第八章-玻色分布和费米分布.ppt
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2022年10月16日星期日,第八章玻色统计和费米统计,第八章玻色统计和费米统计,在第六章,我们用最概然方法导出了这两种系统的统计分布规律,本章将进一步介绍这两种分布在辐射场和金属电子气体中的应用。
8.1热力学量的统计表达式,一、玻色分布和费米分布,玻色分布和费米分布可写为,2022年10月16日星期日,第八章玻色统计和费米统计,相应的宏观条件可表为:
(8.1.1),(8.1.2),其中表示对粒子的所有能级求和,式中的正号对应于费米分布,负号对应于玻色分布。
2022年10月16日星期日,第八章玻色统计和费米统计,2022年10月16日星期日,第八章玻色统计和费米统计,由此可见,式(8.1.3)和(8.1.5)都是非简并性条件的表达式。
当非简并性条件满足时,玻色分布和费米分布都过渡到玻耳兹曼分布。
1.巨配分函数:
由于玻色子和费米子系统一般是粒子数可变系统,其配分函数要用到下一章将要介绍的处理开放系统的巨正则配分函数(简称巨配分函数)。
下面先给出玻色和费米系统的巨配分函数表达式,其详细推导在下一章给出。
二、玻色和费米分布的巨配分函数及热力学公式,2022年10月16日星期日,第八章玻色统计和费米统计,将(8.1.2)中的两个式子分别写为;,式中的正号对应于费米分布,负号对应于玻色分布。
2022年10月16日星期日,第八章玻色统计和费米统计,其中,是系统的巨配分函数。
对取对数,得:
(8.1.9),式(8.1.9)中的正号对应于费米分布,负号对应于玻色分布。
2.热力学公式:
按照统计物理处理问题的一般程序,在计算出配分函数的对数后,便可代入热力学公式求得热力学量。
2022年10月16日星期日,第八章玻色统计和费米统计,由于玻色和费米分布的热力学公式与巨正则分布的热力学公式相同,所以,这里先给出其表达式,详细推导在下一章介绍。
平均粒子数:
(8.1.10),2022年10月16日星期日,第八章玻色统计和费米统计,内能:
(8.1.11),广义力:
(8.1.12),上式的一个重要特例是压强:
(8.1.13),2022年10月16日星期日,第八章玻色统计和费米统计,熵:
(8.1.14),巨热力势:
(8.1.15),只要计算出系统的巨配分函数,就可以利用上面的热力学公式得到相应的热力学量。
2022年10月16日星期日,第八章玻色统计和费米统计,8.2弱简并理想玻色气体和费米气体,一般气体满足非简并性条件e1可用玻耳兹曼分布来处理。
如果e很小,但又不能被忽略,则此情形被称为弱简并,从中初步显示玻色气体和费米气体的差异。
弱简并情形下我们可以近似地用积分来处理问题。
为书写简便起见,我们将两种气体同时讨论,在有关公式中,上面的符号适用于费米气体,下面的符号适用于玻色气体。
2022年10月16日星期日,第八章玻色统计和费米统计,在体积V内,能量在-+d内的粒子的可能微观状态数为,其中,g是由于粒子可能具有自旋而引入的简并度,D()是态密度。
例如,对于电子,考虑有两个相反的自旋投影,g=2;对于光子,由于有两个偏振方向,g=2。
考虑三维自由粒子的情形,为简单起见,不考虑粒子的内部结构,因此只有平动自由度,粒子的能量为:
2022年10月16日星期日,第八章玻色统计和费米统计,系统的总粒子数和总能量为:
近似用积分来处理,作对应:
代入自由粒子气体的D()d的表达式,2022年10月16日星期日,第八章玻色统计和费米统计,有,引入变量x=,上面两个式子可改写为:
将被积函数的分母展开:
在小的情形下,是一个小量,可利用下面的公式展开:
只取头两项,可得:
2022年10月16日星期日,第八章玻色统计和费米统计,将上面两式相除,得:
利用附录C的积分公式可得:
2022年10月16日星期日,第八章玻色统计和费米统计,考虑到e-很小,近似用玻耳兹曼分布的结果,代入前面的公式中,得:
2022年10月16日星期日,第八章玻色统计和费米统计,讨论:
上式第一项是根据玻耳兹曼分布得到的内能;第二项是由量子统计关联导致的附加能量,与微观粒子的全同性原理有关。
费米气体的附加能量为正,费米子间表现出排斥作用;玻色气体的附加能量为负,玻色子间表现出吸引作用;,2022年10月16日星期日,第八章玻色统计和费米统计,8.3玻色爱因斯坦凝聚,诺贝尔奖自1901年颁发以来,一直是世人所公认的最高荣誉奖项。
在它的六个奖项中,物理学、化学和医学(或生理学)奖尤为引人注目。
下面我们谈谈物理学奖的概况。
2001年是诺贝尔奖颁发百年纪念,因此这次物理学奖的颁发被人们认为有着特殊的意义,Nature、Science以及各种媒体都先后聚焦于10月9日。
美国麻省理工学院(MIT)的WolfgangKetterle(沃尔夫冈克特勒)和科罗拉多大学JILA(实验天文物理学联合学院)研究所的CarlWieman(卡尔维曼),EricCornell(埃里克康奈尔)因实验上实现玻色爱因斯坦凝聚(简称BEC)现象而分享了本年度诺贝尔物理学奖。
2022年10月16日星期日,第八章玻色统计和费米统计,BEC是物质的一种奇特的状态,处于这种状态的大量原子的行为像单个粒子一样。
打个比方,练兵场上的士兵刚解散不久,突然指挥官发令“向东齐步走”,于是所有的士兵像一个士兵一样整齐的向东走去。
如果将士兵缩小到原子尺度,以至于分辨不出谁是谁,我们便看到了“BEC”。
那为什么冠以玻色爱因斯坦的名字呢?
有这样一段插曲。
1924年,年轻的印度物理学家玻色寄给爱因斯坦一篇论文,提出了一种新的统计理论,它与传统的统计理论仅在一条基本假定上不同。
传统统计理论假定一个体系中所有的原子(或分子)都是可以辨别的,我们可以给一个原子取名张三,另一个取名李四,并且不会将张三认成李四,也不会将李四认成张三。
基于这一假定的传统理论圆满地解释了理想气体定律,可以说取得了非凡的成功。
然而玻色却挑战了上面的假定,认为在原子尺度上我们根本不可能区分两个同类原子(如两个氧原子)有什么不同。
接着,玻色讨论了如下一个问题(这个问题所有高中生都做过):
将N个相同的小球放进M个标号为1、2、M的箱子中,假定箱子的容积足够大,有多少种不同的放法?
在此问题的基础上,采用传统统计相似的作法,玻色便得到了一套新的统计理论。
玻色的论文引起了爱因斯坦的高度重视,迅速帮玻色译成德文发表。
随后将玻色的理论用于原子气体中,进而推测在足够低的温度下,所有原子有可能处在相同的最低能态上,所有原子的行为像一个粒子一样。
后来物理界将这种现象称为玻色爱因斯坦凝聚。
值得注意的是,这里的“凝聚”与日常生活中的凝聚不同,它表示原来不同状态的原子突然“凝聚”到同一状态。
爱因斯坦的预测引起了实验物理学家的广泛兴趣。
然而实现BEC的条件极为苛刻和“矛盾”:
一方面希望达到极低的温度,另一方面还要求原子体系处于气态。
实现低温的传统手段是蒸发制冷;而斯坦福大学华裔物理学家朱棣文、法国巴黎高等师范学校的Cohen-Tannoudj和美国国家标准局的Phillips发展的激光冷却和磁阱技术是另一种有效的制冷方法,他们三人因此分享了1997年度诺贝尔物理学奖。
1976年,Nosanow和Stwalley证明在任意低温下处于自旋极化的氢原子始终能保持气态,则为实现第二个要求提供了希望。
但遗憾的是,众多的实验物理学家将自旋极化的氢原子气体降温,并未观察到BEC现象。
于是Wieman和Cornell开始将兴趣转向碱金属原子气体,1995年,他们将铷原子限制在磁阱中进行激光冷却首次成功的观察到原子气的BEC现象。
同年,MIT的Ketterle也在钠原子气中实现了BEC。
BEC的实现不仅在基础研究方面具有重大意义,还可能在“原子芯片”和量子计算机等方面有广泛的应用前景。
因此2001年的诺贝尔物理学奖授予Wieman、Cornell和Ketterle以表彰他们在BEC实验方面的开创性工作。
从实现BEC的历程来看,有以下两个必备的客观条件:
首先是理论准备(玻色和爱因斯坦的工作),其次是实验手段的进步(朱棣文等人的工作)。
剩下的就是个人的素质了,要有眼光,走对路(Wieman、Cornell和Ketterle选择碱金属原子气体作为冷却的对象)。
这样看来,诺贝尔物理学奖似乎不是什么神秘的东西。
因此有人就会问为什么中国内地就没有出现诺贝尔奖呢?
我们在这里谈几点:
思想开放,不迷信权威。
创新就是要打破某些已有的定论,因循守旧,盲从权威是不可能有所创新的。
中国的知识分子经历了太多的苦难以及封建思想的残余,以至于思想里保守成分多,权威意识过强,传统教育中以循规蹈矩为优等等都不利于创新。
科学文化的沉淀。
任何重大创新不是凭空冒出来的,创新必须以继承已有的优秀科学成果和思想方法为前提,这种科学文化需要长时间的积累。
而中国内地真正科学文化的萌芽起于1919年的五四运动,后来又受文革的严重冲击,因此真正的科学文化沉淀也就20来年时间,比起西方三四百年简直是小菜。
热情奔放而又执著追求科学的年轻人。
据中科院2001年科学发展报告统计,诺贝尔物理学奖得主作出代表性工作的平均年龄为36岁,他们从很小就开始对物理学感兴趣并一直钟爱着物理学。
他们能如此执著,一方面是经济条件还不错,更重要的是他们从小所受的教育是以充分发挥自己的个性为主。
而内地的教育更乐意将学生培养成标准的螺丝钉,学生本人则很少有太多的想法和目标,在经济大潮的影响下立刻便沉到“海”里去了。
总之,诺贝尔物理学奖是在继承前人优秀的成果基础上的重大创新,目前中国内地并不具备上述创新的条件。
但值得庆幸的是,自改革开放以来,思想界也有所解放,国家对科学重视程度提高,国际交流与合作也日益广泛和深入,经过漫长时间的努力,中国大陆有望出现诺贝尔物理学奖。
今天称之为玻色-爱因斯坦凝聚的物理现象是七十年前由爱因斯坦和玻色预言的宏观量子效应。
1995年5月在美国科罗拉多大学和美国国家标准局的联合天体物理实验室(JILA)里首次被人们观测到。
不久以后,Rice大学和MIT的研究小组相继报道了类似的发现。
在1995年底,这个重要发现被国际合众社评为“十大国际科技新闻”。
人们宣称,“终于得到了物质的第五种状态”宏观量子态。
一、玻色爱因斯坦凝聚,上节讨论了弱简并理想玻色(费米)气体的性质,初步看到了由微观粒子全同性带来的量子统计关联对系统宏观性质的影响。
在弱简并的情形下小,影响是微弱的。
在本节中我们将会看到,当理想玻色气体的等于或大于2.612的临界值时将出现独特的玻色-爱因斯坦凝聚现象。
这是爱因斯坦于1925年在理论上首先预言的。
2022年10月16日星期日,第八章玻色统计和费米统计,考虑由N个全同、近独立的玻色子组成的系统,温度为T,体积为V。
为明确起见,假设粒子的自旋为零,它服从下列玻色分布,或写为,即要求对所有能级均有:
两边取对数得:
2022年10月16日星期日,第八章玻色统计和费米统计,当时,上式可写为:
由玻色分布,粒子数密度可写为,(8.3.2),2022年10月16日星期日,第八章玻色统计和费米统计,为方便起见,采用经典近似描述。
则粒子能量在到d范围内的量子态数为:
系统的总粒子数为:
2022年10月16日星期日,第八章玻色统计和费米统计,由式(8.3.3)可以看出,等式左边是常数,所以右边T和的变化也应保持其积分结果为常数。
由于是负值,当T升高时,降低(或绝对值增大)。
反过来,随T降低而增加。
当T降到某一临界值Tc时,将趋于零。
此时的粒子数密度公式可写为:
(8.3.4),2022年10月16日星期日,第八章玻色统计和费米统计,(8.3.5),利用积分公式,代入式(8.3.5),得临界温度为:
(8.3.6),分析:
温度低于TC时会出现什么现象呢?
前面的讨论指出,温度愈低时值愈高,但在任何温度下必是负的。
由此可知在时,仍趋于-0.但这时(8.3.
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