五奥第9讲容斥原理.docx
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五奥第9讲容斥原理
第九讲容斥原理
教学目标:
让学生掌握容斥原理的基本类型,并能运用此类题的解题方法灵活地解决问题。
教学重点:
1、学会基本的容斥原理公式及其分类。
2、运用容斥原理的基本方法解决问题,做到不重不漏。
教学难点:
1、能解决较复杂的容斥原理问题。
2、含三类的容斥原理。
教学过程
一、故事引入,揭示课题,明确容斥原理的基本类型与解题方法。
故事引入:
森林里住着很多动物,狮子大王派仙鹤去统计鸟的种数,蝙蝠跑去说:
“我有翅膀,我算鸟类。
”仙鹤把蝙蝠统计进去了,结果得出森林中共有80种鸟类。
狮子大王又派大象去统计兽类的种类,蝙蝠又跑去说:
“我没有羽毛,我算兽类。
”结果统计出森林中共有70种兽类。
最后狮子大王问:
“森林中共有鸟类和兽类多少种?
”狐狸军师听了仙鹤和大象的统计结果,向狮子大王报告:
“森林中鸟类与兽类共计150种。
”这个统计对吗?
兔子跑过来说:
“不对,因为在这个统计中,蝙蝠被算了两次。
”正确答案应该是80+70-1=149(种)。
师:
在计数时,必须注意无一重复,无一遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算,人们研究出一种新的计数方法,这种方法的基本思想是:
先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。
知识点:
如果被计数的事物有A、B两类,那么,A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
二、教学例题,掌握技巧。
例1、一个班有学生45人,参加数学兴趣小组有30人,参加音乐兴趣小组的有22人,并且每人至少参加一个班,这个班两组都参加的有多少人?
分析:
直接用公式
解答:
30+22—45=7(人)
课堂练习32页练习1
答案25+20=45(人)
40—10=30.(人)
45—30=15(人)
小结:
先计算出所有情况情况,再减去多算的。
就可以计算出所用数目。
师:
刚才我们学了最简单的容斥原理,下面看一个较复杂的
例2、在1到1000的自然数中,能被3或5整除的数共有多少个?
不能被3或5整除的数共有多少个?
分析:
先分别求出能被3与被5整除的个数,再减去既能被3整除又能被5整除(即能被15)整除的数。
解答:
1000÷3=333(个)……1
1000÷5=200(个)
[3,5]=151000÷15=66(个)……10
333+200—66=467(个)
1000—467=533(个)
课堂练习:
在1到100的自然数中,能被2或3整除的数共有多少个?
答案100÷2=50(个)
100÷3=33(个)……1
[2,3]=6100÷6=16(个)……6
50+33—16=67(个)
小结:
通过分析,将题目转化为容斥原理。
即先分别求出能被3与被5整除的个数,再减去既能被3整除又能被5整除的数。
答:
能被3或5整除的数共有467个,不能被3或5整除的数共有533个,。
师:
前面的都是含两个的容斥原理,下面我们来学习三个的。
知识点:
如果被计数的事物有A、B、C三类,那么,A类和B类和C类元素个数总和=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
例3、(原例4)某校六
(1)班有学生54人,每人在暑假里都参加体育训练队,其中参加足球队的有25人,参加排球队的有22人,参加游泳队的有34人,足球、排球都参加的有12人,足球、游泳都参加的有18人,排球、游泳都参加的有14人,问:
三项都参加的多少人?
分析:
本题是一道容斥原理2的应用,直接用公式即可
解答:
25+22+34—12—18—14=37(人)
54—37=17(人)
答:
三项都参加的17人。
课堂练习33页第5题
答案:
24+31+20—5—6—7+3=60(人)
刚才是一个直接的容斥原理,下面我们来看一个容斥原理的应用。
这一题需要较强的分析能力。
例4、(原例5)在一根长木棍上有三种刻度线,第一种刻度线将木棍分成10等份,第二种将木棍分成12等份,第三种将木棍分成15等份,如果沿每条刻度线将木棍锯断,木棍总共被锯成多少段?
分析:
师:
题目中没有告诉我们木棍的长度,那锯成几段后该怎样计算?
能不能设一个长度呢?
生:
能。
师:
那设什么数最简单呢?
生:
10,12,15的最小公倍数。
解答:
[10,12,15]=60
60÷10=660÷12=560÷15=4
师:
每隔4,5,6就会锯一段,但是中间会有重复的,
[4,5]=20[4,6]=12[5,6]=30[4,5,6]=60
60÷20=3(段)60÷12=5(段)60÷30=2(段)60÷60=1(段)
10+12+15—3—5—2+1=28(段)
答:
,木棍总共被锯成28段。
小结:
本题首先要明白如何设数,在数字大小对题目结果没有影响的前提下,一般情况下设最小公倍数。
其次,将分析实际问题中的条件,再用公式解题。
例5(原例3)分母是1001的最简分数一共有多少个?
注:
将“最简分数”改为“最简真分数”并且老师需首先讲解什么是“最简真分数”如时间不够,可选择不讲本题。
分析:
要求最简分数就只需要求分子不是1001的因数,即求出1001的因数再用1001去减就可以了。
1001=7×11×13
7的倍数有11×13个,11的倍数有7×13个,13的倍数有7×11个,
既是7又是11的倍数有13个,既是7又是13的倍数有11个,既是13又是11的倍数有11个,既是7又是11又是13的倍数有1个,
解答:
1001=7×11×13
11×13+7×13+7×11—7—11—13+1
=143+91+77—7—11—13+1
=281(个)
1001—281=720(个)
答:
分母是1001的最简分数一共有720个?
例6、实验小学举办书法展,学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品,其中有28幅不是五年级的,有24幅不是六年级的,五、六年级参展作品共有20幅,一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展的作品总数少4幅。
一、二年级参展的书法作品共有多少幅?
分析:
师:
有28幅不是五年级的,有24幅不是六年级的,说明什么问题?
生:
一+二+三+四+六=28(幅)
一+二+三+四+五=24(幅)
师:
28+24表示什么呢?
生:
一二三四年级的两倍+五六年级的
师:
那我们可以求出一二三四年级的和,再用和差问题就可以求出一二年级的。
解答:
(28+24—20)÷2=32÷2=16(幅)
(16—4)÷2=6(幅)
答:
一、二年级参展的书法作品共有6幅。
小结:
将“不是”转化为“是”,再进行对比,找到突破口。
例7、森林里住着100只小白兔,凡是不爱吃萝卜的小白兔都爱吃白菜,其中爱吃萝卜的小白兔的数量是爱吃白菜的2倍,而不爱吃白菜的小白兔的数量是不爱吃萝卜的3倍,那么它们当中有多少只小白兔既爱吃萝卜又爱吃白菜?
0
分析:
不爱吃萝卜的小白兔+爱吃萝卜的小白兔=100(只)
不爱吃白菜的小白兔+爱吃白菜的小白兔=100(只)
还知道他们之间的倍数关系,因此可以用方程来解。
解答:
解:
设爱吃白菜的小白兔有X只,则不爱吃白菜的小白兔有(100—X)只,爱吃萝卜的小白兔有2X只,不爱吃萝卜的小白兔有(100—2X)只,
100—X=3×(100—2X)
100—X=300—6X
5X=200
X=40
爱吃白菜40只
不爱吃萝卜的小白兔有:
100—2×40=20(只)
40—20=20(只)
答:
它们当中有20只小白兔既爱吃萝卜又爱吃白菜。
小结:
碰到较复杂题目可以考虑方程
例8题目有问题
总结:
先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复。
如果被计数的事物有A、B两类,那么,A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
如果被计数的事物有A、B、C三类,那么,A类和B类和C类元素个数总和=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
板书设计
A、B两类例1例2
A类B类总和=A类+B类—既A又B例3例4
A、B、C三类例5例6
A类B类C类数总和=A类+B类+C类
—既A又是B—既A又C—既B又C+既A又B且C
,作业:
32页2、3、433页6。
训练题答案
训练A
1、25+20=45(人)
40—10=30.(人)
45—30=15(人)
2、30+26—13=43(人)
48—43=5(人)
3、15+12—4=23(人)
4、19+25—7=37(人)
46—37=9(人)
训练B
5、24+31+20—5—6—7+3=60(人)
6、58+38+52—18—16+12=126(人)
126—100=26(人)
52—(16+26—12)=22(人)
第7题超纲,学生没学过比
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- 五奥第 讲容斥 原理