八年级数学第十二章.docx
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八年级数学第十二章
第十二章轴对称
测试1轴对称
二、选择题
6.在图1-1中,是轴对称图形的是()
图1-1
7.在图1-2的几何图形中,一定是轴对称图形的有()
图1-2
A.2个B.3个C.4个D.5个
8.如图1-3,ΔABC与ΔA'B'C'关于直线l对称,则∠B的度数为()
图1-3
A.30°B.50°C.90°D.100°
9.将一个正方形纸片依次按图1-4a,b的方式对折,然后沿图c中的虚线裁剪,成图d样式,将纸展开铺平,所得到的图形是图1-5中的()
图1-4
图1-5
10.如图1-6,将矩形纸片ABCD(图①)按如下步骤操作:
(1)以过点A的直线为折痕折叠纸片,使点B恰好落在AD边上,折痕与BC边交于点E(如图②);
(2)以过点E的直线为折痕折叠纸片,使点A落在BC边上,折痕EF交AD边于点F(如图③);(3)将纸片收展平,那么∠AFE的度数为()
A.60°B.67.5°C.72°D.75°
综合、运用、诊断
一、解答题
11.请分别画出图1-7中各图的对称轴.
(1)正方形
(2)正三角形(3)相交的两个圆
图1-7
12.如图1-8,ΔABC中,AB=BC,ΔABC沿DE折叠后,点A落在BC边上的A'处,若点D为AB边的中点,∠A=70°,求∠BDA'的度数.
图1-8
拓展、探究、思考
15.已知,如图1-11,在直角坐标系中,点A在y轴上,BC⊥x轴于点C,点A关于直线OB的对称点D恰好在BC上,点E与点O关于直线BC对称,∠OBC=35°,求∠OED的度数.
图1-11
测试2线段的垂直平分线
学习要求
1.理解线段的垂直平分线的概念,掌握线段的垂直平分线的性质及判定,会画已知线段的垂直平分线.
2.能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的数学问题及实际问题.
课堂学习检测
一、填空题
1.经过_____并且_____的_____叫做线段的垂直平分线.
2.线段的垂直平分线有如下性质:
线段的垂直平分线上的_____与这条线段_____的_____相等.
3.线段的垂直平分线的判定,由于与一条线段两个端点距离相等的点在_____,并且两点确定_____,所以,如果两点M、N分别与线段AB两个端点的距离相等,那么直线MN是_____.
4.完成下列各命题:
(1)线段垂直平分线上的点,与这条线段的_____;
(2)与一条线段两个端点距离相等的点,在_____;
(3)不在线段垂直平分线上的点,与这条线段的_____;
(4)与一条线段两个端点距离不相等的点,_____;
(5)综上所述,线段的垂直平分线是_____的集合.
5.如图2-1,若P是线段AB的垂直平分线上的任意一点,则
(1)ΔPAC≌_____;
(2)PA=_____;
(3)∠APC=_____;(4)∠A=_____.
图2-1
6.ΔABC中,若AB-AC=2cm,BC的垂直平分线交AB于D点,且ΔACD的周长为14cm,则AB=_____,AC_____.
7.如图2-2,ΔABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AC于P点.
(1)若∠A=35°,则∠BPC=_____;
(2)若AB=5cm,BC=3cm,则ΔPBC的周长=_____.
图2-2
综合、运用、诊断
一、解答题
8.已知:
如图2-3,线段AB.
求作:
线段AB的垂直平分线MN.
作法:
图2-3
9.已知:
如图2-4,∠ABC及两点M、N.
求作:
点P,使得PM=PN,且P点到∠ABC两边的距离相等.
作法:
图2-4
拓展、探究、思考
10.已知点A在直线l外,点P为直线l上的一个动点,探究是否存在一个定点B,当点P在直线l上运动时,点P与A、B两点的距离总相等.如果存在,请作出定点B;若不存在,请说明理由.
图2-5
11.如图2-6,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,那么点E、F是否关于AD对称?
若对称,请说明理由.
图2-6
测试3轴对称变换
学习要求
1.理解轴对称变换,能作出已知图形关于某条直线的对称图形.
2.能利用轴对称变换,设计一些图案,解决简单的实际问题.
一、填空题
1.由一个_____得到它的_____叫做轴对称变换.
2.如果由一个平面图形得到它关于某一条直线l的对称图形,那么,
(1)这个图形与原图形的_____完全一样;
(2)新图形上的每一点,都是_____;
(3)连接任意一对对应点的线段被_____.
3.由于几何图形都可以看成是由点组成的,因此,要作一个平面图形的轴对称图形,可归结为作该图形上的这些点关于对称轴的______.
二、解答题
4.试分别作出已知图形关于给定直线l的对称图形.
(1)
图3-1
(2)
图3-2
(3)
图3-3
5.如图3-4所示,已知平行四边形ABCD及对角线BD,求作ΔBCD关于直线BD的对称图形.(不要求写作法)
图3-4
6.如图3-5所示,已知长方形纸片ABCD中,沿着直线EF折叠,求作四边形EFCD关于直线EF的对称图形.(不要求写作法)
图3-5
综合、运用、诊断
8.已知:
如图3-7,A、B两点在直线l的同侧,点A'与A关于直线l对称,连接A'B交l于P点,若A'B=a.
(1)求AP+PB;
(2)若点M是直线l上异于P点的任意一点,求证:
AM+MB>AP+PB.
图3-7
9.已知:
A、B两点在直线l的同侧,试分别画出符合条件的点M.
(1)如图3-8,在l上求作一点M,使得|AM-BM|最小;
作法:
图3-8
(2)如图3-9,在l上求作一点M,使得|AM-BM|最大;
作法:
图3-9
(3)如图3-10,在l上求作一点M,使得AM+BM最小.
图3-10
拓展、探究、思考
10.
(1)如图3-11,点A、B、C在直线l的同侧,在直线l上,求作一点P,使得四边形APBC的周长最小;
图3-11
(2)如图3-12,已知线段a,点A、B在直线l的同侧,在直线l上,求作两点P、Q(点P在点Q的左侧)且PQ=a,四边形APQB的周长最小.
图3-12
11.
(1)已知:
如图3-13,点M在锐角∠AOB的内部,在OA边上求作一点P,在OB边上求作一点Q,使得ΔPMQ的周长最小;
图3-13
(2)已知:
如图3-14,点M在锐角∠AOB的内部,在OB边上求作一点P,使得点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小.
图3-14
测试4用坐标表示轴对称
学习要求
1.运用所学的轴对称知识,认识和掌握在平面直角坐标系中,与已知点关于x轴或y轴对称点的坐标的规律,进而能在平面直角坐标系中作出与一个图形关于x轴或y轴对称的图形.
2.能运用轴对称的性质,解决简单的数学问题或实际问题,提高分析问题和解决问题的能力.
课堂学习检测
一、解答题
1.按要求分别写出各对应点的坐标:
已知点
A(2,4)
B(-1,5)
C(-3,-7)
D(6,-8)
E(9,0)
F(0,-2)
关于y轴的对称点
A'()
B'()
C'()
D'()
E'()
F'()
关于x轴的对称点
A''()
B''()
C''()
D''()
E''()
F''()
2.已知:
线段AB,并且A、B两点的坐标分别为(-2,1)和(2,3).
(1)在图4-1中分别画出线段AB关于x轴和y轴的对称线段A1B1及A2B2,并写出相应端点的坐标.
图4-1
(2)在图4-2中分别画出线段AB关于直线x=-1和直线y=4的对称线段A3B3及A4B4,并写出相应端点的坐标.
图4-2
3.如图4-3,已知四边形ABCD的顶点坐标分别为A(1,1),B(5,1),C(5,4),D(2,4),分别写出四边形ABCD关于x轴、y轴对称的四边形A1B1C1D1和A2B2C2D2的顶点坐标.
图4-3
综合、运用、诊断
4.如图4-4,ΔABC中,点A的坐标为(0,1),点C的坐标为(4,3),点B的坐标为(3,1),如果要使ΔABD与ΔABC全等,求点D的坐标.
图4-4
拓展、探究、思考
5.如图4-5,在平面直角坐标系中,直线l是第一、三象限的角平分线.
图4-5
实验与探究:
(1)由图观察易知A(0,2)关于直线l的对称点A'的坐标为(2,0),请在图中分别标明B(5,3)、C(-2,5)关于直线l的对称点B'、C'的位置,并写出它们的坐标:
B'_____、C'_____;
归纳与发现:
(2)结合图形观察以上三组点的坐标,你会发现:
坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P'的坐标为_____(不必证明);
运用与拓广:
(3)已知两点D(1,-3)、E(-1,-4),试在直线l上确定一点Q,使点Q到D、E两点的距离之和最小,并求出Q点坐标.
测试5等腰三角形的性质
学习要求
掌握等腰三角形的性质,并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直.
课堂学习检测
一、填空题
1._____的_____叫做等腰三角形.
2.
(1)等腰三角形的性质1是______________________________________________.
(2)等腰三角形的性质2是______________________________________________.
(3)等腰三角形的对称性是_____,它的对称轴是_____.
图5-1
3.如图5-1,根据已知条件,填写由此得出的结论和理由.
(1)∵ΔABC中,AB=AC,
∴∠B=______.()
(2)∵ΔABC中,AB=AC,∠1=∠2,
∴AD垂直平分______.()
(3)∵ΔABC中,AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=______.()
(4)∵ΔABC中,AB=AC,BD=DC,
∴AD⊥______.()
4.等腰三角形中,若底角是65°,则顶角的度数是_____.
5.等腰三角形的周长为10cm,一边长为3cm,则其他两边长分别为_____.
6.等腰三角形一个角为70°,则其他两个角分别是_____.
7.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是20°,则等腰三角形的底角等于_____.
二、选择题
8.等腰直角三角形的底边长为5cm,则它的面积是()
A.25cm2B.12.5cm2
C.10cm2D.6.25cm2
9.等腰三角形的两边长分别为25cm和13cm,则它的周长是()
A.63cmB.51cm
C.63cm和51cmD.以上都不正确
10.△ABC中,AB=AC,D是AC上一点,且AD=BD=BC,则∠A等于()
A.45°B.36°C.90°D.135°
综合、运用、诊断
一、解答题
11.已知:
如图5-2,ΔABC中,AB=AC,D、E在BC边上,且AD=AE.
求证:
BD=CE.
图5-2
12.已知:
如图5-3,D、E分别为AB、AC上的点,AC=BC=BD,AD=AE,DE=CE,
求∠B的度数.
图5-3
13.已知:
如图5-4,ΔABC中,AB=AC,D是AB上一点,延长CA至E,使AE=AD.
试确定ED与BC的位置关系,并证明你的结论.
图5-4
拓展、探究、思考
14.已知:
如图5-5,RtΔABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是BC的中点,AE=BF.
求证:
(1)DE=DF;
(2)ΔDEF为等腰直角三角形.
图5-5
15.在平面直角坐标系中,点P(2,3),Q(3,2),请在x轴和y轴上分别找到M点和N点,使四边形PQMN周长最小.
(1)作出M点和N点.
(2)求出M点和N点的坐标.
图5-6
测试6等腰三角形的判定
学习要求
掌握等腰三角形的判定定理.
课堂学习检测
一、填空题
1.等腰三角形的判定定理是_________________________________________________.
2.ΔABC中,∠B=50°,∠A=80°,AB=5cm,则AC=______.
3.如图6-1,AE∥BC,∠1=∠2,若AB=4cm,则AC=____________.
4.如图6-2,∠A=∠B,∠C+∠CDE=180°,若DE=2cm,则AD=____________.
图6-1图6-2图6-3图6-4
5.如图6-3,四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D,若CD=1.8cm,则BC=______.
6.如图6-4,△ABC中,BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB,OM∥AB,ON∥AC,BC=10cm,则ΔOMN的周长=______.
7.ΔABC中,CD平分∠ACB,DE∥BC交AC于E,DE=7cm,AE=5cm,则AC=______.
8.ΔABC中,AB=AC,BD是角平分线,若∠A=36°,则图中有______个等腰三角形.
9.判断下列命题的真假:
(1)有两个内角分别是70°、40°的三角形是等腰三角形.()
(2)平行于等腰三角形一边的直线所截得的三角形仍是等腰三角形.()
(3)有两个内角不等的三角形不是等腰三角形.()
(4)如果一个三角形有不在同一顶点处的两个外角相等,那么这个三角形是等腰三角形.()
综合、运用、诊断
一、解答题
10.已知:
如图6-5,ΔABC中,BC边上有D、E两点,∠1=∠2,∠3=∠4.
求证:
△ABC是等腰三角形.
图6-5
11.已知:
如图6-6,ΔABC中,AB=AC,E在CA的延长线上,ED⊥BC.
求证:
AE=AF.
图6-6
12.已知:
如图6-7,ΔABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,BF平分∠ABC交CD于E,交AC于F.
求证:
CE=CF.
图6-7
13.如图6-8,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ACB=40°,P、Q分别在BC、CA上,并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线,
求证:
BQ+AQ=AB+BP.
图6-8
拓展、探究、思考
14.如图6-9,若A、B是平面上的定点,在平面上找一点C,使ΔABC构成等腰直角三角形,问这样的C点有几个?
并在图6-9中画出C点的位置.
图6-9
15.如图6-10,对于顶角∠A为36°的等腰ΔABC,请设计出三种不同的分法,将ΔABC分割为三个三角形,并且使每个三角形都是等腰三角形.
图6-10
测试7等腰三角形的判定与性质
学习要求
熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算.
课堂学习检测
一、填空题
1.如果一个三角形的两条高线相等(如图7-1),那么这个三角形一定是______.
图7-1
2.如图7-2,在ΔABC中,高AD、BE交于H点,若BH=AC,则∠ABC=______.
图7-2
3.如图7-3,ΔABC中,AB=AC,AD=BD,AC=CD,则∠BAC=______.
图7-3
4.如图7-4,在ΔABC中,∠ABC=120°,点D、E分别在AC和AB上,且AE=ED=DB=BC,则∠A的度数为______°.
图7-4
5.如图7-5,ΔABC是等腰直角三角形,BD平分∠ABC,DE⊥BC于点E,且BC=10cm,则△DCE的周长为______cm.
图7-5
二、选择题
6.△ABC中三边为a、b、c,满足关系式(a-b)(b-c)(c-a)=______图7-50,则这个三角形一定为()
A.等边三角形B.等腰三角形
C.等腰钝角三角形D.等腰直角三角形
7.若一个三角形是轴对称图形,则这个三角形一定是()
A.等边三角形B.不等边三角形
C.等腰三角形D.等腰直角三角形
8.如图7-6,ΔABC中,AB=AC,∠BAC=108°,若AD、AE三等分∠BAC,则图中等腰三角形有()
A.4个B.5个C.6个D.7个
图7-6图7-7
9.等腰三角形两边a、b满足|a-b+2|+(2a+3b-11)2=0,则此三角形的周长是()
A.7B.5C.8D.7或5
10.如图7-7,ΔABC中,AB=AC,BE=CD,BD=CF,则∠EDF=()
A.2∠AB.90°-2∠A
C.90°-∠AD.
三、解答题
11.已知:
如图7-8,AD是∠BAC的平分线,∠B=∠EAC,EF⊥AD于F.
求证:
EF平分∠AEB.
图7-8
12.已知:
如图7-9,在ΔABC中,CE是角平分线,EG∥BC,交AC边于F,交∠ACB的外角(∠ACD)的平分线于G,探究线段EF与FG的数量关系并证明你的结论.
图7-9
13.如图7-10,过线段AB的两个端点作射线AM,BN,使AM∥BN,请按以下步骤画图并回答.
(1)画∠MAB、∠NBA的平分线交于点E,∠AEB是什么角?
(2)过点E任作一线段交AM于点D,交BN于点C.观察线段DE、CE,有什么发现?
请证明你的猜想.
(3)试猜想AD,BC与AB有什么数量关系?
图7-10
14.已知:
如图7-11,ΔABC中,AB=AC,∠A=100°,BE平分∠B交AC于E.
(1)求证:
BC=AE+BE;
(2)探究:
若∠A=108°,那么BC等于哪两条线段长的和呢?
试证明之.
图7-11
测试8等边三角形
学习要求
掌握等边三角形的性质和判定.
课堂学习检测
一、填空题
1._____的_____叫做等边三角形.
2.等边三角形除一般的等腰三角形的性质外,它的特有性质主要有:
(1)边的性质:
_____;
(2)角的性质:
_____;
(3)对称性:
等边三角形是_____图形,它有_____对称轴.
3.等边三角形的判定方法:
(1)三条边_____的_____是等边三角形;
(2)三个角_____的_____是等边三角形;
(3)_____的等腰三角形是等边三角形.
4.含30°角的直角三角形的一个主要性质是______.
5.判断下列命题的真假:
①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形.()
②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形.()
③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形.()
④三个外角都相等的三角形是等边三角形.()
6.已知:
如图8-1,ΔABC是等边三角形,AE⊥BC于E,AD⊥CD于D,若AB∥CD,则图中60°的角有_____个.
图8-1
7.如图8-2,B、C、D在一直线上,ΔABC、ΔADE是等边三角形,若CE=15cm,CD=6cm,则AC=_____,∠ECD=_____.
图8-2
8.如图8-3,已知ΔABC中,AB=AC,∠BAC=120°,DE垂直平分AC交BC于D,垂足为E,若DE=2cm,则BC=_____cm.
图8-3
综合、运用、诊断
解答题
9.已知:
如图8-4,ΔABC和ΔBDE都是等边三角形.
(1)求证:
AD=CE;
(2)当AC⊥CE时,判断并证明AB与BE的数量关系.
图8-4
10.如图8-5,已知ΔABC是等边三角形,D、E分别在边BC、AC上,且CD=CE,连接DE并延长至点F,使EF=AE,连接AF、BE和CF.
(1)请在图中找出一对全等三角形,用符号“≌”表示,并加以证明;
(2)求证:
AF=BD.
图8-5
11.已知:
如图8-6,四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CD∥AB,BC=6cm,∠BAD=30°,∠B=90°.求CD的长______.
图8-6
拓展、探究、思考
12.
(1)如图8-7,点O是线段AD的中点,分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD,连接AC和BD,相交于点E,连接BC,求∠AEB的大小;
图8-7
(2)如图8-8,△OAB固定不动,保持△OCD的形状和大小不变,将△OCD绕着点O旋转(△OAB和△OCD不能重叠),求∠AEB的大小.
图8-8
13.已知:
如图8-9,△ABC为等边三角形,延长BC到D,延长BA到E,使AE=BD,连接CE、DE.
求证:
CE=DE.
图8-9
14.已知:
如图8-10,四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,∠C=60°,CD=2AD,AB=4.
(1)在AB边上求作点P,使PC+PD最小;
图8-10
(2)求出
(1)中PC+PD的最小值.
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