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初等数论练习题答案
初等数论练习题答案
信阳职业技术学院
2010年12月
初等数论练习题一
一、填空题
1、d(2420)=1Z护(2420)880_
2、设是大于1的整数,若1是质数,则2.
3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}.
4、同余方程912三0(37)的解是x三11(37)。
5、不定方程1823100的通解是900+23t,700+18tt乙
6、分母是正整数m的既约真分数的个数为_(n)_。
7、18100被172除的余数是256。
9、若p是素数,则同余方程xp
1(p)的解数为1。
二、计算题
13,55,58,100(105)
1、解同余方程:
3x211x200(105)
解:
因105=3
5
7,
同余方程3x2
11x
20
0(3)
的解为
x
1(3),
同余方程3x2
11x
38
0(5)
的解为
x
0,3(5),
同余方程3x2
11x
20
0(7)
的解为
x
2,6(7),
故原同余方程有
4解。
作同余方程组:
x
b1(3),x
b2(5)
xb3(7)
其中
b=1
b2=0
3,
th=
:
2,6,
由孙子定理得原同余方程的解为x
2、判断同余方程X2三42(107)是否有解?
解:
竺)(237))(丄)(Z)
'107,107107107107
311071711071
■(—)
107
.(纟)=1
107
—1,(—)((—1)丁107)=
(2)1,(—)(-1)T・h(107)=—(-)-1
1073310777
、_2
故同余方程x三42(107)有解。
3、求(127156+34)28除以111的最小非负余数。
解:
易知1271三50(111)。
由502三58(111),503三58X50三14(111),509三143三80(111)知5028三(509)3X50三803X50三803X50三68X50三
70(111)
从而5056三16(111)。
故(127156+34)28三(16+34)28三5028三70(111)
三、证明题
1、已知p是质数,()=1,证明:
(1)当a为奇数时,1+
(1)a三0(p);
(2)当a为偶数时,1-
(1)—0(p)。
证明:
由欧拉定理知1三1(p)及
(1)aw-1(p)立得
(1)和
(2)成
2n2
2、设a为正奇数,n为正整数,试证a2三1
(2)。
(1)
证明设a=2m1,当n=1时,有
2
a=(2m
2
1)=4mm1)
11(23),即原式成立
k
设原式对于n=k成立,则有a21(2k+2)
a2k=1
q2k
其中q乙所以
=(1
k+2、
q2)
其中q是某个整数。
这说明式
(1)当n=k
1也成立
由归纳法知原式对所有正整数n成立。
3、设p是一个素数,且Kkw1。
证明:
Cp^(-1)k(p)。
证明:
设cp二"(p2)(卩儿)得:
pk!
k!
•A=
(1)⑵…()三(-1)(-2)…()(p)
又(k!
p)=1,故A=C爲(-1)k(p)
4、设p是不等于3和7的奇质数,证明:
p6三1(84)。
说明:
因为84=4X3X乙所以,只需证明:
p6三1(4)p6三1(3)p6三1(7)同时成立即可。
证明:
因为84=4X3X7及p是不等于3和7的奇质数,所以
(p,4)=1,(p,3)=1,(p,7)=1。
由欧拉定理知:
p⑷三p2三1(4),从而p6三1(4)。
同理可证:
p6三1(3)p6三1(7)。
故有p6三1(84)。
注:
设p是不等于3和7的奇质数,证明:
p6三1(168)。
(见赵继源
p86)
初等数论练习题二
一、填空题
1、d(1000)1_6_(1000)2340
2、2010!
的标准分解式中,质数11的次数是199.
3、费尔马()数是指22"1,这种数中最小的合数中的5。
4、同余方程13x三5(31)的解是x三29(31)
5、分母不大于m的既约真分数的个数为
(2)+(3)+…+(n)。
6、设7I(801),则最小的正整数6.
7、使4115无非负整数解的最大正整数559.
&兰1.
^101厂
9、若p是质数,np1,则同余方程xn1(p)的解数为n.
二、计算题
1、试求200220032004被19除所得的余数。
23
解:
由2002三7(19)2002三11(19)2002三1(19)又由20032004三22004三(22)1002三1(3)可得:
200220032004三200231三(20023)nX2002三7(19)
2、解同余方程3x144x106x180(5)。
解:
由定理,x5x(5),因此,原同余方程等价于2x2x3
0(5)
将x0,1,2(5)分别代入上式进行验证,可知这个同余方
程解是x1(5)。
3、已知5,21,求使ax1(m)成立的最小自然数x。
解:
因为(5,21)=1,所以有欧拉定理知5(21)三1(21)。
又由于(21)=12,所以12,而12的所有正因数为1,2,3,4,6,12。
于是x应为其中使5x1(12)成立的最小数,经计算知:
6。
5/35
三、证明题
1、试证13|(54m+462000)。
(提示:
可取模13进行计算性证明)
证明:
54m+462000252m+6422000(-1)2m+(-1)220002002
0(13)。
2、证明定理的逆定理:
若n>1,并且(n1)!
1(n),则n
是素数。
证明:
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