实际问题与二次函数专题练习.docx
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实际问题与二次函数专题练习
实际问题与二次函数专题练习
1、某新建商场设有百货部、服装部和家电部三个经营部,共有190名售货员,计划全商场日营业额(指每日卖出商品所收到的总金额)为60万元,由于营业性质不同,分配到三个部的售货员的人数也就不等。
根据经验,各部门每1万元营业额所需售货员人数和每1万元营业额所得利润情况如下表。
商场将计划日营业额分配给三个营业部,设分配给百货部、服装部和家电部的营业额分别为x(万元),y(万元)和z(万元)(x、y、z都
是整数)
(1)请用含x的代数式分别表示y和z;
(2)若商场预计每日的利润为C(万元),且C满足19≤C≤19.7,问这个商场应怎样分配日营业额给三个营业部?
各部应分别安排多少名售货员?
解:
(1)依题意列方程组:
得:
(3)
得:
(4)
(2)
把(3)(4)式代入C:
解此不等式得:
∴x=8,9,10;y=23,21.5,20;z=29,29.5,30
x、y、z都是整数∴x、y、z的解分别为(8,23,29)或(10,20,30)
答:
这个商场分配日营业额方案为百货部8万元(40人),服装部23万元,售货员为92人,家电部为29万元,售货员为58人;或者是百货部营业额10万元,用人50,服装部20万元,80人,家部电30万元,60人。
2、某宾馆有50个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天180元时,房间会全部住满,当每个房间每天的房价每增加10元时,就会有一个房间空闲,宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用,根据规定,每个房间每天的房价不得高于340元,设每个房间的房价每天增加x元(x为10的整数倍)。
(1)设一天订住的房间数为y,直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;
(2)设宾馆一天的利润为w元,求w与x的函数关系式;
(3)一天订住多少个房间时,宾馆的利润最大?
最大利润是多少元?
解:
(1)由题意得:
y=50-,且0≤x≤160,且x为10的正整数倍.
(2)w=(180-20+x)(50-),即w=-x2+34x+8000;
(3)w=-x2+34x+8000=-(x-170)2+10890
抛物线的对称轴是:
x=-=-=170,
抛物线的开口向下,当x<170时,w随x的增大而增大,但0≤x≤160,因而当x=160时,即房价是340元时,利润最大,
此时一天订住的房间数是:
50-=34间,
最大利润是:
34×(340-20)=10880元.
答:
一天订住34个房间时,宾馆每天利润最大,最大利润为10880元.
3、心理学家研究发现,一般情况下,学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的注意力逐渐增强,中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态,随后学生的注意力开始分散,经过实验分析可知,学生的注意力y,随时间t的变化规律有如下关系式:
(1)讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较,何时学生的注意力更集中?
(2)讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中?
能持续多少分钟?
(3)一道数学难题,需要讲解24分钟,为了效果较好,要求学生的注意力最低达到180,那么经过适当安排,老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目?
解:
(1)当x=5时,y=195,当x=25时,y=205,
∵205>195,
∴讲课开始后第25分钟时学生的注意力比讲课开始后第5分钟时更集中;
(2)当0<t≤10时,y=-t2+24t+100=-(t-12)2+244,该图像的对称轴为t=12,在对称轴左侧,y随t的增大而增大,所以,当t=10时,y有最大值240,
当20<t≤40时,y=-7t+380,y随t的增大而减小,所以,当t=20时,y有最大值240,
所以,讲课开始后10分钟时,学生的注意力最集中,能持续10分钟;
(3)当0<t≤10时,令y=-t2+24t+100=180,
∴t=4,
当20<t≤40时,令y=-7t+380=180,
∴t=28.57,
所以,学生注意力在180以上的持续时间为28.57-4=24.57(分钟),
所以,老师可以经过适当安排,能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目。
4、有一种螃蟹,从海上捕获后不放养,最多只能存活两天,如果放养在塘内,可以延长存活时间,但每天也有一定数量的蟹死去,假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变,现有一经销商,按市场价收购这种活蟹1000kg放养在塘内,此时市场价为每千克30元,据测算,此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元,但是,放养一天需支出各种费用为400元,且平均每天还有10kg蟹死去,假定死蟹均于当天全部销售出,售价都是每千克20元。
(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元,写出p关于x的函数关系式;
(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售,并记1000kg蟹的销售总额为Q元,写出Q关于x的函数关系式;
(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获最大利润?
(利润=Q-收购总额)
解:
(1)由题意知:
p=30+x;
(2)由题意知:
活蟹的销售额为(1000-10x)(30+x)元,
死蟹的销售额为200x元,
∴Q=(1000-10x)(30+x)+200x=-10x2+900x+30000;
(3)设总利润为L=Q-30000-400x=-10x2+500x,
=-10(x2-50x)=-10(x2-50x+252-252)=-10(x-25)2+6250.
当x=25时,总利润最大,最大利润为6250元.
5、如图,等腰直角三角形ABC的直角边AB=2,点P、Q分别从A、C两点同时出发,以相同速度作直线运动.已知点P沿AB运动,点Q沿边BC的延长线运动,PQ与直线AC相交于点D.
1、设AP的长为x,S△PCQ的面积为S,求出S关于x的解析式
2、当AP长为何值时,S△PCQ=S三角形ABC?
3、作PE垂直AC于E,当点P,Q运动时,线段DE长度是否改变?
证明你的结论.
解:
(1)∵△ABC是等腰直角三角形,
∴AB=BC=2.∵P、Q速度相同,
∴AP=CQ=x,PB=2-X
当0≤x≤2时S△PCQ=CQPB=PB=X(2-X)
当x>2时,S△PCQ==X(X-2)
(2)由题意,得
△ABC=时,
令X(2-X)=2即X2-2X+4=0 此方程无解
令X(X-2)=2 即X2-2X-4=0 解得X=1(负值舍去)
故 当AP的长为1+S△PCQ=S△ABC.
(3)作PFBC交AC延长线于F,则AP=PF=CQ
∴△PFD△QCD ∴FD=CD=
∵AP=X ∴AE=EF=
∵AB=2 ∴AC=2
当0≤x≤2时 ∵CF=AC-AF=2-X FD==-X ∴DE=EF+DF=
当x>2时,同理可得DE=
故,当P、Q运动时,线段DE的长度保持不变,始终等于
6、如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动;同时,点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动,设运动的时间为ts(0 (1)当t为何值时,△PBQ的面积等于8cm ? (2)求证: 四边形PBQD面积为定值. (3)当t为何值时,△PDQ是等腰三角形? 写出探索过程. 解: (1)由题意得: ×(6-t)×2t=8 ∴t=2或t=4 ∴当t=2或t=4时△PBQ的面积等于8cm2. (2)∵ =36 ∴四边形PBQD的面积始终等于36,为定值. (3)①当DP=DQ时,由题意得 解得 (舍去), ②当DP=PQ时,由题意得 解得 (舍去), (舍去) ③当DQ=PQ时,由题意得 解得 (舍去), 综上所述,当 为 ,或 时,△PDQ等腰三角形. 7、你知道吗? 平时我们在跳大绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线.如图所示,正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m,距地面均为1m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2.5m处.绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙的身高是1.5m,则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如图所示) 解: 设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c, 因为抛物线过点(-1,1)、(3,1)、(0,1.5) 所以有: 解之得 所以y=-x2+x+1.5 当x=1.5时,y==1.625. 即丁的身高是1.625米. 8、某高科技发展公司投资500万元,成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品,并投入资金1500万元进行批量生产。 已知生产每件产品的成本为40元,在销售过程中发现: 当销售单价定为100元时,年销售量为20万件;销售单价每增加10元,年销售量将减少1万件,设销售单价为元,年销售量为万件,年获利(年获利=年销售额-生产成本-投资)万元。 (1)试写出与之间的函数关系式;(不必写出的取值范围) (2)试写出与之间的函数关系式;(不必写出的取值范围) (3)计算销售单价为160元时的年获利,并说明同样的年获利,销售单价还可以定为多少元? 相应的年销售量分别为多少万件? (4)公司计划: 在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售,第二年年获利不低于1130万元。 请你借助函数的大致图象说明,第二年的销售单价(元)应确定在什么范围内? : 解: (1)试写出y与x之间的函数关系式(不必写出x的取值范围); y=20-=20-+10=30- (2)试写出z与x之间的函数关系式(不必写出x的取值范围); z=xy-40y-500=x(30-)-40(30-)-500 =30x--1200+4x-500=-+34x-1700 (3)z=-+34x-1700=-(x-170)²+1190 x=160时,年获利z=-×100+1190=1180万 当z=1180时 -(x-170)²=-10 x-170=10或-10 x=180或160要获得同样的年获利,单价还可以定为180元,此时销售量y=30-180/10=30-18=12万件 (4)z=-x2+34x-3200=-(x-170)2-310; 因此当x=170时,z取得最大值-310, 第二年的销售单价定为x元时,则年获利为 z=(-x+30)(x-40)-310=-x2+34x-1510; 当z=1130时,1130=-x2+34x-1510, 解得x1=120,x2=220, 函数z=-x2+34x-1510的图象大致如图: 由图象可知当120≤x≤220时,z≥1130. 9、某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售,对三月份至七月份该商品 的售价和成本进行了调研,结果如下: 每件商品的售价M(元)与时间t(月)的关 系可用一条线段上的点来表示(如图1),每件商品的成本Q(元)与时间t(月) 的关系可用一条抛物线的一部分上的点来表示(如图2)。 (说明: 图1,图2中 的每个实心黑点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本.)请你根据图象提 供的信息回答: (1)每件商品在3月份出售时的利润(利润=售价﹣成本)是多少元? (2)求图2中表示的每件商品的成本Q(元)与时间t(月)之间的函 数关系式(不要求写自变量的取值范围); (3)你能求出三月份至七月份每件商品的利润W(元)与时间t(月) 之间的函数关系式吗(请写出计算过程,不要求写自变量的取值范围)? 若该 公司共有此种商品30000件,准备在一个月内全部售完,请你计算一下至少可 获利多少元? 解: (1)每件商品在3月份出售时的利润为5元; (2)∵抛物线的顶点坐标为(6,4) ∴设抛物线的解析式为Q=a(t﹣6)2+4∵抛物线过(3,1)点 ∴1=a(3﹣6)2+4解得: a=﹣ ∴Q=﹣ (t﹣6)2+4=﹣ t2+4t﹣8,其中t=3、4、5、6、7; (3)设每件商品的售价M(元)与时间t(月)之间的函数关系式为M=kt+b ∵线段过(3,6)、(6,8)两点 ∴3k+b=66k+b=8解得: k= ,b=4 ∴M= t+4,其中t=3、4、5、6、7, 所以每件商品的利润W(元)与时间t(月)的函数关系式为 W=M﹣Q=( t+4)﹣(﹣ t2+4t﹣8)= t2﹣ t+12 ∴W= (t﹣5)2+ ,其中t=3、4、5、6、7 ∴当t=5时,W的最小值为 元 ∴30000件商品一个月内售完,至少获利30000× =110000元。 答: 30000件商品一个月内售完,至少获利110000元。 10、在黄州服装批发市场,某种品牌的时装当季节将来临时,价格呈上升趋势,设这种时装开始时定价为20元,并且每周(7天)涨价2元,从第6周开始保持30元的价格平稳销售;从第12周开始,当季节即将过去时,平均每周减价2元,直到第16周周末,该服装不再销售. (1)试建立销售价y与周次x之间的函数关系式; (2)若这种时装每件进价Z与周次x次之间的关系为Z=-0.125(x-8)2+12.(1≤x≤16),且x为整数,试问该服装第几周出售时,每件销售利润最大? 最大利润为多少? 解: (1)依题意得,可建立的函数关系式为: ∴y= 即y= (2)设备利润为W,则W=售价-进价 故W= 化简得W= ①W=x2+14时,∵当x≥0,函数W随着x增大而增大,∵1≤x<6 ∴当x=6时,W有最大值,最大值=18.5 ②当W=x2-2x+26时,∵W=(x-8)2+18,当x≥8时,函数W随x增大而增大, ∴在x=11时,函数有最大值为19 ③当W=x2-4x+48时,∵W=(x-16)2+16, ∵12≤x≤16,当x≤16时,函数W随x增大而减小, ∴在x=12时,函数有最大值为18 综上所述,当x=11时,函数有最大值为19 11、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程.下面的二次函数(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润的总和s与t之间的关系).根据图象提供的信息,解答下列问题: (1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式; (2)求截止到几月末公司累积利润可达30万元; (3)求第8个月公司所获利润是多少万元? 解: (1)设S与t的函数关系式为S=at2+bt+c则 解得 ∴S=t2-2t; (2)把S=30代人S=t2-2t得t=10 即截止到10月末公词累积利润可达到30万元。 (3)把x=7代入关系式,得S=t2-2t=10.5, 把x=8代入关系式,得S=t2-2t=16, 16-10.5=5.5, 答: 第8个月公司所获利是5.5万元. 12、某公司生产的A种产品,它的成本是2元,售价为3元,年销售量为100万件为了获得更好的效益,公司准备拿出一定的资金做广告,根据经验,每年投入的广告费是x(单位: 10万元)时,产品的年销量将是原销售量的y倍,且y=-1/10x^2+3/5x+1.把利润看成是销售总额减去成本费和广告费. 1、试写出年利润S(单位10万元)与广告费x(单位10万元)的函数关系式 2、如果投入广告费为10~30万元,问广告费在什么范围内,公司获得的年利润随广告费的增大而增大 3、在2中,投入的广告费为多少万元时,公司获得的年利润最大? 是多少? 解: (1)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c. 由关系表,得 解得 ∴函数的解析式为y=-x2+x+1. (2)根据题意,得S=10y(3-2)-x=-x2+5x+10 (3)S=-x2+5x+10=-(x-)2+ ∵1≤x≤3,∴当1≤x≤2.5时,S随x的增大而增大. 故当年广告费为10~25万元之间,公司获得的年利润随广告费的增大而增大 13、某公园要建造一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面竖一根柱子,上面的A处安装一个喷头向外喷水.连喷头在内,柱高为0.8m.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,根据设计图纸已知: 图中所示直角坐标系中,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=-x2+2x+。 (1)确定关系式中的值; (2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少? (3)不计其他因素,那么水池的半径至少为多时,才能使喷出的水流都落在水池内? 解: (1)当x=0时,y=5/4, 故OA的高度为1.25米; (2)∵y=-x²+2x+5/4=-(x-1)²+2.25, ∴顶点是(1,2.25), 故喷出的水流距水面的最大高度是2.25米; (3)解方程-x²+2x+5/4=0, 得x1=-1/2,x2=5/2, ∴B点坐标为(5/2,0), ∴OB=5/2. 故不计其他因素,水池的半径至少要2.5米,才能使喷出的水流不至于落在水池外. 14、有一座抛物线型拱桥,正常水位时,桥下水面宽度为20m,拱顶距水面4m. (1)如图所示的直角坐标系中,求出该抛物线的关系式. (2)在正常水位的基础上,当水位上升h(m)时,桥下水面的宽度为d(m),求出将d表示为h的函数关系式. (3)设正常水位时,桥下的水深为2m,为保证过往船只的顺利通过,桥下水面的宽度不得小于18m,求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行? 解: (1)设二次函数解析式为y=ax2, 代入点(10,-4)得﹣4=100a,解得a=﹣ , 因此二次函数解析式为y=﹣ x2; (2)把点( ,4-h)代入函数解析式y=- x2,得h=4- d2 (3)把x=9代入函数解析式y=﹣ x2中, ∵y=﹣ ×92=﹣ (米), ∴4+2﹣ = . 答: 当水深超过 米时,超过了正常水位 ,就会影响过往船只在桥下顺利航行. 15、如图,RT△PMN中,∠P=90°,PM=PN,MN=8cm,矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm,C和M点重合,BC和MN在一条直线上,令RT△PMN不动,矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动,直到C点与N点重合为止.设移动x秒,矩形ABCD与△PMN重叠面积为ycm². (1)当D在边PM上时,求x和y的值 (2)当D点在边PN上时求x和y的值 (3)求x和y之间的函数关系式 解: 在Rt△PMN中, ∵PM=PN,∠P=90°∴∠PMN=∠PNM=45°, 延长AD分别交PM,PN于点G. 过G作GF⊥MN于F,过H作HT⊥MN于T. ∵DC=2cm,∴MF=GF=2cm,TN=HT=2cm. ∵MN=8cm,∴MT=6cm. 因此,矩形ABCD以每秒1cm的速度由开始向右移动到停止,和Rt△PMN重叠部分的形状可分为下列三种情况: (1)当C点由M点运动到F点的过程中(0≤x≤2),如图①所示, 设CD与PM交于点E,则重叠部分图形是Rt△MCE,且MC=EC=x. ∴y=1/2MC•EC=x²/2(0≤x≤2) (2)当C点由F点运动到T点的过程中(2<x≤6),如图②所示,重叠部分图形是直角梯形MCDG. ∵MC=x,MF=2, ∴FC=DG=x-2,且DC=2, ∴y=1/2(MC+GD)•DC=2x-2(2<x≤6) (3)当C点由T点运动到N点的过程中(6<x≤8) 设CD与PN交于点Q,则重叠部分图形是五边形MCQHG. ∵MC=x, ∴CN=CQ=8-x,且DC=2, ∴y=1/2(MG+GH)×DC-1/2(CN×CQ) =-1/2(x-8)²+12(6<x≤8).
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