华东师大版九年级数学上第25章 解直角三角形新.docx

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华东师大版九年级数学上第25章解直角三角形新

康庄中学九年级数学（上册）教案

第25章解直角三角形

课题

§25.1测量（共1课时）

备课人

授课人

授课时间

周星期

教

学

目

标

知识与技能：

（1）根据实际情况，灵活应用相似三角形知识进行物体高度的测量与计算。

（2）了解本章要探究的内容及探究的目的。

过程与方法：

通过对实际情况的具体分析，采用不同而切实可行的方式利用相似三角形知识进行物体高度的测量与计算，同时发现有必要探究直角三角形中各元素之间的关系，从而了解本章要探究的内容。

情感、态度与价值观：

再次感受相似三角形知识在测量中有广泛应用的同时，体验数学的发展是生产生活实践的需要，增强学习数学的自觉性。

教学

重点

利用相似三角形的特征和识别方法1,通过测量与绘图，计算物体的高度

教学

难点

对于相似三角形的特征和识别方法1，测量与绘图，计算物体高度的方法的理解与运用

教具

学具

教师：

多媒体课件学生：

课本练习本

教学设计（第1课时）

教学内容及教师活动

学生活动

个性增补

一．问题引入

1．测量操场旗杆有多高？

如图25.1.1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以计算出旗杆的高度．

2．如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？

人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识．

二．试一试

如图25.1.2所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1米．现在请你按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．

你知道计算的方法吗？

（请你量一量、算一算。

）

实际上，我们利用图25.1.2

（1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及到直角三角形中的边角关系．直角三角形中，三条边有什么关系？

它的边与角又有什么关系？

这一切都是本章要探究的内容．

三．归纳小结：

两种测量的方法：

方法一：

构造可以测量的与原三角形相似的小三角形，利用对应线段成比例的性质计算出所求线段的长；

方法二：

利用比例尺在纸上画一个与实物三角形相似的小三角形，通过直尺测量出所求线段在纸上的长度，再利用比例尺计算出实际长度。

四．课堂练习

1．在一次数学活动课上，老师让同学们到操场测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法。

小芳的测量方法是：

拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图所示），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A到竹竿顶部E处恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高。

你认为这种测量方法是否可行？

请说明理由。

2。

请同学们设计两种方案，测量你们学校楼房的高度。

学生认真看完题目后，积极思考解决的方法

学生合作交流解决问题的方法，教师最后补充完善

学生先自己小结，最后老师补充完善

学生代表板演，其余学生在练习本上做题

学生积极思考设计方案

作业设计

P87：

习题25．1

板书设计

拓展与提高

反馈与解决

评价与反思

备课组长：

教研组长：

教导主任

康庄中学九年级数学（上册）教案

第25章解直角三角形

课题

§25.2.1锐角三角函数（共2课时）

备课人

授课人

授课时间

周星期

教

学

目

标

1．了解锐角三角函数的定义；

2．初步掌握三角函数的性质；

3．知道几种特殊角的三角函数值；

4．掌握定理：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30゜，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

教学

重点

掌握几种特殊角的三角函数值和定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于30゜，那么它所对的直角边等于斜边的一半”。

教学

难点

掌握三角函数的性质

教具

学具

教师：

多媒体课件学生：

课本练习本

教学设计（第1课时）

教学内容及教师活动

学生活动

个性增补

一．复习引入

1．已知Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，问两个三角形的三组边是否成比例？

2．观察图25.2.1中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3中，

＝__________=__________

＝__________=__________

结论：

当Rt△ABC中，∠A的大小不变时，三条边的比例也不变（即为一个固定值）。

二．讲述新课

1．三角函数

对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是惟一确定的.因此这几个比值都是锐角∠A的函数，记作sinA、

cosA、tanA、cotA，即

sinA=

cosA=

tanA=

cotA=

分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A的三角函数.

1．锐角三角函数的特征与性质：

（1）锐角三角函数的值都是正实数，并且0＜sinA＜1，

0＜cosA＜1

（2）tanA•cotA=1

（3）若∠A＋∠B＝90°，则sinA＝cosB、cosA＝sinB、

tanA＝cotB、cotA＝tanB。

（4）补充：

，

（视情况定）

（5）补充：

已知锐角∠A，则

（视情况定）

3．例题讲解

例1求出图25.2.3所示的Rt△ABC中∠A的四个三角函数值.

解　

sinA=

cosA=

tanA=

cotA=

4．探索：

sin30゜＝？

5．定理：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30゜，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

6．做一做：

请填出空白处的值

三．课堂练习

P91（练习）：

1～4

四、学习小结：

通过本节的学习，同学们要了解推到特殊角三角函数值的方法，熟练记忆特殊角三角函数值并能进行正确运算，这在今后的学习中有很大帮助。

学生观察图形后通过思考得出结论：

当Rt△ABC中，∠A的大小不变时，三条边的比例也不变（即为一个固定值）。

学生通过合作讨论的形式自学锐角三角函数的概念及特征与性质

认真听讲积极思考

学生通过计算后填出表格的空白处

学生代表板演，其余学生在练习本上练习

作业设计

P93：

习题25．2：

1，2，3

板书设计

拓展与提高

反馈与解决

评价与反思

备课组长：

教研组长：

教导主任

康庄中学九年级数学（上册）教案

第25章解直角三角形

课题

§25.2锐角三角函数（共2课时）

备课人

授课人

授课时间

周星期

教

学

目

标

知识与技能：

（1）会用计算器求已知锐角的三角函数值。

（2）能由锐角的三角函数值，利用计算器求出对应的锐角。

过程与方法：

通过阅读、交流、操作、掌握用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值求锐角的步骤、方法和技能。

情感态度和价值观：

积极参加看书自学、合作交流、实际操作等活动，培养自学能力、动手能力和合作精神。

教学

重点

会用计算器求锐角三角函数值和由锐角三角函数值求锐角

教学

难点

熟练使用计算器解决锐角三角函数问题

教具

学具

教师：

多媒体课件学生：

课本练习本

教学设计（第2课时）

教学内容及教师活动

学生活动

个性增补

一．讲述新课

1．如何利用计算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角

拿出计算器，熟悉计算器的用法。

（1）求已知锐角的三角函数值.

1、求sin63゜52′41″的值.（精确到0.0001）

解　先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：

显示

再按下列顺序依次按键：

显示结果为0.897859012.

所以　　　sin63゜52′41″≈0.8979

例3　求cot70゜45′的值.（精确到0.0001）

解　在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出

），按下列顺序依次按键：

显示结果为0.349215633.

所以　　　cot70゜45′≈0.3492.

（2）由锐角三角函数值求锐角

例4　已知tanx=0.7410,求锐角x.（精确到1′）

解　在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出

），按下列顺序依次按键：

显示结果为36.53844577.

　　再按键：

显示结果为36゜32′18.4.

所以，x≈36゜32′.

二、例题讲解：

已知cotx=0.1950,求锐角x.（精确到1′）

分析　根据tanx＝

，可以求出tanx的值，然后根据例4的方法就可以求出锐角x的值.

三、课堂练习：

1、使用计算器求下列三角函数值.（精确到0.0001）

sin24゜,cos51゜42′20″,tan70゜21′,cot70゜.

2、已知锐角a的三角函数值，使用计算器求锐角a.（精确到1′）

（1）sina=0.2476;

（2）cosa=0.4174;

（3）tana=0.1890;（4）cota=1.3773.

四、内容总结：

1、不同计算器操作不同，按键定义也不一样。

2、同一锐角的正切值与余切值互为倒数。

3、在生活中运用计算器一定要注意计算器说明书的保管与使用。

五、方法归纳：

在解决直角三角形的相关问题时，常常使用计算器帮助我们处理比较复杂的计算。

学生先熟悉自己的计算器，计算器的型号不同操作方法也不同

学生合作交流展示自己的学习成果

以抢答的形式比一比看谁算得又对又快

作业设计

P93：

习题25.2：

4，5

板书设计

拓展与提高

反馈与解决

评价与反思

备课组长：

教研组长：

教导主任

康庄中学九年级数学（上册）教案

第25章解直角三角形

课题

§25.3解直角三角形（共3课时）

备课人

授课人

授课时间

周星期

教

学

目

标

知识与技能：

（1）了解解直角三角形的意义。

（2）会根据直角三角形中已知元素，正确应用勾股定理，锐角三角函数求其他未知元素。

过程与方法：

从利用勾股定理、锐角三角函数解决实际问题的过程中，归纳出解直角三角形的意义、类型和相应的解法。

情感态度和价值观：

通过对解决问题的反思，获得解决问题的经验和获得新的数学知识的方法，体会数学活动中多动脑筋、独立思考、合作交流的重要性。

教学

重点

解直角三角形的意义的归纳与理解

教学

难点

应用锐角三角函数解决实际问题

教具

学具

教师：

多媒体课件学生：

课本练习本

教学设计（第1课时）

教学内容及教师活动

学生活动

个性增补

一．复习提问

1．复述勾股定理的内容：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

2．锐角三角函数的定义：

3．sinA=

cosA=

tanA=

cotA=

。

2．锐角三角函数的特征与性质：

（1）锐角三角函数的值都是正实数，并且0＜sinA＜1，

0＜cosA＜1

（2）tanA•cotA=1

（3）若∠A＋∠B＝90°，则sinA＝cosB、cosA＝sinB、

tanA＝cotB、cotA＝tanB。

（4）补充：

，

（视情况定）

（5）补充：

已知锐角∠A，则

（视情况定）

二．讲述新课

1．解直角三角形：

在直角三角形中，除一个直角外，还有2个角和3条边共5个元素，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。

2、例题讲解：

例1　如图19.4.1所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？

解：

利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为

从而26＋10＝36（米）.

所以，大树在折断之前高为36米.

在例1中，我们还可以利用直角三角形的边角之间的关系求出另外两个锐角.像这样，在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.

例2如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40゜方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米）

解　在Rt△ABC中，

∵∠CAB＝90゜－∠DAC＝50゜，且

＝tan∠CAB,

∴BC＝AB•tan∠CAB

=2000×tan50゜≈2384（米）.

又∵

，

∴　AC＝

答：

敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米.

归纳小结：

在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′.

解直角三角形，有下面两种情况：

（1）已知两条边；

（2）已知一条边和一个锐角

三、课堂练习

1.在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？

2.海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在海船的北偏东30゜处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求灯塔Q到B处的距离.（画出图形后计算，精确到0.1海里）

四、小结：

直角三角形除了边满足勾股定理外，边角之间还满足三角函数，这些都是我们解直角三角形的理论基础，利用三角函数解直角三角形的关键是构造直角三角形，选择合适的关系式列方程求解，另外我们要将解直角三角形的知识灵活应用到解决实际问题的过程中。

学生积极思考并回答

学生认真听老师讲解解直角三角形的概念

学生先分组讨论解决例1及例2的方法，再派代表板演讲解，最后教师补充完善解题步骤及解题时注意的事项

学生合作讨论解直角三角形时应该注意的事项，最后教师再完善

学生先独立完成课堂练习，然后再互相交流各自的解题技巧

作业设计

P98：

习题25.3：

1；

板书设计

拓展与提高

反馈与解决

评价与反思

备课组长：

教研组长：

教导主任

康庄中学九年级数学（上册）教案

第25章解直角三角形

课题

§25.3解直角三角形（共3课时）

备课人

授课人

授课时间

周星期

教

学

目

标

1、熟练运用勾股定理等直角三角形的边角关系解决实际问题。

2、运用三角函数解直角三角形，感知本节知识与现实生活的密切联系。

3、掌握解直角三角形的几种情况，能够借助辅助线解决实际问题，进一步理解和掌握数形结合、抽象思维的思想方法。

4、学习掌握铅垂线、水平线、仰角、俯角、坡度、坡角、方位角等相关术语。

教学

重点

解直角三角形及其在实际中的应用，使学生养成“先画图，再求解”的习惯。

教学

难点

解直角三角形在实际中的应用及辅助线的添加方法。

教具

学具

教师：

多媒体课件学生：

课本练习本

教学设计（第2课时）

教学内容及教师活动

学生活动

个性增补

一、情境导入：

读一读：

如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.

二、合作探究

例3　如图4，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，求电线杆AB的高．（精确到0.1米）

解：

在Rt△BDE中，∠DEB=90°∠BDE=a＝22°，且

AC=DE=22.7米

∴BE＝DE×tana

＝22.7×tan22°

≈9.17，

所以AB＝BE＋AE＝BE＋CD＝9.17＋1.20≈10.4（米）．

答：

电线杆的高度约为10.4米．

三、课堂练习

1.如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC＝1200米，从飞机上看地面控制点B的俯角a＝16゜31′，求飞机A到控制点B的距离.（精确到1米）

2.两座建筑AB及CD，其地面距离AC为50.4米，从AB的顶点B测得CD的顶部D的仰角β＝25゜，测得其底部C的俯角a＝50゜，求两座建筑物AB及CD的高.（精确到0.1米）

四、学习小结：

1、内容总结：

①仰角是视线方向在水平线上方，这时视线与水平线的夹角。

②俯角是视线方向在水平线下方，这时视线与水平线的夹角。

③梯形通常分解成矩形和直角三角形（或分解成平行四边形与直角三角形）来处理。

2、方法归纳：

认真阅读题目，把实际问题去掉情境转化为数学中的几何问题。

把四边形问题转化为特殊四边形（矩形或平行四边形）与三角形来解决。

学生认真听讲，理解仰角，俯角的概念

学生先合作交流解决例3的方法，再派代表板演讲解，最后教师补充完善解题步骤及解题时注意的事项

学生先独立完成课堂练习，然后再互相交流各自的解题技巧

学生积极思考后总结本课的收获

作业设计

P98：

习:

25.3：

2，3；

板书设计

拓展与提高

反馈与解决

评价与反思

备课组长：

教研组长：

教导主任

康庄中学九年级数学（上册）教案

第25章解直角三角形

课题

§19.3　解直角三角形（共3课时）

备课人

授课人

授课时间

周星期

教

学

目

标

1、熟练运用勾股定理等直角三角形的边角关系解决实际问题。

2、运用三角函数解直角三角形，感知本节知识与现实生活的密切联系。

3、掌握解直角三角形的几种情况，能够借助辅助线解决实际问题，进一步理解和掌握数形结合、抽象思维的思想方法。

4、学习掌握铅垂线、水平线、仰角、俯角、坡度、坡角、方位角等相关术语。

教学

重点

使学生养成“先画图，再求解”的习惯。

教学

难点

灵活的运用有关知识在实际问题情境下解直角三角形。

教具

学具

教师：

多媒体课件学生：

课本练习本

教学设计（第3课时）

教学内容及教师活动

学生活动

个性增补

一、情境导入

读一读：

在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.

如图5，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）.

记作I，即i=

，坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.

坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有i＝

=tana

显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.

二、课前热身：

分组练习，互问互答，巩固勾股定理和锐角三角函数定义等内容，掌握仰角与俯角等概念。

三、合作探究

例4　如图6，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到0.1米）

解　作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．

由题意可知：

DE＝CF＝4.2（米），CD＝EF＝12.51（米）．

在Rt△ADE中，因为

在Rt△BCF中，同理可得

因此　AB＝AE＋EF＋BF

　　　≈6.72＋12.51＋7.90≈27.13（米）．

答：

路基下底的宽约为27.13米．

四、课堂练习：

一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽6.2米，坝高23.5米，斜坡AB的坡度i1＝1∶3，斜坡CD的坡度i2=1∶2.5.

求：

（1）斜坡AB与坝底AD的长度；（精确到0.1米）

（2）斜坡CD的坡角α.（精确到1°）

五、学习小结：

1、内容总结：

①坡角是斜坡与水平线的夹角；坡度是斜坡上任意一点的高度与水平距离的比。

②坡角与坡度之间的关系是：

i＝

=tana。

③坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡。

2、方法归纳：

在涉及梯形问题时，常常首先把梯形分割成我们熟悉的三角形、平行四边形，再借助这些熟悉图形的性质与特征来加以研究。

学生认真阅读课本，理解坡度，坡角的概念

学生分组练习，互问互答，巩固勾股定理和锐角三角函数定义等内容，掌握仰角与俯角等概念。

学生先合作交流解决例4的方法，再派代表板演讲解，最后教师补充完善解题步骤及解题时注意的事项

学生先独立完成课堂练习，然后再互相交流各自的解题技巧

学生积极思考后总结本课的收获

作业设计

P98：

习:

25.3：

4；

板书设计

拓展与提高

反馈与解决

评价与反思

备课组长：

教研组长：

教导主任

康庄中学九年级数学（上册）教案

第25章解直角三角形

课题

小结与复习（共2课时）

备课人

授课人

授课时间

周星期

教学

目标

1、了解本章的知识结构。

2、回顾勾股定理的证明

教学

重点

勾股定理、三角函数的定义。

教学

难点

选择适当的知识解决具体问题。

教具

学具

教师：

多媒体课件学生：

课本练习本

教学设计（第1课时）

教学内容及教师活动

学生活动

个性增补

一、情境导入：

通过本章的学习，你学到了哪些知识？

你有哪些收获？

二、课前热身：

同学们交流、讨论、概括出本章所学的主要内容。

三、合作探究知识结构

概括：

1.了解勾股定理的历史，经历勾股定理的探索过程；

2.理解并掌握直角三角形中边角之间的关系；

3.能应用直角三角形的边角关系解决有关实际问题．

四、课堂练习

1、求下列阴影部分的面积：

（1）阴影部分是正方形；　

（2）阴影部分是长方形；　

（3）阴影部分是半圆

　　　　　　　　　　　　　（第1题）

2、如图，以Rt△ABC的三边向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．

3、已知直角三角形两条直角边分别为6、8，求斜边上中线的长．

4、求下列各式的值．

（1）2cos30°＋cot60°－2tan45°;

（2）sin245°＋cos260°;

（3）

.

五、学习小结：

内容总结：

本节课主要复习了两个部分的内容：

一部分是本章的知识结构；另一部分是直角三角形中勾股定理及锐角三角函数定义。

方法归纳：

在测量时，要以构造直角三角形在实际生活中应用的实例，至少一个。

学生交流、讨论、概括本章所学的主要内容。

先独立完成练习，再合作交流各自的解题方法技巧

学生总结本课的收获

作业设计

P101-102：

复习题：

A组：

3，7，9，10，11；

板书设计

拓展与提高

反馈与解决

评价与反思

备课组长：

教研组长：

教导主任

康庄中学九年级数学（上册）教案