函数对称性的总结.docx
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函数对称性的总结
参考一:
函数对称性总结
函数的对称性
一、三角函数图像的对称性
1、y=f(x)与y=-f(x)关于x轴对称。
换种说法:
y=f(x)与y=g(x)若满足f(x)=-g(x),即它们关于y=0对称。
2、y=f(x)与y=f(-x)关于Y轴对称。
换种说法:
y=f(x)与y=g(x)若满足f(x)=g(-x),即它们关于x=0对称。
3、y=f(x)与y=f(2a-x)关于直线x=a对称。
换种说法:
y=f(x)与y=g(x)若满足f(x)=g(2a-x),即它们关于x=a对称。
4、y=f(x)与y=2a-f(x)关于直线y=a对称。
换种说法:
y=f(x)与y=g(x)若满足f(x)+g(x)=2a,即它们关于y=a对称。
5、y=f(x)与y=2b-f(2a-x)关于点(a,b)对称。
换种说法:
y=f(x)与y=g(x)若满足f(x)+g(2a-x)=2b,即它们关于点(a,b)对称。
6、y=f(a-x)与y=f(x-b)关于直线x=
二、单个函数的对称性
一、函数的轴对称:
定理1:
如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a+b
2a+b2对称。
对称.
推论1:
如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.推论2:
如果函数y=f(x)满足f(x)=f(-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=0(y轴)对称.特别地,推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.
二、函数的点对称:
定理2:
如果函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=2b,则函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.
推论3:
如果函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=0,则函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称.推论4:
如果函数y=f(x)满足f(x)+f(-x)=0,则函数y=f(x)的图象关于原点(0,0)对称.特别地,推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.
性质5:
函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c时,函数y=f(x)的图象关于点(a+b,c)对称。
22
(二)两个函数的图象对称性(相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)
1、曲线y=f(x)与y=-f(x)关于X轴对称。
2、曲线y=f(x)与y=f(-x)关于Y轴对称。
3、曲线y=f(x)与y=f(2a-x)关于直线x=a对称。
4、曲线f(x,y)=0关于直线x=b对称曲线为f(x,2b-y)=0。
5、曲线f(x,y)=0关于直线x+y+c=0对称曲线为f(-y-c,-x-c)=0。
6、曲线f(x,y)=0关于直线x-y+c=0对称曲线为f(y-c,x+c)=0。
7、曲线f(x,y)=0关于点P(a,b)对称曲线为f(2a-x,2b-y)=0。
例1:
定义在R上的非常数函数满足:
f(10+x)为偶函数,且f(5-x)=f(5+x),则f(x)一定是((第十二届希望杯高二第二试题)
(A)是偶函数,也是周期函数(B)是偶函数,但不是周期函数
(C)是奇函数,也是周期函数(D)是奇函数,但不是周期函数
例2.设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(1+x)=f(1-x),当-1≤x≤0时,
f(x)=-1
2x,则f(8.6)=_________(第八届希望杯高二第一试题)
例3.若函数f(x)=3+log2x的图象与g(x)的图象关于对称,则函数
g(x)。
例4.函数y=f(x-a)与函数y=f(-x+a)的图象关于对称)
参考二:
函数对称性问题
简析函数对称性问题
函数图象的对称性体现了数学对称美。
函数图象对称问题是函数部分的一个重要问题,也是高考的重点。
本文从两方面探讨函数的对称性。
命题1、函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=b-a对称。
2
特别地,当a=-b时,函数y=f(-b+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=b对称。
推论1、函数y=f(a+ωx)与函数y=f(b-ωx)的图象关于直线x=b-a对称2ω
ab证明:
y=f(a+ωx)=f[ω(x+)],y=f(b-ωx)=f[-ω(x-)]ωω
所以,将函数y=f(ωx)的图象向左平移|
数y=f(-ωx)的图象向右平移|aω|个单位得y=f(a+ωx)的图象;将函b
ω|个单位得函数y=f(b-ωx)的图象,而
y=f(ωx)与y=f(-ωx)的图象关于y轴对称,可得两函数图象关于直线x=b-ab-a对称。
记忆技巧:
令a+ωx=b,即对称轴方程。
-ωx,易得x=2ω2ω
命题2、若函数y=f(x)对定义域中任意x均有f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a+b对称。
反之亦然。
2
推论2、若函数y=f(x)对定义域中任意x均有f(a+mx)=f(b-mx),(m≠0),则函数
y=f(x)的图象关于直线x=a+b对称。
反之亦然。
2
命题3、若函数y=f(x)对定义域中任意x均有f(x+a)+f(b-x)=c,则函数y=f(x)的图象关于点
(a+bc,)成中心对称图形。
22
下面举例说明其应用。
[例1]函数y=f(x+1)与函数y=f(3-x)的图象关于__________对称
解:
由命题1知,两函数图象关于x=3-1=1,即关于直线x=1对称。
2
[例2]若方程f(3+2x)=0有三个根,则方程f(1-2x)=0有_____个根,两方程的所有的根之
和为______
解:
设y1=f(3+2x),y2=f(1-2x),由推广1知,两函数图象关于x=1-31=-2⨯22对称,故两函数图象与x轴交点个数相同,方程f(1-2x)=0也有三个根,这六个跟之和为-1⨯6=-3.2
*[例3]函数y=f(x)对一切x满足f(x+a)=f(b-x)
(1)若方程f(x)=0恰有2n(n∈N)个根,则这些根的和为多少?
(2)若方程恰2n+1(n∈N)个根,则这些根的和为多少?
解:
由命题2知,y=f(x)图象关于x=*a+b对称。
2
a+b对称,2
(1)若方程f(x)=0恰有2n个根时,由于方程的根在x轴上对应点关于x=
'=a+b,故S=(a+b)⋅所以,xm+xm2n=n(a+b).2
a+b,另外2n个根在x2
a+b1(2n+1)⨯(a+b)轴上对应点关于x=对称,故S2n+1=(n+)⨯(a+b)=.222
1-x[例4]函数f(x)=,
(1)证明函数的图象关于(-1,-1)对称。
(2)求1+x
(2)若方程f(x)=0恰有2n+1个根时,则方程必有一根为x=
f(-4)+f(-3)+f(-2)++f(0)+f
(1)+f
(2)的值.
解:
因为f(x)=1-x21,由f(x)=的对称中心(0,0),平移可得=-1+1+xx+1x
f(x)=1-x对称中心(-1,-1),由命题3知,f(x)+f(-x-2)=-2,1+x
则f(-4)+f(-3)+f(-2)++f(0)+f
(1)+f
(2)=3⨯[f(-2)+f(0)]=3⨯(-2)=-6.
补充,供参考
1、函数自身对称性
命题1函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)。
证明(略)
推论函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(-x)。
命题2函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是f(x)+f(2a-x)=2b证明(略)
推论函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+f(-x)=0
偶函数、奇函数分别是命题1,命题2的特例。
命题3
(1)若函数y=f(x)的图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对
称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2a-b是其一个周期。
证明:
函数y=f(x)的图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称,则f(2a+x)+f(-x)=2c,f(2b-x)+f(x)=2c,所以f[2(a-b)+x]=f([2a+(-2b+x)]
=2c-f[-(-2b+x)]=2c-f(2b-x)=2c-[2c-f(x)]=f(x),所以2a-b是它的一个周期。
(2)、若一个函数的图象有两条不同的对称轴,分别为x=m,x=n,那么这个函数是周期函数。
证:
因为函数的对称轴为x=m,x=n(m≠n),则f(m+x)=f(m-x)
(1),
f(n+x)=f(n-x)
(2),分别将x=m-x,x=n-x代入
(1)
(2),
则有f(-2m=x)f,xf(2n-x)=f(x),则
f[x+2(m-n)]=f(2m+x-2n)=
f(2n-x)=f(x),所以y=f(x)是周期函数,周期为2(m-n)。
(3)若函数y=f(x)的图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且4a-b是其一个周期。
证明:
因为函数y=f(x)的图像关于点A(a,c)成中心对称,
所以f(x)+f(2a-x)=2c,用2b-x
代x得:
f(2b-x)+f[2a-(2b-x)]=2c(*)
又因为函数y=f(x)的图像关于直线x=b成轴对称,所以f(2b-x)=f(x)代入(*)得:
f(x)=2c-f[2(a-b)+x](**),用2(a-b)+x代x得
f[2(a-b)+x]=2c-f[4(a-b)+x]代入(**)得:
f(x)=f[4(a-b)+x],故y=f(x)是周期函数,且4a-b是其一个周期。
2.不同函数对称性
命题4函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图像关于点A(a,b)成中心对称。
证明:
设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点,则y0=f(x0)。
点P(x0,y0)关于点A(a,b)的对称点为P'(2a-x0,2b-y0),此点坐标满足y=2b-f(2a-x),显然点P'(2a-x0,2b-y0)在y=2b-f(2a-x)的图像上。
同理可证:
y=2b-f(2a-x)图像上关于点A(a,b)对称的点也在y=f(x)的图像上。
推论函数y=f(x)与y=-f(-x)的图像关于原点成中心对称。
命题5函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a成轴对称。
证明设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任意一点,则y0=f(x0)。
点P(x0,y0)关于直线x=a的对称点为P'(2a-x0,y0),显然点P'(2a-x0,y0)在y=f(2a-x)的图像上。
同理可证:
y=f(2a-x)图像上关于直线x=a对称的点也在y=f(x)图像上。
推论函数y=f(x)与y=f(-x)的图像关于直线y轴对称。
命题6①函数y=f(x)与a-x=f(a-y)的图像关于直线x+y=a成轴对称。
②函数y=f(x)与x-a=f(y+a)的图像关于直线x-y=a成轴对称。
现证命题6中的②
设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点,则y0=f(x0)。
记点P(x0,y0)关于直线x-y=a的对称点P'(x1,y1),则x1=a+y0,y1=x0-a,所以x0=a+y1,y0=x1-a代入y0=f(x0)之中得x1-a=f(a+y1)。
所以点P'(x1,y1)
在函数x-a=f(y+a)的图像上。
同理可证:
函数x-a=f(y+a)的图像上任一点关于直线x-y=a的轴对称点也在函数y=f(x)的图像上。
故命题6中的②成立。
推论函数y=f(x)的图像与x=f(y)的图像关于直线x=y成轴对称。
参考三:
函数对称性
1.对称性f(x+a)=f(b_x)记住此方程式是对称性的一般形式.只要x有一个正一个负.就有对称性.至于对称轴可用吃公式求X=a+b/2
如f(x+3)=f(5_x)X=3+5/2=4等等.此公式对于那些未知方程,却知道2方程的关系的都通用.你可以去套用,在此不在举例.
对于已知方程的要求对称轴的首先你的记住一些常见的对称方程的对称轴.如一原二次方程f(x)=ax2+bx+c对称轴X=b/2a
原函数与反函数的对称轴是y=x.
而对于一些函数如果不加限制条件就不好说它们的对称轴如三角函数,它的对称轴就不仅仅是X=90还有...(2n+!
)90度等等.因为他的定义为R.
f(x)=|X|他的对称轴则是X=0,
还应该注意的是一些由简单函数平移后要求的对称轴就只要把它反原成出等的以后在加上平移的数量就可以了.
如f(x-3)=x-3令t=x-3则f(t)=t可见原方程是由初等函数向右移动了3个单位.同样对称轴也向右移3个单位X=3(记住平移是左加右减的形式,如本题的X-3说明向由移)
2,至于周期性首先也的从一般形式说起f(x)=f(x+T)
注意此公式里面的X都是同号,而不象对称方程一正一负.此区别也是判断对称性还是周期性的关键.
同样要记住一些常见的周期函数如三角函数什么正弦函数,余弦函数正切函数等.当然它们的最小周期分别是.2π,2π,π,当然
他们的周期不仅仅是这点只要是它们最小周期的正数倍都可以是题目的周期.如f(x)=sinXT=2π(T=2π/W)
但是如果是f(x)=|sinx|的话它的周期就是T=π因为加了绝对值之后Y轴下面的图形全被翻到上面去了,由图不难看出起最小对称周T=π.
y1=(sinx)^2=(1-cos2x)/2
y2=(cosx)^2=(1+cos2x)/2
上面的2个方程T=π(T=2π/W)
而对于≥2个周期函数方程的加减复合方程,如果他们的周期相同,则它的周期还是相同的周期.如y=sin2x+cos2x因为他们有一个公共周期T=π所以它的周期为T=π而对于不相同的周期则它的周期为它们各个周期的最小公倍数.如
y=sin3πx+cos2πxT1=2/3T2=1则T=2/3
参考四:
函数的对称性
函数的基本性质
一、函数的单调性
函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势,高考中常考其一下作用:
比较大小,解不
等式,求最值。
定义:
(略)
定理1:
x1⋅x2∈[a,b],x1≠x2那么
(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔
(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔f(x1)-f(x2)>0⇔f(x)在[a,b]上是增函数;x1-x2f(x1)-f(x2)<0⇔f(x)在[a,b]上是减函数.x1-x2
定理2:
(导数法确定单调区间)若x∈[a,b],那么
f'(x)>0⇔f(x)在[a,b]上是增函数;f'(x)<0⇔f(x)在[a,b]上是减函数.
1.函数单调性的判断(证明)
(1)作差法(定义法)
(2)作商法(3)导数法
2.复合函数的单调性的判定
对于函数y=f(u)和u=g(x),如果函数u=g(x)在区间(a,b)上具有单调性,当x∈(a,b)时
u∈(m,n),且函数y=f(u)在区间(m,n)上也具有单调性,则复合函数y=f(g(x))在区间(a,b)具有单调性。
3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断
对于两个单调函数f(x)和g(x),若它们的定义域分别为I和J,且I⋂J≠∅:
(1)当f(x)和g(x)具有相同的增减性时,
①F1(x)=f(x)+g(x)的增减性与f(x)相同,
②F2(x)=f(x)⋅g(x)、F3(x)=f(x)-g(x)、F4(x)=f(x)(g(x)≠0)的增减性不能确定;g(x)
(2)当f(x)和g(x)具有相异的增减性时,我们假设f(x)为增函数,g(x)为减函数,那么:
①F1(x)=f(x)+g(x)的增减性不能确定;
②F2(x)=f(x)⋅g(x)、F3(x)=f(x)-g(x)、F4(x)=f(x)g(x)(g(x)≠0)为增函数,F5(x)=(f(x)≠0)g(x)f(x)
为减函数。
4.奇偶函数的单调性
奇函数在其定义域内的对称区间上的单调性相同,偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。
二、函数的对称性
函数的对称性是函数的一个基本性质,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性
往往能够更简捷的使问题得到解决,对称关系同时还充分体现数学之美。
1.函数y=f(x)的图象的对称性(自身):
定理1:
函数y=f(x)的图象关于直x=a+b对称2
⇔f(a+x)=f(b-x)⇔f(a+b-x)=f(x)
特殊的有:
①函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称⇔f(a+x)=f(a-x)⇔f(2a-x)=f(x)。
②函数y=f(x)的图象关于y轴对称(奇函数)⇔f(-x)=f(x)。
③函数y=f(x+a)是偶函数⇔f(x)关于x=a对称。
定理2:
函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称
⇔f(x)=2b-f(2a-x)⇔f(a+x)+f(a-x)=2b
特殊的有:
①函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称⇔f(x)=-f(2a-x)。
②函数y=f(x)的图象关于原点对称(奇函数)⇔f(-x)=-f(x)。
③函数y=f(x+a)是奇函数⇔f(x)关于点(a,0)对称。
定理3:
(性质)
①若函数y=f(x)的图像有两条铅直对称轴x=a和x=b(a不等于b),那么f(x)为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。
②若函数y=f(x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。
③若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是其一个周期。
④若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x对称。
2.两个函数图象的对称性:
①函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于直线x=0(即y轴)对称.
②函数y=f(mx-a)与函数y=f(b-mx)的图象关于直线x=a+b对称.2m
特殊地:
y=f(x-a)与函数y=f(a-x)的图象关于直线x=a对称
③函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称的解析式为y=f(2a-x)
④函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称的解析式为y=-f(2a-x)
⑤函数y=f(x)与a-x=f(a-y)的图像关于直线x+y=a成轴对称。
函数y=f(x)与x-a=f(y+a)的图像关于直线x-y=a成轴对称。
函数y=f(x)的图像与x=f(y)的图像关于直线x=y成轴对称。
3.奇偶函数性质
对于两个具有奇偶性的函数f(x)和g(x),若它们的定义域分别为I和J,且I⋂J≠∅:
(1)满足定义式子f(-x)=f(x)(偶)f(x)+f(-x)=0(奇)
(2)在原点有定义的奇函数有f(0)=0
(3)当f(x)和g(x)具有相同的奇偶性时,假设为奇函数,那么:
①函数F1(x)=f(x)+g(x)、F3(x)=f(x)-g(x)也为奇函数;
②F2(x)=f(x)⋅g(x)、F4(x)=
奇函数±奇函数=奇函数,
偶函数±偶函数=偶函数,③两个偶函数之和、差、积、商为偶函数
奇函数×奇函数=偶函数,(4)当f(x)和g(x)具有相异的奇偶性时,那么:
偶函数×偶函数=偶函数,
奇函数×偶函数=奇函数.①F1(x)=f(x)+g(x)、F3(x)=f(x)-g(x)的奇偶性不能确定;②F2(x)=f(x)⋅g(x)、F4(x)=
f(x)(g(x)≠0)为偶函数;g
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- 函数 对称性 总结