版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语12命题及其关系充分条件与必要条件教师用书文北师大版.docx

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2018版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.2命题及其关系、充分条件与必要条件教师用书文北师大版

1．四种命题及相互关系

2．四种命题的真假关系

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件与必要条件

（1）如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；

（2）如果p⇒q，但q⇏p，则p是q的充分不必要条件；

（3）如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；

（4）如果q⇒p，且p⇏q，则p是q的必要不充分条件；

（5）如果p⇏q，且q⇏p，则p是q的既不充分也不必要条件．

【知识拓展】

从集合角度理解充分条件与必要条件

若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为

（1）若A⊆B，则p是q的充分条件；

（2）若A⊇B，则p是q的必要条件；

（3）若A＝B，则p是q的充要条件；

（4）若AB，则p是q的充分不必要条件；

（5）若AB，则p是q的必要不充分条件；

（6）若A

B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）“x2＋2x－3<0”是命题．（　×　）

（2）命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．（　×　）

（3）若一个命题是真命题，则其逆否命题也是真命题．（　√　）

（4）当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．（　√　）

（5）当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．（　√　）

（6）若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．（　√　）

1．下列命题为真命题的是（　　）

A．若

＝

，则x＝yB．若x2＝1，则x＝1

C．若x＝y，则

＝

D．若x

答案　A

2．（教材改编）命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是（　　）

A．若x

C．若x>y，则x2>y2D．若x≥y，则x2≥y2

答案　B

解析　根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．

3．（教材改编）“（x－1）（x＋2）＝0”是“x＝1”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　由（x－1）（x＋2）＝0可得x＝1或x＝－2，

∵{1}{1，－2}，

∴“（x－1）（x＋2）＝0”是“x＝1”的必要不充分条件．

4．（2017·西安一中质检）已知a，b是实数，则“a>2且b>2”是“a＋b>4且ab>4”的（　　）

A．必要而不充分条件

B．充分而不必要条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　∵

⇒

反之不正确，故“a>2且b>2”是“a＋b>4且ab>4”的充分不必要条件．

5．（教材改编）下列命题：

①“x＝2”是“x2－4x＋4＝0”的必要不充分条件；

②“圆心到直线的距离等于半径”是“这条直线为圆的切线”的充分必要条件；

③“sinα＝sinβ”是“α＝β”的充要条件；

④“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件．

其中为真命题的是________．（填序号）

答案　②④

题型一　命题及其关系

例1　（2016·潍坊一模）有下列四个命题：

①若“xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；

②“面积相等的三角形是全等三角形”的否命题；

③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；

④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．

其中真命题为（　　）

A．①②B．②③

C．①④D．①②③

答案　D

解析　①的逆命题：

“若x，y互为倒数，则xy＝1”是真命题；②的否命题：

“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题；③的逆否命题：

“若x2－2x＋m＝0没有实数解，则m>1”是真命题；命题④是假命题，所以它的逆否命题也是假命题．故选D.

思维升华　

（1）写一个命题的其他三种命题时，需注意：

①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；

②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．

（2）判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．

（3）根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．

（1）命题“若x>0，则x2>0”的否命题是（　　）

A．若x>0，则x2≤0

B．若x2>0，则x>0

C．若x≤0，则x2≤0

D．若x2≤0，则x≤0

（2）某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是（　　）

A．不拥有的人们会幸福

B．幸福的人们不都拥有

C．拥有的人们不幸福

D．不拥有的人们不幸福

答案　

（1）C　

（2）D

题型二　充分必要条件的判定

例2　

（1）（2015·四川）设a，b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的（　　）

A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

（2）已知条件p：

x>1或x<－3，条件q：

5x－6>x2，则綈p是綈q的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　

（1）B　

（2）A

解析　

（1）∵3a>3b>3，∴a>b>1，此时loga33b>3，例如当a＝

，b＝

时，loga3b>1.故“3a>3b>3”是“loga3

（2）由5x－6>x2，得2

即q：

2

所以q⇒p，p⇏q，所以綈p⇒綈q，綈q⇏綈p，

所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.

思维升华　充分条件、必要条件的三种判定方法

（1）定义法：

根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．

（2）集合法：

根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．

（3）等价转化法：

根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．

（1）（2016·四川）设p：

实数x，y满足x>1且y>1，q：

实数x，y满足x＋y>2，则p是q的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

（2）已知p：

x＋y≠－2，q：

x，y不都是－1，则p是q的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　

（1）A　

（2）A

解析　

（1）当x>1，y>1时，x＋y>2一定成立，即p⇒q，

当x＋y>2时，可以x＝－1，y＝4，即q⇏p，

故p是q的充分不必要条件．

（2）（等价法）因为p：

x＋y≠－2，q：

x≠－1或y≠－1，

所以綈p：

x＋y＝－2，綈q：

x＝－1且y＝－1，

因为綈q⇒綈p但綈p⇏綈q，

所以綈q是綈p的充分不必要条件，

即p是q的充分不必要条件，故选A.

题型三　充分必要条件的应用

例3　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．

解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}，

由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.

则

∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．

引申探究

1．本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

解　若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，

∴

方程组无解，

即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

2．本例条件不变，若x∈綈P是x∈綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

解　由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，

∵綈P是綈S的必要不充分条件，

∴P⇒S且S⇏P.

∴[－2,10][1－m,1＋m]．

∴

或

∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞）．

思维升华　充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：

（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的

关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解．

（2）要注意区间端点值的检验．

（1）已知命题p：

a≤x≤a＋1，命题q：

x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________________．

（2）已知命题p：

－4

（x－2）（3－x）>0，若綈p是綈q的充分条件，则实数a的取值范围是________．

答案　

（1）（0,3）　

（2）[－1,6]

解析　

（1）令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0

∵p是q的充分不必要条件，∴MN，

∴

解得0

（2）由p：

－4

由q：

（x－2）（3－x）>0成立，得2

所以綈p：

x≤a－4或x≥a＋4，綈q：

x≤2或x≥3，

又綈p是綈q的充分条件，所以

解得－1≤a≤6，故答案为[－1,6]．

1．等价转化思想在充要条件中的应用

典例　

（1）（2016·湖北七校联考）已知p，q是两个命题，那么“p∧q是真命题”是“綈p是假命题”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

（2）已知条件p：

x2＋2x－3>0；条件q：

x>a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是（　　）

A．[1，＋∞）B．（－∞，1]

C．[－1，＋∞）D．（－∞，－3]

思想方法指导　等价转化是将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题，在解题

中经常用到．本题可将题目中条件间的关系和集合间的关系相互转化．

解析　

（1）因为“p且q是真命题”等价于“p，q都为真命题”，且“綈p是假命题”等价于

“p是真命题”，所以“p且q是真命题”是“綈p是假命题”的充分不必要条件．

（2）由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．

∴{x|x>a}{x|x<－3或x>1}，∴a≥1.

答案　

（1）A　

（2）A

1．命题“若α＝

，则tanα＝1”的否命题是（　　）

A．若α≠

，则tanα≠1

B．若α＝

，则tanα≠1

C．若tanα≠1，则α≠

D．若tanα≠1，则α＝

答案　A

2．命题“如果x≥a2＋b2，那么x≥2ab”的逆否命题是（　　）

A．如果x

B．如果x≥2ab，那么x≥a2＋b2

C．如果x<2ab，那么x

D．如果x≥a2＋b2，那么x＜2ab

答案　C

解析　命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，“≥”的否定是“<”．故答案C正确．

A．逆命题B．否命题

C．逆否命题D．否定

答案　B

解析　命题p：

“正数a的平方不等于0”写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．

4．（2015·重庆）“x＞1”是“log

（x＋2）＜0”的（　　）

A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　由x＞1⇒x＋2＞3⇒log

（x＋2）＜0，log

（x＋2）＜0⇒x＋2＞1⇒x＞－1，故“x＞1”是“log

（x＋2）＜0”成立的充分不必要条件．故选B.

5．（2016·山东）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；

若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.

6．已知集合A＝{x∈R|

<2x<8}，B＝{x∈R|－1

A．{m|m≥2}B．{m|m≤2}

C．{m|m>2}D．{m|－2

答案　C

解析　A＝{x∈R|

<2x<8}＝{x|－1

∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，

∴AB，∴m＋1>3，

即m>2，故选C.

7．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　C

解析　由Venn图易知充分性成立．反之，A∩B＝∅时，由Venn图（如图）可知，存在A＝C，同时满足A⊆C，B⊆∁UC.

故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充要条件．

8．函数f（x）＝

有且只有一个零点的充分不必要条件是（　　）

A．a<0B．0

C.

1

答案　A

解析　因为函数f（x）过点（1,0），所以函数f（x）有且只有一个零点⇔函数y＝－2x＋a（x≤0）没有零点⇔函数y＝2x（x≤0）与直线y＝a无公共点．由数形结合，可得a≤0或a>1.

观察选项，根据集合间关系得{a|a<0}{a|a≤0或a>1}，故选A.

9．设a，b为正数，则“a－b>1”是“a2－b2>1”的________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）

答案　充分不必要

解析　∵a－b>1，即a>b＋1.

又∵a，b为正数，

∴a2>（b＋1）2＝b2＋1＋2b>b2＋1，即a2－b2>1成立，反之，当a＝

，b＝1时，满足a2－b2>1，但a－b>1不成立．所以“a－b>1”是“a2－b2>1”的充分不必要条件．

10．有三个命题：

①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；

③“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题．

其中真命题的序号为____________．

答案　①

解析　命题①为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；因为命题“若a>b，则a2>b2”是假命题，故命题②是假命题；命题③为“若x>－3，则x2＋x－6≤0”，因为x2＋x－6≤0⇔－3≤x≤2，故命题③是假命题．综上知只有命题①是真命题．

11．给定两个命题p、q，若綈p是q的必要不充分条件，则p是綈q的________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）

答案　充分不必要

解析　因为綈p是q的必要不充分条件，所以q⇒綈p但綈p⇏q，其逆否命题为p⇒綈q但綈q⇏p，所以p是綈q的充分不必要条件．

12．若xm＋1是x2－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．

答案　[0,2]

解析　由已知易得{x|x2－2x－3>0}{x|xm＋1}，又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，

∴

或

∴0≤m≤2.

13．若“数列an＝n2－2λn（n∈N＋）是递增数列”为假命题，则λ的取值范围是_____________．

答案　[

，＋∞）

解析　若数列an＝n2－2λn（n∈N＋）为递增数列，则有an＋1－an>0，即2n＋1>2λ对任意的n∈

N＋都成立，于是可得3>2λ，即λ<

.

故所求λ的取值范围是[

，＋∞）．

14.（2016·贵州七校联考）以下四个命题中，真命题的个数是________．

①“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题；

②存在正实数a，b，使得lg（a＋b）＝lga＋lgb；

③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”；

④在△ABC中，A

答案　2

解析　①原命题的逆命题为：

若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2，而a＝2，b＝－2满足条件a，b中至少有一个不小于1，但此时a＋b＝0，故①是假命题；②根据对数的运算性质，知当a＝b＝2时，lg（a＋b）＝lga＋lgb，故②是真命题；③“所有奇数都是素数”的否定为“至少有一个奇数不是素数”，故③是真命题；④根据题意，结合边角的转换，以及正弦定理，可知A

15.已知集合A＝{y|y＝x2－

x＋1，x∈[

，2]}，B＝{x|x＋m2≥1}，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．

解　y＝x2－

x＋1＝（x－

）2＋

，

∵x∈[

，2]，∴

≤y≤2.

∴A＝{y|

≤y≤2}．

由x＋m2≥1，得x≥1－m2，

∴B＝{x|x≥1－m2}．

∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，

∴A⊆B，∴1－m2≤

，

解得m≥

或m≤－

，

故实数m的取值范围是（－∞，－

]∪[

，＋∞）．