高三数学数学山西省四校届高三下学期第.docx
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高三数学数学山西省四校届高三下学期第
2018届高三年级第四次四校联考试题
数学试题(理科)
本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分150分,考试时间120分钟。
第Ⅰ卷为选择题,第Ⅱ卷为非选择题。
注意事项:
1.考生答卷前务必用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔将学校名称、姓名、考号填写在试卷上,并用2B铅笔在机读卡上规定位置涂黑自己的考号和考试科目。
2.选择题选出答案后,用2B铅笔涂黑机读卡上对应题目的答案标号。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案。
3.交卷时只交试卷和机读卡,不交试题,答案写在试题上的无效。
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题。
本大题共12小题.每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.sin15°cos165°的值等于()
A.B.C.D.
2.复数的实部是()
A.B.C.3D.
3.已知集合A={x||x|<3,xZ},B={1,2,3,4},全集U=AUB,则集合C(AB)的子集个数为()
A.8B.16C.32D.64
4.不等式≥1的解集为()
A.B.C.D.
5.已知等差数列{an}的公差为2,若成等比数列,则a2=()
A.-4B.-6
C.-8D.-10
6.函数的定义域为,则其值域为()
A.B.
C.D.
7.把曲线按向量平移,得到的曲线方程是()
A.B.
C.D.
8.高为5,底面边长为4的正三棱柱形容器(下有底),可放置最大球的半径是()
A.B.2C.D.
9.若展开式中的第5项是,设,则()
A.1B.C.D.
10.实数满足不等式组,则的取值范围是()
A.B.C.D.
11.定义在上的函数满足,又,,,则()
A. B.C.D.
12.已知点F1、F2分别是双曲线=1的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,若△ABF2为锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是()
A.(1,+∞)B.(1,)C.(-1,1+)D.(1,1+)
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题。
共4个小题,每空5分,共20分。
将正确答案填在答题卷中对应的横线上。
13.随机变量服从正态分布,若,则
.
14.已知,且满足,则向量在方向上的投影等于.
15.已知点P(2,1)在圆C:
上,点P关于直线的对称点也在圆C上,则圆C的半径为 .
16.设、、表示不同的直线,表示不同的平面,给出下列四个命题:
①②
③
④
其中正确命题的序号是.
三、解答题。
共6个小题,共70分。
解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤
17.(本小题满分10分)在锐角△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且a=2csinA
(Ⅰ)确定角C的大小;
(Ⅱ)若c=,且△ABC的面积为,求a+b的值。
18.(本小题满分12分)如图,在多面体ABC-DEFG中,平面∥平面,⊥平面,,,∥.且,.
(Ⅰ)求证:
∥平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
19.(本小题满分12分)
“上海世博会”于2018年5月1日至10月31日在上海举行。
世博会“中国馆·贵宾厅”作为接待中外贵宾的重要场所,陈列其中的艺术品是体现兼容并蓄、海纳百川的重要文化载体,为此,上海世博会事物协调局将举办“中国2018年上海世博会‘中国馆·贵宾厅’艺术品方案征集”活动。
某地美术馆从馆藏的中国画、书法、油画、陶艺作品中各选一件代表作参与应征,假设代表作中中国画、书法、油画入选“中国馆·贵宾厅”
的概率均为,陶艺入选“中国馆·贵宾厅”的概率为.
(Ⅰ)求该地美术馆选送的四件代表作中恰有一件作品入选“中国馆·贵宾厅”的概率;
(Ⅱ)设该地美术馆选送的四件代表作中入选“中国馆·贵宾厅”的作品件数为随机变量ξ,求ξ数学期望.
20.(本小题满分12分)已知=,(0,e],其中是自然常数,
(Ⅰ)当时,求的单调区间和极值;
(Ⅱ)是否存在实数,使的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
21.(本小题满分12分)
设上的两点,已知向量,若且椭圆的离心率e=,短轴长为,为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)试问:
△AOB的面积是否为定值?
如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由
22.(本小题满分12分)
已知数列的前n项和满足:
(为常数,且).
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)设,若数列为等比数列,求的值;
(Ⅲ)在满足条件(Ⅱ)的情形下,设,数列的前n项和为.求证:
.
第四次四校联考数学参考答案
一、BBCCBCCBADCD
二、13.(文)80(理)0.414.15.216.①④
三、17.解
(1)由及正弦定理得,
∵sinA≠0,∴sinC=
∵ABC是锐角三角形,……………………………………………4分
(2)∵c=,C=由面积公式得
……………………6分
由余弦定理得
………………8分
由②变形得………………………………………10分
18.(本小题满分12分)解法一向量法
由已知,AD、DE、DG两两垂直,建立如图的坐标系,
则A(0,0,2),B(2,0,2),C(0,1,2),
E(2,0,0),G(0,2,0),F(2,1,0)
(Ⅰ)
∴,所以BF∥CG.
又BF平面ACGD
故BF//平面ACGD……………………6分
(Ⅱ),
设平面BCGF的法向量为,
则,
令,则,
而平面ADGC的法向量
∴=
故二面角D-CG-F的余弦值为.……………………12分
解法二设DG的中点为M,连接AM、FM,
则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形,
所以MF//DE,且MF=DE
又∵AB//DE,且AB=DE∴MF//AB,且MF=AB
∴四边形ABMF是平行四边形,即BF//AM,
又BF平面ACGD
故BF//平面ACGD……………6分
(利用面面平行的性质定理证明,可参照给分)
(Ⅱ)由已知AD⊥面DEFG∴DE⊥AD,DE⊥DG
即DE⊥面ADGC,
∵MF//DE,且MF=DE,∴MF⊥面ADGC
在平面ADGC中,过M作MN⊥GC,垂足为N,连接NF,则
显然∠MNF是所求二面角的平面角.
∵在四边形ADGC中,AD⊥AC,AD⊥DG,AC=DM=MG=1
∴,∴MN=
在直角三角形MNF中,MF=2,MN
∴===,=
故二面角D-CG-F的余弦值为……………………12分
19.(文)
(1)+………………………….6分
(2)……….12分
(理)
20.(文)
(1)∵a3,a5是方程的两根,且数列的公差d>0,
∴a3=5,a5=9,公差
∴………………3分
又当n=1时,有b1=S1=1-
当
∴数列{bn}是等比数列,
∴…………6分
(2)(Ⅱ)由(Ⅰ)知…………9分
∴
∴…………………………12分
(理)
(1)时,,……1分
由得,∴f(x)的单调递减区间(0,1)
由得,单调递增区间(1,e)……3分
∴的极小值为……4分
(2)假设存在实数,使()有最小值3,…………………5分
①当时,在上单调递减,,(舍去),所以,此时无最小值.……7分
②当时,在上单调递减,在上单调递增
,,满足条件.……9分
③当时,在上单调递减,,(舍去),所以,此时无最小值.……11分
综上所述,存在实数,使得当时有最小值3。
……12分
21.(文)
(I)2分
由知,当时,,故在区间是增函数;
当时,,故在区间是减函数;
当时,,故在区间是增函数。
综上,当时,在区间和是增函数,在区间是减函数。
………………………6分
(II)由(I)知,当时,在或处取得最小值。
…………………………….8分
由假设知
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