史上最强高中数学公式总结.docx
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史上最强高中数学公式总结
高中数学公式总结
一、函数
1、若集合A中有n个元素,则集合A的所有不同的子集个数为,所有非空真子集的个数是。
二次函数的图象的对称轴方程是,顶点坐标是。
用待定系数法求二次函数的解析式时,解析式的设法有三种形式,即,和(顶点式)。
二、三角函数
1、以角的顶点为坐标原点,始边为x轴正半轴建立直角坐标系,在角的终边上任取一个异于原点的点,点P到原点的距离记为,则sin=,cos=,tg=,ctg=,sec=,csc=。
2、同角三角函数的关系中,
平方关系是:
,,;
倒数关系是:
,,;
相除关系是:
,。
3、诱导公式可用十个字概括为:
奇变偶不变,符号看象限。
4、函数的最大值是,最小值是,周期是,频率是,相位是,初相是;其图象的对称轴是直线,凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。
5、三角函数的单调区间:
的递增区间是,递减区间是;的递增区间是,递减区间是,的递增区间是
6、和角、差角公式:
7、二倍角公式是:
sin2=
cos2===
tg2=。
8、半角公式是:
sin=cos=
tg===。
9、升幂公式是:
。
10、降幂公式是:
。
11.特殊角的三角函数值:
0sin010cos100tg01不存在0不存在ctg不存在10不存在013、正弦定理(其中R为三角形的外接圆半径):
14、余弦定理:
第一形式,=
第二形式,cosB=
15、△ABC的面积用S表示,外接圆半径用R表示,内切圆半径用r表示,半周长用p表示则:
①;②;
③;④;
⑤;⑥
16、△ABC中:
,,
三、不等式
1、两个正数的均值不等式是:
2、两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是
3.双向绝对值不等式:
左边:
时取得等号。
右边:
时取得等号。
四、数列
1、等差数列的通项公式是,前n项和公式是:
=。
2、等比数列的通项公式是,前n项和公式是:
3、当等比数列的公比q满足<1时,=S=。
一般地,如果无穷数列的前n项和的极限存在,就把这个极限称为这个数列的各项和(或所有项的和),用S表示,即S=。
4、若m、n、p、q∈N,且,那么:
当数列是等差数列时,有;当数列是等比数列时,有。
五、排列组合、二项式定理
1、加法原理、乘法原理:
加法分类,类类独立;乘法分步,步步相关。
2、排列数公式:
==;
排列数与组合数的关系:
组合数公式:
==;
组合数性质:
=,+=,
=,。
3.二项式定理:
二项展开式的通项公式:
六、解析几何
1、同一坐标轴上两点距离公式:
2、数轴上两点间距离公式:
3、直角坐标平面内的两点间距离公式:
4、若点P分有向线段成定比λ,则λ=
5、若点,点P分有向线段成定比λ,则:
λ==;=,=
若,则△ABC的重心G的坐标是。
6、求直线斜率的定义式为k=,两点式为k=。
7、直线方程的几种形式:
点斜式:
,斜截式:
两点式:
,截距式:
,一般式:
经过两条直线的交点的直线系方程是:
8、直线,则从直线到直线的角θ满足:
;直线与的夹角θ满足:
。
9、点到直线的距离:
10、两平行直线距离
11、圆的标准方程:
圆的一般方程:
其中,半径是,圆心坐标是
圆心在点,半径为的圆的参数方程是:
。
12、若,则以线段AB为直径的圆的方程是
经过两个圆:
,
的交点的圆系方程是
经过直线与圆的交点的圆系方程是:
13、圆为切点的切线方程是:
一般地,曲线为切点的切线方程是:
。
14、研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种:
①代数法(判别式法):
Δ>0,=0,<0,等价于直线与圆相交、相切、相离;
②几何法(圆心到直线的距离与半径的大小关系):
距离大于半径、等于半径、小于半径,等价于直线与圆相离、相切、相交。
15、抛物线标准方程的四种形式是:
16、抛物线的焦点坐标是:
,准线方程是:
。
点是抛物线上一点,则点P到抛物线的焦点的距离(称为焦半径):
,过该抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦(通径)的长:
。
17、椭圆标准方程的两种形式是:
和。
18、椭圆的焦点坐标是,准线方程是,离心率是,通径的长是。
其中。
19、若点是椭圆上一点,是其左、右焦点,则点P的焦半径的长是和。
20、双曲线标准方程的两种形式是:
和。
21、双曲线的焦点坐标是,准线方程是,离心率是,通径的长是,渐近线方程是。
其中。
22、与双曲线共渐近线的双曲线系方程是。
与双曲线共焦点的双曲线系方程是。
23、若直线与圆锥曲线交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长为;
若直线与圆锥曲线交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长为。
24、圆锥曲线的焦参数p的几何意义是焦点到准线的距离,对于椭圆和双曲线都有:
。
25、平移坐标轴,使新坐标系的原点在原坐标系下的坐标是(h,k),若点P在原坐标系下的坐标是在新坐标系下的坐标是,则=,=。
七、立体几何
一、有关平行的证明1、
线∥线⑴公理4⑵⑶⑷
l1∥l2l1∥αα∥β
l1∥l3l1∥l2l1∥l2l1∥l2
l2∥l3α∩β=l2
线∥线线∥线线∥面线∥线面∥面线∥线同垂直于一个平面线∥线2、
线∥面⑴⑵
α∥β
a∥αa∥β
a∥b
线∥线线∥面面∥面线∥面3、
面∥面⑴⑵
α∥βα∥β
a∥α
b∥β
线∥面面∥面同垂直于一直线面∥面二、有关垂直的证明1、
线⊥线⑴⑵
三垂线定理⊥射影⊥斜线
平面内直线
逆定理⊥斜线⊥射影
(线⊥面线⊥线)(线⊥线线⊥线)2、
线⊥面⑴⑵⑶⑷
a∥bα∥β
(线⊥线线⊥面)3、
面⊥面
(线⊥面面⊥面)1、求二面角的射影公式是,其中各个符号的含义是:
是二面角的一个面内图形F的面积,是图形F在二面角的另一个面内的射影,是二面角的大小。
2、若直线在平面内的射影是直线,直线m是平面内经过的斜足的一条直线,与所成的角为,与m所成的角为,与m所成的角为θ,则这三个角之间的关系是。
3、体积公式:
直棱柱:
,锥体:
,球体:
。
3、侧面积:
直棱柱侧面积:
,;正棱锥侧面积:
,,
球的表面积:
。
5、几个基本公式:
弧长公式:
(是圆心角的弧度数,>0);扇形面积公式:
;
十一、比例的几个性质
1、比例基本性质:
;反比定理:
更比定理:
;合比定理;
分比定理:
;合分比定理:
合比定理:
等比定理:
若,,则。
2004年新高考新增内容数学概念总结
一、简易逻辑
1.可以判断真假的语句叫做命题.
2.逻辑连接词有“或”、“且”和“非”.
3.p、q形式的复合命题的真值表:
pqP且qP或q真真真真真假假真假真假真假假假假4.命题的四种形式及其相互关系
互 逆
互 互
互 为 互
否 逆 逆 否
否 否
否 否
否 互 逆
原命题与逆否命题同真同假;逆命题与否命题同真同假.
二、平面向量
1.运算性质:
2.坐标运算:
设,则
设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则.
3.实数与向量的积的运算律:
设,则λ,
4.平面向量的数量积:
定义:
,.
运算律:
,
坐标运算:
设,则
5.重要定理、公式:
(1)平面向量的基本定理
如果和是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量,有且只有一对实数,使
(2)两个向量平行的充要条件
设,则
(3)两个非零向量垂直的充要条件
设,则
(4)线段的定比分点坐标公式:
设P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2),且,则。
中点坐标公式
(5)平移公式:
如果点P(x,y)按向量平移至P′(x′,y′),则
三、空间向量
(1)向量加法与数乘向量的基本性质.
,
(2)向量数量积的性质.
,,
(3)空间向量基本定理.给定空间一个基底,且对空间任一向量,存在唯一的有序实数组(x,y,z)使,(x,y,z)叫做向量在基底上的坐标.
设O、A、B、C是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组x,y,z使
(4)向量的直角坐标运算
设,则,
,
,
,
设A=,B=,则-=
窗体顶部
窗体底部
四、概率
(1)若事件A、B为互斥事件,则P(A+B)=P(A)+P(B)
(2)若事件A、B为相互独立事件,则P(A·B)=P(A)·P(B)
(3)若事件A、B为对立事件,则P(A)+P(B)=1。
一般地,
(4)如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事恰好发生K次的概率
五、概率与统计
(1)离散型隋机变量的分布列的性质:
①②.
(2)若离散型惰机变量ξ的分布列为
ξX1X2…xn…pP1P2…pn… 则ξ的数学期望Eξ=
期望的性质:
设a、b为常数,则E(aξ+b)=aEξ+b
若ξ~B(n,p),则Eξ=np
ξ的方差为Dξ=(x1-Eξ)2·p1+(x2-Eξ)2·p2+…+(xn-Eξ)2·pn+…
方差的性质:
设a、b为常数,则D(aξ+b)=a2Dξ
若ξ~B(n,p),则Dξ=np(1-p)
(3)正态分布:
①正态总体函数,,其中表示总体平均值,表示标准差,其分布叫做正态分布,记作N(,2),函数的图象叫正态曲线.
②在正态分布中,当,=0,=1时,叫做标准正态分布,记作N(0,1).
③标准正态分布表中,相应于的值=P.
④正态总体N(,2)取值小于x的概率F(x)=.
⑤若<0,则=1-,从而可利用标准正态分布表.
⑥正态分布N(,2),
=
六、导数
(1)定义:
当△x→0时,函数的增量△y与自变量的增量△x的比的极限,,即
(2)函数在点处的导数的几何意义,就是曲线在点P(,f())处的切线的斜率.
(3)质点作直线运动的位移S是时间t的函数,则即为质点在t=t0的瞬时速度.
(4)几个重要函数的导数:
①,(C为常数);②③;④
⑤;⑥;⑦;⑧
(6)导数的四运算法则①;②
③
(5)复合函数求导法则
,其中是y对x求导,是y对求导,是对x求导.
(7)导数的应用
①可导函数求单调区间或判断单调性的方法:
使>0的区间为增区间,使<0的区间为减区间.
②可导函数求极值的步骤:
ⅰ.求导数ⅱ.求方程=0的根
ⅲ.检验在方程的根的附近左右值的符号,若左正右负,则在这个根处取极大值,若左负右正,则在这个根处取极小值.
③连续函数在闭区间上一定有最大值和最小值,
④在闭区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则求最大值、最小值的步骤与格式为:
ⅰ.求导数ⅱ.求方程=0的根
ⅲ.结合在[a,b]上的根及闭区间[a,b]的端点数值,列出表格若()
xa…b正负号0正负号00正负号y值单调性值单调性值值单调性值ⅳ.根据上述表格的单调性及的大小,确定最大值与最小值.
七、函数极限
(1)
(2)的充要条件是
(3)在处连续的充要条件是,几可意义是的图象在处是不间断的,即是连续的.
(4)函数极限的四则运算
如果,那么,
;;
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