考点24 数列的综合应用备战高考理科数学一遍过.docx
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考点24数列的综合应用备战高考理科数学一遍过
考点24数列的综合应用-备战2019年高考理科数学一遍过.
能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.
对等差、等比数列的综合问题的分析,应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和;分析等差、等比数列项之间的关系,往往用到转化与化归的思想方法.
考向一等差、等比数列的综合应用
解决等差数列与等比数列的综合问题,关键是理清两个数列的关系,
(1)如果同一数列中部分项成等差数列,部分项成等比数列,则要把成等差数列和成等比数列的项分别抽出来,研究这些项与序号之间的关系;
(2)如果两个数列是通过运算综合在一起的,就要从分析运算入手,把两个数列分割开,再根据两个数列各自的特征进行求解.
典例1已知数列的各项均为整数,,,前12项依次成等差数列,从第11项起依次成等比数列,则
A.8B.16
C.64D.128
【答案】B
【解析】设由前12项构成的等差数列的公差为,从第11项起构成的等比数列的公比为,
由,解得或,又数列的各项均为整数,故,所以,所以,故.
故选B.
【名师点睛】本题综合考查了等比数列与等差数列的通项公式,考查了逻辑推理能力及运算求解能力.利用等差数列、等比数列的通项公式求出公差与公比即可得到所求值.
典例2已知等差数列中,.
(1)设,求证:
数列是等比数列;
(2)求的前项和.
【答案】
(1)见解析;
(2).
【解析】
(1)设等差数列的公差为,
由,可得,即.
又由,可得.
故,
依题意,,
因为(常数),
故是首项为4,公比的等比数列.
(2)因为的前项和为,
的前项和为,
故的前项和为.
【名师点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式,以及等差、等比数列的求和的应用,其中熟记等差、等比数列的通项公式和求和公式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.求解本题时,
(1)设的公差为,由题意求得,即可求得数列的通项公式,进而得到数列的通项公式,利用等比数列的定义,即可作出证明;
(2)由
(1)可得的前项和和的前项和,即可得到数列的前项和.
1.已知公差不为零的等差数列和等比数列满足:
,且成等比数列.
(1)求数列和的通项公式;
(2)令,求数列的前项和.
考向二数列与函数、不等式等的综合应用
1.数列可看作是自变量为正整数的一类函数,数列的通项公式相当于函数的解析式,所以我们可以用函数的观点来研究数列.
解决数列与函数综合问题的注意点:
(1)数列是一类特殊的函数,其定义域是正整数集,而不是某个区间上的连续实数,所以它的图象是一群孤立的点.
(2)转化为以函数为背景的条件时,应注意题中的限制条件,如函数的定义域,这往往是非常容易忽视的问题.
(3)利用函数的方法研究数列中相关问题时,应准确构造函数,注意数列中相关限制条件的转化.
2.数列与不等式的综合问题是高考考查的热点.考查方式主要有三种:
(1)判断数列问题中的一些不等关系;
(2)以数列为载体,考查不等式的恒成立问题;
(3)考查与数列问题有关的不等式的证明问题.
在解决这些问题时,要充分利用数列自身的特点,例如在需要用到数列的单调性的时候,可以通过比较相邻两项的大小进行判断.在与不等式的证明相结合时,注意构造函数,结合函数的单调性来证明不等式.
典例3已知数列满足=.
(1)求证:
数列是等比数列;
(2)若恒成立,求实数的取值范围.
典例4已知函数满足且.
(1)当时,求的表达式;
(2)设,,求证:
…;
(3)设,,为的前项和,当最大时,求的值.
∴数列是一个首项是4,公差为的等差数列,
∴当时,;当时,;当时,.
故当或时,取得最大值,为.
2.已知数列为等比数列,数列为等差数列,且,,.
(1)求数列,的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,证明:
.
考向三等差、等比数列的实际应用
1.数列实际应用中的常见模型
①等差模型:
增加或减少的量是一个固定的常数,是公差;
②等比模型:
后一个量与前一个量的比是一个固定的常数,是公比;
③递推数列模型:
题目中给出的前后两项之间的关系不固定,随项的变化而变化,由此列递推关系式.
2.解答数列实际应用题的步骤
①审题:
仔细阅读题干,认真理解题意;
②建模:
将已知条件翻译成数学语言,将实际问题转化为数学问题;
③求解:
求出该问题的数学解;
④还原:
将所求结果还原到实际问题中.
在实际问题中建立数学模型时,一般有两种途径:
①从特例入手,归纳猜想,再推广到一般结论;②从一般入手,找到递推关系,再进行求解.
典例5某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂,第一年各种经费12万美元,以后每年比上一年增加4万美元,每年销售蔬菜收入50万美元,设f(n)表示前n年的纯利润(f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额).
(1)从第几年开始获得纯利润?
(2)若五年后,该台商为开发新项目,决定出售该厂,现有两种方案:
①年平均利润最大时,以48万美元出售该厂;②纯利润总和最大时,以16万美元出售该厂.问哪种方案较合算?
【解析】由题意,知每年的经费构成了以12为首项,4为公差的等差数列,
则f(n)=50n-[12n+×4]-72=-2n2+40n-72.
(1)获得纯利润就是要求f(n)>0,即-2n2+40n-72>0,解得2 又n∈N*,故从第三年开始获得纯利润. (2)①年平均利润为=40-2(n+)=16-2(-)2≤16,当且仅当n=6时取等号. 故此方案获利6×16+48=144万美元,此时n=6. ②f(n)=-2n2+40n-72=-2(n-10)2+128, 当n=10时,f(n)max=128. 故此方案共获利128+16=144万美元. 比较两种方案,在获利相同的前提下,第①种方案只需六年,第②种方案需要十年,故选择第①种方案. 3.2016年崇明区政府投资8千万元启动休闲体育新乡村旅游项目.规划从2017年起,在今后的若干年内,每年继续投资2千万元用于此项目.2016年该项目的净收入为5百万元,并预测在相当长的年份里,每年的净收入均在上一年的基础上增长.记2016年为第1年,为第1年至此后第年的累计利润(注: 含第年,累计利润=累计净收入−累计投入,单位: 千万元),且当为正值时,认为该项目赢利. (1)试求的表达式; (2)根据预测,该项目将从哪一年开始并持续赢利? 请说明理由. 考向四数列中的探索性问题 对于数列中的探索性问题主要表现为存在型,解答此类问题的一般策略是: (1)先假设所探求对象存在或结论成立,以此假设为前提进行运算或逻辑推理,若由此推出矛盾,则假设不成立,从而得到“否定”的结论,即不存在; (2)若推不出矛盾,能求得符合题意的数值或取值范围,则能得到肯定的结论,即得到存在的结果. 典例6已知数列满足,,且对任意,都有. (1)求,; (2)设). ①求数列的通项公式; ②设数列的前项和为,是否存在正整数,,且,使得,,成等比数列? 若存在,求出,的值,若不存在,请说明理由. 又, 所以,则,解得. 又,且,则,. 所以存在正整数,,使得,,成等比数列. 4.设是公差不为零的等差数列,满足数列的通项公式为. (1)求数列的通项公式; (2)将数列,中的公共项按从小到大的顺序构成数列,请直接写出数列的通项公式; (3)记,是否存在正整数,使得成等差数列? 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 考向五数列的求和 求数列的前n项和,根据数列的不同特点,通常有以下几种方法: (1)公式法,即直接利用等差数列、等比数列的求和公式求解; (2)倒序相加法,即如果一个数列的前n项中,距首末两项“等距离”的两项之和都相等,则可使用倒序相加法求数列的前n项和. (3)裂项相消法,即将数列的通项拆成结构相同的两式之差,然后消去相同的项求和.使用此方法时必须注意消去了哪些项,保留了哪些项,一般未被消去的项有前后对称的特点. 常见的裂项方法有: (4)错位相减法,若数列是等差数列,是等比数列,且公比为,求的前项和时,常用错位相减法求和.基本步骤是: 列出和式,两边同乘以公比,两式相减并求和.在写出与的表达式时,要将两式“错项对齐”,便于准确写出的表达式. 在运用错位相减法求和时需注意: ①合理选取乘数(或乘式); ②对公比的讨论; ③两式相减后的未消项及相消项呈现的规律; ④相消项中构成数列的项数. (5)分组求和法,如果一个数列可写成的形式,而数列,是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列,那么可用分组求和法. 典例7已知等比数列的前项和为,且满足. (1)求的值及数列的通项公式; (2)若数列满足,求数列的前项和. 【解析】 (1)由题意知,则,又,且成等比数列,则,解得. 则. (2)由可得,则,, 两式相减得, 则. 典例8已知数列是公差不为0的等差数列,,且,,成等比数列. (1)求数列的通项公式; (2)设,求数列的前项和. 5.设数列是等差数列,数列是各项都为正数的等比数列,且,. (1)求数列,的通项公式; (2)设,数列的前项和为,求证: . 1.已知等差数列满足,,等比数列满足,,则 A.32B.64 C.128D.256 2.已知,,,成等差数列,,,,,成等比数列,则的值是 A.B. C.或D. 3.已知等比数列中,,,,数列的前项和为,则 A.36B.28 C.45D.32 4.已知数列中,恒为定值,若时,,则 A.B. C.D. 5.中国人在很早就开始研究数列,中国古代数学著作《九章算术》、《算法统宗》中都有大量古人研究数列的记载.现有数列题目如下: 数列的前项和,,等比数列满足,,则 A.4B.5 C.9D.16 6.如图所示的三角形数阵满足: 其中第一行共有一项: ,第二行共有二项: ,,第三行共有三项: ,,,依此类推,第行共有项,若该数阵的第15行中的第5个数是,则 A.105B.109 C.110D.215 7.设等差数列的前项和为,已知,,则下列结论正确的是 A.B. C.D. 8.定义: 在数列中,若为常数),则称为“等方差数列”,下列是对“等方差数列”的有关判断: ①若是“等方差数列”,则数列是等差数列; ②是“等方差数列”; ③若是“等方差数列”,则数列为常数)也是“等方差数列”; ④若既是“等方差数列”又是等差数列,则该数列是常数数列. 其中正确命题的个数为 A.B. C.D. 9.已知数列是等差数列,数列是等比数列,且满足: ,,则__________. 10.已知数列的首项,且,如果是单调递增数列,则实数的取值范围是__________. 11.设为数列的前项和,已知,. (1)证明: 为等比数列; (2)求的通项公式,并判断,,是否成等差数列? 12.已知等比数列中,,,,. (1)求的通项公式; (2)设,求数列的前项和. 13.已知等差数列的公差,其前项和为,且,,成等比数列. (1)求数列的通项公式; (2)若,数列的前项和为,求证: . 14.设等差数列的前项和为,且成等差数列,. (1)求数列的通项公式; (2)设,求数列的前项和.
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