf(x2),
则称f(x)在D内单调增加();
若f(x1)>f(x2),
则称f(x)在D内单调减少();
若f(x1)Vf(x2),
则称f(x)在D内严格单调增加();
若f(x1)>f(x2),
奇函数:
f(-x)=-f(x)
3.函数的周期性:
周期函数:
f(x+T)=f(x),x€(-+8)
周期:
T――最小的正数
4.函数的有界性:
|f(x)|wM,x€(a,b)
㈢基本初等函数
1.常数函数:
y=c,(c为常数)
2.幕函数:
y=xn,(n为实数)
3.指数函数:
y=ax,(a>0、1)
4.对数函数:
y=logax,(a>0、a丰1)
5.三角函数:
y=sinx,y=conx
y=tanx,y=cotxy=secx,y=cscx
6.反三角函数:
y=arcsinx,y=arcconxy=arctanx,y=arccotx
㈣复合函数和初等函数
1.复合函数:
y=f(u),u=$(x)
y=f[$(x)],x€X
2.初等函数:
由基本初等函数经过有限次的四则运算(加、减、乘、除)和复合所构成的,并且能用一个数学式子表示的函数
§极限
一、主要内容
㈠极限的概念
称数列yn以常数a为极限;
或称数列yn收敛于A.
定理:
若
yn的极限存在
yn必定有界.
2.函数的极限:
⑴当x
时,f(x)
的极限:
⑵当x
xo时,f(x)
的极限:
左极限:
limf(x)
xXo
A
右极限:
limf(x)
xxo
A
⑶函数极限存的充要条件:
定理:
!
imf(x)A
limf(x)limf(x)A
XxXx
㈡无穷大量和无穷小量
1.无穷大量:
limf(x)
称在该变化过程中f(x)为无穷大量。
X再某个变化过程是指:
无穷小量:
limf(x)0
3.无穷大量与无穷小量的关系:
定理:
lim—
1
⑶若
,则称0与a是等价的无穷小量,记作:
0
〜a;
定理:
若:
1~1,
则:
㈢两面夹定理
1.数列极限存在的判定准则:
则:
limxna
n
2.函数极限存在的判定准则:
设:
对于点xo的某个邻域内的一切点
(点xo除外)有:
则:
傀f(x)
㈣极限的运算规则
A
B(limv(x)0)
则:
①lim[u(x)v(x)]limu(x)limv(x)AB
2
lim[u(x)v(x)]limu(x)limv(x)AB
u(x)limu(x)
lim
3v(x)limv(x)
㈤两个重要极限
lim1lim
1-x0x或(X)
sin(x)1
0(x)
1x
2-(17
x叫(1
丄
x)'
§连续
一、主要内容
㈠函数的连续性
2.
函数在Xo处连续的必要条件:
3.函数在Xo处连续的充要条件:
f(Xo)
定理.limf(X)f(Xo)limf(x)limf(x)
疋理:
xXoXXoXxo
4.函数在a,b上连续:
f(x)在a,b上每一点都连续。
在端点a和b连续是指:
limf(x)f(a)左端点右连续;
limf(x)f(b)
xb
右端点左连续。
aob
5.函数的间断点:
若f(x)在Xo处不连续,则
Xo为f(x)的间断点。
间断点有三种情况:
io)x(f在xo处无定义;
2oximif(x)不存在;
30)x(f在xo处有定义,且
limf
xXo
(x)存在,
但吧心)
f(xo)
。
两类间断点的判断:
10第一类间断点:
lim
特点:
xxo
f(x)和怏
f(x)
'/都存在。
可去间断点:
ximjof(x)
存在,
limf(x)f(xo)
x
xo
,或)x(f在x处无定义。
20第二类间断点:
特点:
xx0
limf(x)lim
和xxo
f(x)
至少有一个为8,
limf(x)振荡不存在。
或xx0
limf(x)limf(x)
无穷间断点:
XX。
和xX0至少有一个为8
limf(x)
XXo
f(Xo)
limg(x)g(xo)
XXo
lim[f(x)
XXo
g(x)]
f(xo)g(xo)
lim[f(x)
XXo
g(x)]
f(xo)g(xo)
..f(x)lim
xXog(x)
复合函数的连续性:
f(Xo)g(x°)
limg(x)o
XXo
㈡函数在Xo处连续的性质
1.连续函数的四则运算:
设
o
1
o
2
o
3
2.
3.反函数的连续性:
㈢函数在[a,b]上连续的性质
i.最大值与最小值定理:
3.介值定理:
其中:
m
4.初等函数的连续性:
初等函数在其定域区间内都是连续的。
第二章一元函数微分学
§导数与微分
一、主要内容
㈠导数的概念
i•导数:
y
f(x)
在xo的某个邻域内有定义,
2.左导数:
(Xo)
limf(X)f(xo)
X
xo
Xo
右导数:
f(Xo)
lim
XXo
f(x)f(Xo)
xXo
定理:
f(x)在X0的左(或右)邻域上连续在
其内可导,且极限存在;
则:
f(Xo)
limf(x)
XXo
(或:
f(Xo)
limf(x)
XXo)
3.函数可导的必要条件:
定理:
f(X)在
Xo处可导
f(x)在Xo处连续
4.函数可导的充要条件:
定理:
y
XXo
f(Xo)存在
f(Xo)
f(Xo),
且存在。
5•导函数:
y
f(X),
X(a,b)
f(X)在(a,b)内处处可导。
yf(Xo)
6.导数的几何性质:
f(Xo)
是曲线y
f(X)上点
Mxo,yo处切线的斜率。
㈡求导法则
1.
2.
基本求导公式:
导数的四则运算:
X
(uv)
(uv)
v2
(v
o)
3.复合函数的导数:
dydydu
dxdudx,或{f[(X)]}
☆注意{f[(x)]}
与f[(x)]的区别:
{f[
(x)]}
表示复合函数对自变量
x求导;
(x)]
表示复合函数对中间变量
(X)求导。
4.高介导数:
f(x),f(x),或f(3)(x)
函数的n阶导数等于其n-1导数的导数。
㈢微分的概念
1.
微分:
f(x)在x的某个邻域内有定义,
则称yf(x)在x处可微,记作:
2.
导数与微分的等价关系:
且:
f(x)A(x)
3.微分形式不变性:
不论u是自变量,还是中间变量,函数的微分uy都具有相同的形式。
§中值定理及导数的应用
一、主要内容
㈠中值定理
1.罗尔定理:
f(x)满足条件:
a-o
2.拉格朗日定
理:
f(x)满足条件:
㈡罗必塔法则:
0
(0,
型未定式)
定理:
f(x)和g(x)满足条件:
limf(x)0
xa
1olimg(x)0
xa
则:
2o在点a的某个邻域内可导,且
f(x)
3ox
lim
a(
g(x)
lim)g(x)
A,(或
f(x)
g(x)
lim
xa(
f(x)
)g(x)
A,(或)
☆注意:
2
法则的意义:
把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。
若不满足法则的条件,不能使用法则。
0
即不是0型或—型时,不可求导。
应用法则时,要分别对分子、分母求导,而不是对整个分式求导。
f(x)和g(x)还满足法则的条件,可以继续使用法则,即:
型可采用代数变
若函数是0
形,化成°或型;若是
1,00,
0
型可
0
采用对数或指数变形,化成°或—型。
㈢导数的应用
1.切线方程和法线方程:
设:
yf(x),M(Xo,yo)
法线方程:
yo
T7-7(xXo),(f(Xo)0)
f(Xo)
2.曲线的单调性:
⑴f(X)oX(a,b)f(x)在(a,b)内单调增加;
⑵
f(x)ox(a,b)在(a,b)内严格单调增加;
3.函数的极值:
⑴极值的定义:
设f(x)在(a,b)内有定义,Xo是(a,b)内的一点;
若对于x°的某个邻域内的任意点
Xo
,都有:
则称
f(Xo)是f(x)
的一个极大值(或极小值)
称X。
为f(x)
的极大值点(或极小值点)
⑵极值存在的必要条件:
f(Xo)o
1o.f(x)存在极值f(xo)
定理:
2o.f(xo)存在。
x0
称为
f(x)
的驻点
⑶极值存在的充分条件:
定理一:
当x渐增通过
X。
时,
f(x)
由(+)变(-);
f(X。
)
为极大值;
当X渐增通过x。
时,
f(X)由(-)变
+);则
f(X。
)
为极小值。
定理二:
10.f(Xo)0;
2°.f(x0)存在
f(X0)是极值;x。
是极值点。
f(x0)0f(x0)
若0,则0为极大值;
f(x0)0f(x0)
若0,则0为极小值。
☆注意:
驻点不一定是极值点,极值点也不一定是驻点。
4.曲线的凹向及拐点:
⑴若f(x)
⑵若f(x)
10.f
0,x
0,x
(x0)
a,b;则f(x)在(a,b)内是上凹的(或凹的),(u);a,b;则f(x)在(a,b)内是下凹的(或凸的),(门);x0,f(x0)称为f(x)的拐点。
0,
2°.f(x)过X。
时变号。
5。
曲线的渐近线:
⑴水平渐近线:
⑵铅直渐近线:
第三章一元函数积分学
§不定积分一、主要内容㈠重要的概念及性质:
若:
F(x)f(x)
则称
F(x)是
f(x)
的一个原函数,
并称
F(x)
C是f(x)
的所有原函数
其中C是任意常数。
2.不定积分:
函数
(x)
的所有原函数的全体,
其中:
f(x)称为被积函数;
f(x)dx称为被积表达式;x称为积分变量。
称为函数
f(x)
的不定积分;记作:
3.不定积分的性质:
f(x)dx
f(x)
或:
f(x)dx
f(x)dx
f(x)dxf(x)
或:
df(x)f(x)
⑶[f1(x)f2(x)
C
C
fn(x)]dx
—分项积分法
kf(x)dx
kf(x)dx(k
为非零常数)
4.基本积分公式:
㈡换元积分法:
1•第一换元法:
(又称“凑微元”法)
常用的凑微元函数有:
1
dx—d(ax)
a
^d(axa
b)(a,b为常数,a0)
m
xdx
exdx
^dx
x
sindx
d(ex)
d(lnx)
m1
dx
a(m1)d(axm1b)
1d(aexb)a
d(cosx)cosxdxd(sinx)
dxd(arcsinx)x2
d(arccosx)
2.第二换元法:
第二换元法主要是针对含有根式的被积函数,其作用是将根式有理化。
一般有以下几种代换:
xtn,n为偶数时,t0
n厂
当被积函数中有x时)
X2
当被积函数中有a
/2
当被积函数中有a
(
㈢分部积分法:
1.分部积分公式:
2.分部积分法主要针对的类型:
P(x)exdx
P(x)lnxdx
P(x)arcsinxdx,
P(x)arccosxdx
eaxsinbxdx,
ax
e
cosbxdx
其中:
P(x)a°xn
ai
xn1
an(多项式)
3.选u规律:
⑴在三角函数乘多项式中,令P(x)
其余记作dv;简称“三多选多”。
⑵在指数函数乘多项式中,令P(x)
其余记作dv;简称“指多选多”。
⑶在多项式乘对数函数中,令Inx其余记作dv;简称“多对选对”。
⑷在多项式乘反三角函数中,选反三角函数为u,其余记作dv;简称“多反选反”。
⑸在指数函数乘三角函数中,可任选一函数
为u,其余记作dv;简称"指三任选”
㈣简单有理函数积分:
其中P(x)和Q(x)是多项式。
2.
简单有理函数:
得旋转体的体积:
第四章多元函数微积分初步
§偏导数与全微分
一.主要内容:
㈠.多元函数的概念
3.二元函数的定义:
4.二元函数的几何意义:
二元函数是一个空间曲面。
(而一元函数是平面上的曲线)
㈡.二元函数的极限和连续:
1.极限定义:
设z=f(x,y)满足条件:
2.连续定义:
设z=f(x,y)满足条件:
㈢.偏导数:
㈣.全微分:
1.定义:
z=f(x,y)
是zf(x,y)在点(x,y)处的全微分。
3.全微分与偏导数的关系
㈤.复全函数的偏导数:
1.设:
zf(u,v),uu(x,y),vv(x,y)
㈥•隐含数的偏导数:
㈦.二阶偏导数:
㈧.二元函数的无条件极值
1.二元函数极值定义:
☆极大值和极小值统称为极值,
极大值点和极小值点统称为极值点。
2.极值的必要条件:
两个一阶偏导数存在,则:
而非充分条件。
•••驻点不一定是极值点。
5.极值的充分条件:
求二元极值的方法:
极值点。
二倍角公式:
(含万能公式)
①sin2
2sin
cos-
1
2tg
tg2
②cos2
cos2
sin2
2cos2
112sin2
1tg2
1tg2
③tg2
2tg
1tg2
④sin2
tg21cos2
1tg22―
⑤cos2
1cos2
2
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