概率论复习题解答第4章.docx
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概率论复习题解答第4章
第4章习题答案
三、解答题
1.设随机变量的分布律为
X
–2
0
2
pi
0.4
0.3
0.3
求,,.
解:
E
E
E<3X+5>=3E
2.同时掷八颗骰子,求八颗骰子所掷出的点数和的数学期望.
解:
记掷1颗骰子所掷出的点数为Xi,则Xi的分布律为
记掷8颗骰子所掷出的点数为X,同时掷8颗骰子,相当于作了8次独立重复的试验,
E
E
3.某图书馆的读者借阅甲种图书的概率为p1,借阅乙种图书的概率为p2,设每人借阅甲乙图书的行为相互独立,读者之间的行为也是相互独立的.
<1>某天恰有n个读者,求借阅甲种图书的人数的数学期望.
<2>某天恰有n个读者,求甲乙两种图书至少借阅一种的人数的数学期望.
解:
<1>设借阅甲种图书的人数为X,则X~B
<2>设甲乙两种图书至少借阅一种的人数为Y,则Y~B
记A={借甲种图书},B={借乙种图书},则p={A∪B}=p1+p2-p1p2
所以E
4.将n个考生的的录取通知书分别装入n个信封,在每个信封上任意写上一个考生的、地址发出,用X表示n个考生中收到自己通知书的人数,求E
解:
依题意,X~B
5.设,且,求E
解:
由题意知X~P〔〕,则X的分布律P=,k=1,2,...
又P=P,所以
解得,所以E
6.设随机变量X的分布律为问X的数学期望是否存在?
解:
因为级数,而
发散,所以X的数学期望不存在.
7.某城市一天的用电量X〔十万度计〕是一个随机变量,其概率密度为
求一天的平均耗电量.
解:
E
8.设某种家电的寿命X〔以年计〕是一个随机变量,其分布函数为
求这种家电的平均寿命E
解:
由题意知,随机变量X的概率密度为
当>5时,,当5时,0.
E
所以这种家电的平均寿命E
9.在制作某种食品时,面粉所占的比例X的概率密度为
求X的数学期望E
解:
E
10.设随机变量X的概率密度如下,求E
解:
.
11.设,求数学期望.
解:
X的分布律为,k=0,1,2,3,4,
X取值为0,1,2,3,4时,相应的取值为0,1,0,-1,0,所以
12.设风速V在<0,a>上服从均匀分布,飞机机翼受到的正压力W是V的函数:
〔k>0,常数〕,求W的数学期望.
解:
V的分布律为,所以
13.设随机变量
YX
0
1
2
0
3/28
9/28
3/28
1
3/14
3/14
0
2
1/28
0
0
求E
解:
E
E
E
14.设随机变量
解:
E
15.某工厂完成某批产品生产的天数X是一个随机变量,具有分布律
X
1011121314
pi
0.20.30.30.10.1
所得利润〔以元计〕为,求E
解:
E
=1000×[<12-10>×0.2+<12-11>]×0.3+<12-12>×0.3+<12-13>×0.1+<12-14>×0.1]=400
E
=10002[<12-10>2×0.2+〔12-11〕2×0.3+〔12-12〕2×0.3+〔12-13〕2×0.1
+〔12-14〕2×0.1]=1.6×106
D
16.设随机变量X服从几何分布,其分布律为
其中0
,D
解:
令q=1-p,则
D
17.设随机变量X的概率密度为,试求E
解:
E
D
18.设随机变量
解:
因为,所以
=-1/6×3×2=-1,
19.在题13中求Cov
解:
E
E
E
E
D
D
Cov
XY=Cov
20.在题14中求Cov
解:
21.设二维随机变量
试验证X和Y是不相关的,但X和Y不是相互独立的.
解:
所以Cov
当x2+y2≤1时,f
22.设随机变量
验证X和Y是不相关的,但X和Y不是相互独立的.
解:
由于f
0 所以Cov 因此X与Y不相关. 所以,当0 四、应用题 .1.某公司计划开发一种新产品市场,并试图确定该产品的产量,他们估计出售一件产品可获利m元,而积压一件产品导致n元的损失,再者,他们预测销售量Y〔件〕服从参数的指数分布,问若要获利的数学期望最大,应该生产多少件产品? 〔设m,n,均为已知〕. 解: 设生产x件产品时,获利Q为销售量Y的函数y 0 x 2.设卖报人每日的潜在卖报数为X服从参数为的泊松分布,如果每日卖出一份报可获报酬m元,卖不掉而退回则每日赔偿n元,若每日卖报人买进r份报,求其期望所得及最佳卖报数。 解: 设真正卖报数为Y,则 Y的分布为 设卖报所得为Z,则Z与Y的关系为 当给定m,n,λ之后,求r,使得E 组题 1.已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品,从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求: <1>乙箱中次品件数X的数学期望; <2>从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 解: <1>X的可能取值为0,1,2,3,X的概率分布律为 k=0,1,2,3. 即X0123 pi 因此 <2>设A表示事件"从乙箱中任取一件产品是次品",由于,,,构成完备事件组,因此根据全概率公式,有 = = 2.随机变量X的概率密度为,对X独立重复观察4次,用Y表示观察值大于的次数,求Y2的数学期望 解: 依题意,Y~B<4,p>, p=P{X>}= 所以E 3.设随机变量U在区间<-2,2>上服从均匀分布,随机变量 试求: <1>和的联合分布律;<2>. 解: <1> P{X=-1,Y=-1}=P{U≤-1且U≤1}=P{U≤-1}=, P{X=-1,Y=1}=P{U≤-1且U>1}=0, P{X=1,Y=-1}=P{-1 P{X=1,Y=1}=P{U>-1且U>1}=P{U>1}=, 所以和的联合分布律为 XY -1 1 -1 1/4 1/2 1 0 1/4 <2>和的边缘分布律分别为 X –1 1 pi 1/4 3/4 Y –1 1 pi 3/4 1/4 所以E E Cov 4.设随机变量X的期望E 证明: 首先证明E〔Y〕存在 <1>若随机变量X为离散型随机变量,分布律为: 则由E 记,则绝对收敛, 所以E〔Y〕存在,, <2>若X为连续型随机变量,其概率密度为f 5.设离散型随机变量X的分布律为,且E 函数在时取得最小值,且最小值为D 证明: 令, 则, 所以, 又,所以时,取得最小值,此时 6.随机变量X与Y独立同分布,且X的分布律为 X 1 2 pi 2/3 1/3 记, <1>求的分布律; <2>求U与V的协方差Cov. 解: <1> YX 1 2 1 4/9 2/9 2 2/9 1/9 〔1,1〕 〔1,2〕 〔2,1〕 〔2,2〕 pij 4/9 2/9 2/9 1/9 U 1 2 2 2 V 1 1 1 2 VU 1 2 1 4/9 0 2 4/9 1/9 <2>E=4/9+2×5/9=14/9, E E Cov=16/9-140/81=4/81 7.随机变量X的概率密度为 令为二维随机变量〔X,Y〕的分布函数,求Cov 解: 8.对于任意二事件A和B,0 <1,0 <1,
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