版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语11集合学案解析版.docx
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版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语11集合学案解析版
§1.1 集 合
最新考纲
考情考向分析
1.了解集合、元素的含义及其关系.
2.理解集合的表示法.
3.了解集合之间的包含、相等关系.
4.理解全集、空集、子集的含义.
5.会求简单集合间的并集、交集.
6.理解补集的含义并会求补集.
集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点,在集合的运算中经常与不等式、函数相结合,解题时常用到数轴,考查学生的数形结合思想和计算推理能力,题型以选择题为主,低档难度.
1.集合与元素
(1)集合中元素的三个特征:
确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于,用符号∈或∉表示.
(3)集合的表示法:
列举法、描述法、图示法.
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N+)
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
关系
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A,则x∈B)
A⊆B
(或B⊇A)
真子集
集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不在集合A中
AB
(或BA)
集合相等
集合A,B中的元素相同或集合A,B互为子集
A=B
3.集合的基本运算
运算
自然语言
符号语言
Venn图
交集
由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合
A∩B={x|x∈A且x∈B}
并集
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
A∪B={x|x∈A或x∈B}
补集
由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合
∁UA={x|x∈U且x∉A}
概念方法微思考
1.若一个集合A有n个元素,则集合A有几个子集,几个真子集.
提示 2n,2n-1.
2.从A∩B=A,A∪B=A可以得到集合A,B有什么关系?
提示 A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集.( × )
(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( × )
(3)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( × )
(4){x|x≤1}={t|t≤1}.( √ )
(5)对于任意两个集合A,B,关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( √ )
(6)若A∩B=A∩C,则B=C.( × )
题组二 教材改编
2.[P11例9]已知U={α|0°<α<180°},A={x|x是锐角},B={x|x是钝角},则∁U(A∪B)=________.
答案 {x|x是直角}
3.[P44A组T5]已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为________.
答案 2
解析 集合A表示以(0,0)为圆心,1为半径的单位圆,集合B表示直线y=x,圆x2+y2=1与直线y=x相交于两点
,
,则A∩B中有两个元素.
题组三 易错自纠
4.已知集合A={1,3,
},B={1,m},A∪B=A,则m等于( )
A.0或
B.0或3
C.1或
D.1或3或0
答案 B
解析 A={1,3,
},B={1,m},A∪B=A,故B⊆A,所以m=3或m=
,即m=3或m=0或m=1,其中m=1不符合题意,所以m=0或m=3,故选B.
5.若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为( )
A.5B.4C.3D.2
答案 C
解析 当x=-1,y=0时,z=-1;当x=-1,y=2时,z=1;当x=1,y=0时,z=1;当x=1,y=2时,z=3,故集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素个数为3,故选C.
6.已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x 答案 (3,+∞) 解析 A={x|x2-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3}, ∵A⊆B,B={x|x3. 7.若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=________. 答案 0或 解析 若a=0,则A= ,符合题意; 若a≠0,则由题意得Δ=9-8a=0,解得a= . 综上,a的值为0或 . 题型一 集合的含义 1.若A={2,3,4},B={x|x=n·m,m,n∈A,m≠n},则集合B中的元素个数是( ) A.2B.3C.4D.5 答案 B 解析 B={x|x=n·m,m,n∈A,m≠n}={6,8,12}. 2.若集合A={a-3,2a-1,a2-4},且-3∈A,则实数a=________. 答案 0或1 解析 若a-3=-3,则a=0,此时集合A中含有元素-3,-1,-4,满足题意; 若2a-1=-3,则a=-1,此时集合A中的三个元素为-4,-3,-3,不满足集合中元素的互异性; 若a2-4=-3,则a=±1,当a=1时,集合A中的三个元素为-2,1,-3,满足题意; 当a=-1时,不符合题意. 综上可知,a=0或a=1. 思维升华 (1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合. (2)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题. 题型二 集合的基本关系 例1 (1)已知集合A={x∈R|x2+x-6=0},B={x∈R|ax-1=0},若B⊆A,则实数a的值为( ) A. 或- B.- 或 C. 或- 或0D.- 或 或0 答案 D 解析 由题意知,A={2,-3}. 当a=0时,B=∅,满足B⊆A; 当a≠0时,ax-1=0的解为x= , 由B⊆A,可得 =-3或 =2,∴a=- 或a= . 综上可知,a的值为- 或 或0. (2)已知集合A={x|x2-2019x+2018<0},B={x|x 答案 [2018,+∞) 解析 由x2-2019x+2018<0,解得1 故A={x|1 又B={x|x 可得a≥2018. 引申探究 本例 (2)中,若将集合B改为{x|x≥a},其他条件不变,则实数a的取值范围是____________. 答案 (-∞,1] 解析 A={x|1 思维升华 (1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解. (2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题. 跟踪训练1 (1)(2018·浙江教育绿色评价联盟高考适应性考试)已知集合A={1,2},B={x|x2-(a+1)x+a=0,a∈R},若A=B,则a等于( ) A.1B.2C.-1D.-2 答案 B 解析 由B={1,a}={1,2},得a=2,故选B. (2)已知集合A= ,B={x|x+m2≥1},若A⊆B,则实数m的取值范围是________________________. 答案 ∪ 解析 因为y= 2+ ,x∈ , 所以y∈ .又因为A⊆B,所以1-m2≤ , 解得m≥ 或m≤- . 题型三 集合的基本运算 命题点1 集合的运算 例2 (1)(2017·浙江)已知集合P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2},则P∪Q等于( ) A.(-1,2)B.(0,1) C.(-1,0)D.(1,2) 答案 A 解析 ∵P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2}, ∴P∪Q={x|-1<x<2}. 故选A. (2)(2018·浙江)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则∁UA等于( ) A.∅B.{1,3} C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5} 答案 C 解析 ∵U={1,2,3,4,5},A={1,3}, ∴∁UA={2,4,5}. 故选C. 命题点2 利用集合的运算求参数 例3 (1)设集合A={x|-1≤x<2},B={x|x A.-12 C.a≥-1D.a>-1 答案 D 解析 因为A∩B≠∅,所以集合A,B有公共元素,作出数轴,如图所示,易知a>-1. (2)设集合A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,x∈R}.若A∩B=B,则实数a的取值范围是______. 答案 (-∞,-1]∪{1} 解析 因为A={0,-4},所以B⊆A分以下三种情况: ①当B=A时,B={0,-4},由此可知,0和-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两个根,由根与系数的关系,得 解得a=1; ②当B≠∅且BA时,B={0}或B={-4}, 并且Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0, 解得a=-1,此时B={0}满足题意; ③当B=∅时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0, 解得a<-1. 综上所述,所求实数a的取值范围是(-∞,-1]∪{1}. 思维升华 (1)集合基本运算的求解策略 ①当集合是用列举法表示的数集时,可以通过列举集合的元素进行运算. ②当集合是用不等式表示时,可运用数轴求解.对于端点处的取舍,可以单独检验. ③根据集合运算结果求参数,先把符号语言译成文字语言,然后适时应用数形结合求解. (2)集合的交、并、补运算口诀 交集元素仔细找,属于A且属于B;并集元素勿遗漏,切记重复仅取一;全集U是大范围,去掉U中A元素,剩余元素成补集. 跟踪训练2 (1)(2018·浙江“七彩阳光”联盟联考)已知全集为R,集合A={y|y=3x,x≤1},B={x|x2-6x+8≤0},则A∪B=________,A∩(∁RB)=________. 答案 (0,4] (0,2) 解析 因为A={y|y=3x,x≤1}={y|0<y≤3}, B={x|x2-6x+8≤0}={x|2≤x≤4}, 所以A∪B=(0,4].又因为∁RB={x|x<2或x>4}, 所以A∩(∁RB)=(0,2). (2)已知集合A=[1,+∞),B= ,若A∩B≠∅,则实数a的取值范围是( ) A.[1,+∞)B. C. D.(1,+∞) 答案 A 解析 因为A∩B≠∅,所以 解得a≥1,故选A. 题型四 集合的新定义问题 例4 (1)定义集合的商集运算为 = .已知集合A={2,4,6},B= ,则集合 ∪B中的元素个数为( ) A.6B.7C.8D.9 答案 B 解析 由题意知,B={0,1,2}, = ,则 ∪B= ,共有7个元素,故选B. (2)如果集合A满足若x∈A,则-x∈A,那么就称集合A为“对称集合”.已知集合A={2x,0,x2+x},且A是对称集合,集合B是自然数集,则A∩B=________. 答案 {0,6} 解析 由题意可知-2x=x2+x,所以x=0或x=-3.而当x=0时不符合元素的互异性,所以舍去.当x=-3时,A={-6,0,6},所以A∩B={0,6}. 思维升华解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点: (1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在. (2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质. 跟踪训练3 (1)定义一种新的集合运算△: A△B={x|x∈A,且x∉B}.若集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2≤x≤4},则按运算△,B△A等于( ) A.{x|3 C.{x|3 答案 B 解析 A={x|1 (2)设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k-1∉A,且k+1∉A,那么称k是A的一个“孤立元”.给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有________个. 答案 6 解析 依题意可知,由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”时,这三个元素一定是连续的三个自然数.故这样的集合共有6个. 1.(2018·浙江嘉兴一中适应性考试)若集合A={1,2,3},B={(x,y)|x+y-4>0,x,y∈A},则集合B中的元素个数为( ) A.9B.6C.4D.3 答案 D 解析 由于x,y∈A的数对共C C =9对,其中(2,3),(3,2),(3,3)满足x+y-4>0,所以集合B中的元素个数为3,故选D. 2.(2018·绍兴质检)已知集合A={x∈R||x|<2},B={x∈R|x+1≥0},则A∩B等于( ) A.(-2,1]B.[-1,2) C.[-1,+∞)D.(-2,+∞) 答案 B 解析 由题意得集合A={x|-2<x<2},B={x|x≥-1},所以A∩B={x|-1≤x<2},故选B. 3.已知集合A= ,则满足A∪B={-1,0,1}的集合B的个数是( ) A.2B.3C.4D.9 答案 C 解析 解方程x- =0,得x=1或x=-1,所以A={1,-1},又A∪B={-1,0,1},所以B={0}或{0,1}或{0,-1}或{0,1,-1},集合B共有4个. 4.设集合A={x|-x2-x+2<0},B={x|2x-5>0},则集合A与集合B的关系是( ) A.B⊆AB.B⊇A C.B∈AD.A∈B 答案 A 解析 因为A={x|-x2-x+2<0}={x|x>1或x<-2},B={x|2x-5>0}= ,所以B⊆A,故选A. 5.(2018·浙江杭州第二中学月考)若集合A={x| = ,x∈R},B={1,m},若A⊆B,则m的值为( ) A.2B.-2 C.-1或2D.2或 答案 A 解析 由集合A易得 所以A={2},而A⊆B,则m=2,故选A. 6.(2019·宁波调研)已知集合M={x||x|≤2},N={x|x2+2x-3≤0},则M∩N等于( ) A.{x|-2≤x≤1}B.{x|1≤x<2} C.{x|-1≤x≤2}D.{x|-3≤x≤2} 答案 A 解析 由题意得集合M={x|-2≤x≤2},N={x|-3≤x≤1},则M∩N={x|-2≤x≤1},故选A. 7.(2018·温州十校联考)已知集合P={x|y= },Q={x|y=ln(x+1)},则P∩Q等于( ) A.{x|-1≤x≤2}B.{x|-1≤x<2} C.{x|-1<x≤2}D.{x|-1<x<2} 答案 C 解析 由题意得集合P={x|x≤2},Q={x|x>-1},所以P∩Q={x|-1<x≤2},故选C. 8.(2018·浙江金华一中月考)已知集合A= ,B={y|y=ex+1,x≤0},则下列结论正确的是( ) A.A=BB.A∪B=R C.A∩(∁RB)=∅D.B∩(∁RA)=∅ 答案 D 解析 由题意得集合A={y|0<y≤2},B={y|1<y≤2},所以∁RA={y|y≤0或y>2},所以B∩ (∁RA)=∅,故选D. 9.(2018·金华十校模拟)已知集合U={1,2,3,4,5,6},S={1,3,5},T={2,3,6},则S∩(∁UT)=________,集合S共有________个子集. 答案 {1,5} 8 解析 由题意可得∁UT={1,4,5},则S∩(∁UT)={1,5}.集合S的子集有∅,{1},{3},{5},{1,3},{1,5},{3,5},{1,3,5},共8个. 10.(2018·浙江名校协作体联考)已知集合U={-1,1,2,3,4,5},且集合A={-1,1,3}与集合B={a+2,a2+4}满足A∩B={3},则实数a=________,A∩(∁UB)=________. 答案 1 {-1,1} 解析 因为A∩B={3},所以3∈B,当a+2=3时,a=1,此时a2+4=5,集合B={3,5},符合题意;当a2+4=3时,a无实数解,综上所述,a=1,此时∁UB={-1,1,2,4},则A∩ (∁UB)={-1,1}. 11.(2019·宁波模拟)已知全集U=A∪B={x∈Z|0≤x≤6},A∩(∁UB)={1,3,5},则B=________. 答案 {0,2,4,6} 解析 由A∩(∁UB)={1,3,5}得,元素1,3,5不在集合B内.若元素0不在集合B内,则由A∪B={x∈Z|0≤x≤6},得元素0在集合A内,则0∈A∩(∁UB),与题意不符,所以元素0在集合B内,同理可得元素2,4,6也在集合B内,所以B={0,2,4,6}. 12.已知集合A={x|y=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<0,c>0},若A⊆B,则实数c的取值范围是________. 答案 [1,+∞) 解析 由题意知,A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>0}=(0,1),B={x|x2-cx<0,c>0}=(0,c).由A⊆B,画出数轴,如图所示,得c≥1. 13.已知集合A={x|1 A. B. C.(-∞,0]D.[0,+∞) 答案 D 解析 ∵A∩B=∅, ①若当2m≥1-m,即m≥ 时,B=∅,符合题意; ②若当2m<1-m,即m< 时, 需满足 或 解得0≤m< 或∅,即0≤m< . 综上,实数m的取值范围是[0,+∞). 14.若集合A具有以下性质: (1)0∈A,1∈A; (2)x,y∈A,则x-y∈A,且x≠0时, ∈A,则称集合A是“完美集”,给出以下结论: ①集合B={-1,0,1}是“完美集”; ②有理数集Q是“完美集”; ③设集合A是“完美集”,若x,y∈A,则x+y∈A; ④设集合A是“完美集”,若x,y∈A,则xy∈A; ⑤对任意的一个“完美集”A,若x,y∈A,且x≠0,则 ∈A. 其中正确结论的序号是____________. 答案 ②③④⑤ 解析 ①-1∈B,1∈B,但是-1-1=-2∉B,B不是“完美集”; ②有理数集满足“完美集”的定义; ③0∈A,x,y∈A,0-y=-y∈A,那么x-(-y)=x+y∈A; ④对任意一个“完美集”A,任取x,y∈A,若x,y中有0或1时,显然xy∈A,若x,y均不为0,1,而 = + = + ,x,x-1∈A,那么 - = ∈A,所以x(x-1)∈A,进而x(x-1)+x=x2∈A.结合前面的算式,知xy∈A; ⑤x,y∈A,若x≠0,那么 ∈A,那么由④得 ∈A. 故填②③④⑤. 15.在n元数集S={a1,a2,…,an}中,设x(S)= ,若S的非空子集A满足x(A)=x(S),则称A是集合S的一个“平均子集”,并记数集S的k元“平均子集”的个数为fS(k).已知集合S={1,2,3,4,5,6,7,8,9},T={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4},则下列说法错误的是( ) A.fS(4)=fS(5)B.fS(4)=fT(5) C.fS (1)+fS(3)=fT(5)D.fS (2)+fS(3)=fT(4) 答案 C 解析 由题意知,fT(k)=fS(k),k=1,2,…,9.再由对称性知fT(k)=fT(9-k),k=1,2,…,9,故A,B正确.现在仅考虑集合T,利用列举法,当n=1时,“平均子集”A: {0},故fT (1)=1;当n=2时,“平均子集”A可取{-k,k},其中k=1,2,3,4,故fT (2)=4;当n=3时,“平均子集”A可取{-4,0,4},{-4,1,3},{-3,-1,4},{-3,0,3},{-3,1,2},{-2,-1,3},{-2,0,2},{-1,0,1},故fT(3)=8;当n=4时,“平均子集”A可取{-4,-3,3,4},{-4,-2,2,4},{-4,-1,1,4},{-4,-1,2,3},{-4,0,1,3},{-3,-2,1,4},{-3,-2,2,3},{-3,-1,1,3},{-3,-1,0,4},{-3,0,1,2},{-2,-1,0,3},{-2,-1,1,2},故fT(4)=12.利用对称性知,fT(5)=12.所以D正确、C错误,故选C.
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- 高考 数学 一轮 复习 第一章 集合 常用 逻辑 用语 11 解析