三角形梯形中位线定理应用练习课.docx
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三角形梯形中位线定理应用练习课
《三角形、梯形中位线定理应用练习课》教学设计
执教李裕达
【教学内容】人教版初中《几何》第二册P176〜P181
【教学目标】1.进一步熟悉三角形、梯形中位线的性质定理和判定定理;
2•能熟练地运用三角形、梯形中位线的性质定理和判定定理进行有关证明和计算;
3•通过例题和练习,使学生掌握与中点有关的常用辅助线作法;
4•培养学生思维能力和归纳、概括能力,提高解题能力。
【教学重点】三角形、梯形中位线定理的应用
【教学难点】证(解)题思路分析和辅助线的作法
【教学方法】题组教学法
【教具准备】三角板、实物投影仪、电脑、自制课件等
【教学设计】
一、复习题组
1.知识要点
(1)如图1,
三角形中位线性质定理的条件是
结论是
结论是
三角形中位线判定定理的条件是
(2)如图2,
梯形中位线性质定理的条件是
结论是
结论是
梯形中位线判定定理的条件是
BC
(图2)
2.基本方法
三角形、梯形中位线定理不仅反映了线段的相等关系,也反映了线段间的倍半关系。
此外,证明线
段相等或倍半关系还有其他方法,你能指出一些其他的常用方法吗?
(1)全等三角形对应边相等;
(2)等角对等边,等腰三角形“三线合一”性质;
⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等;
⑷角平分线上的点到角的两边距离相等;
(5)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;
(6)直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半;
(7)平行四边形(包括矩形、菱形、正方形)的性质;
(8)等腰梯形的两腰相等,两条对角线相等。
、基本题组
1顺次连结四边形各边中点所得的四边形是;
2•顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是;
3•顺次连结矩形各边中点所得的四边形是;
4•顺次连结菱形各边中点所得的四边形是;
5•顺次连结正方形各边中点所得的四边形是;
6•顺次连结梯形各边中点所得的四边形是。
7•顺次连结直角梯形各边中点所得的四边形是。
&顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是。
9•顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是菱形;
10•顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是矩形;
11顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是正方形。
12.已知D、E、F是厶ABC各边的中点,则厶DEF与厶ABC的周长比为,面积比为
则EE'=,FF'=
)
13.如图3,在厶ABC中,D、E、F是AB的四等分点,D'、E'、F'是AC的四等分点,BC=28,贝UDD'=,EE'=,FF'=。
14.如图4,在厶ABC中,D、E是AB边的三等分点,D'、E'是AC边的三等分点,若BC=18,贝UDD'=,EE'=。
EE'//FF'//BC,分别交CD于
15.如图5,在梯形ABCD中,AD//BC,E、F是AB的三等分点,
16.直角三角形斜边上的中线与连结两直角边中点的线段的关系是(
A.相等且平分B.相等且垂直C.垂直平分
17.以等腰梯形两底中点和两条对角线中点为顶点的四边形是(
D.垂直平分且相等
)
D.正方形
A•平行四边形B•矩形C.菱形
AB
(图6)
、教练题组
例1.已知:
如图6,在梯形ABCD中,AB//CD,以AD、AC为边作口ACED,
DC的延长线交EB于F。
求证:
EF=FB。
1注1〗本题先由学生讨论,拓宽证题思路,再补充、归纳;
1注2〗本题证法较多,关键是如何添加辅助线,主要方法如下。
(1)延长EC,交AB于点G(如图7);
⑵延长EC,交BA的延长线于点G(如图8);
⑶连结AE,交CD于点G(如图9);
⑷过点E作EG丄AB,分别交DF、AB于G、H(如图10);
(5)过点E作EG//CD,交AD的延长线于
G(如图11);
构造梯形中位线
⑹过点F作FG//AD,交AB于G(如图12);
⑺过点F作FG//AC,交AB于G(如图13);
构造全等三角形
1注〗重点研究图
构造平行四边形
(图10)
G
7、8、9、11的证法,其他图形的证法仅提一提,以培养学生的发散思维能力。
例2.已知:
如图
15,在厶ABC中,AB=AC,E是AB的中点,延长AB到D,使BD=AB。
求证:
CD=2CE。
证法一:
取AC的中点F,连结BF(如图16)。
证法二:
过点B作BF//CE,交AC的延长线于F(如图17)。
证法三:
延长CE到F,使EF=CE,连结FA、FB(如图18)。
(图15)
口
(图19)
,再证此中线长等于DF;
22,BM、CN是厶ABC的角平分线,
例3.已知:
如图19,在厶ABC中,/B=2/C,AD丄BC于D,E是BC的中点。
求证:
AB=2DE
分析:
⑴要证AB=2DE,只需证等于AB一半的线段等于DE
或等于DE的2倍的线段等于AB。
(2)找等于AB一半的线段有三种方法:
是只取AB的中点,但这不利于问题的证明;
二是构造以AB为斜边的直角三角形中线(因为条件中有垂直)
三是构造以AB为第三边某三角形的中位线,再证此中位线等于DE。
证法一:
取AB的中点F,
(如图20)。
(以下证明略)
证法二:
取AC的中点F,
(如图21)。
(以下证明略)
例4.(选讲)已知:
如图
AE丄BM于E,AF丄CN于F。
求证:
EF//BC。
分析:
由“角相等”证“平行”很难实现。
考虑条件中有“角平分线”
和“垂直”,因而可采用“补形”的办法试证。
证明:
延长AF交BC于G,延长AE交BC于H。
(以下略)
思考:
若将两条“内角平分线”改成“外角平分线”
结论是否还成立?
如何证明?
(如图23),亠
P
四、巩固题组
1.已知:
如图24,AD是厶ABC
的中线,E是AD
AE的延长线交AC于F。
求证:
BE=3EF。
2.已知:
如图25,
在菱形ABCD中,E是AD的中点,
求证:
3.(选做)
交AB于
GE=GF。
已知:
如图26,
G,交CB延长线于F。
(图23)
在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是AD、BC
的中点,延长BA、CD,分别交FE的延长线于M、N。
(图25)
、复习题组
1.如图1,三角形中位线性质定理的条件是,
结论是
三角形中位线判定定理的条件是
结论是
2•如图2,梯形中位线性质定理的条件是,
结论是
梯形中位线判定定理的条件是
结论是
3•三角形、梯形中位线定理不仅反映了线段的相等关系,也反映了线段间的倍半关系。
此外,证明线
段相等或倍半关系还有其他方法,你能指出一些其他的常用方法吗?
二、基础题组
1•顺次连结四边形各边中点所得的四边形是;
2•顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是;
3•顺次连结矩形各边中点所得的四边形是;
4•顺次连结菱形各边中点所得的四边形是;
5•顺次连结正方形各边中点所得的四边形是。
6•顺次连结梯形各边中点所得的四边形是;
7•顺次连结直角梯形各边中点所得的四边形是;
&顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是。
9•顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是菱形;
10•顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是矩形;
11•顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是正方形。
12.已知D、E、F是厶ABC各边的中点,则△DEF与厶ABC的周长比为,面积比为
13.如图3,在△ABC中,D、E、F是AB的四等分点,D'、E'、F'是AC的四等分点,BC=28,
贝UDD'=,EE'=,FF'=;
14.如图4,在△ABC中,D、E是AB边的三等分点,D'、E'是AC边的三等分点,若BC=18,
贝UDD'=,EE'=;
15.如图5,在梯形ABCD中,AD//BC,E、F是AB的三等分点,EE'//FF'//BC,分别交CD于
C.垂直平分D.垂直平分且相等
16•直角三角形斜边上的中线与连结两直角边中点的线段的关系是(
17.以等腰梯形两底中点和两条对角线中点为顶点的四边形是(
)
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
三、例题题组
D.正方形
A.相等且平分
B.相等且垂直
例1.已知:
如图,在梯形ABCD中,AB//CD,以AD、AC为边作□ACED,
DC的延长线交EB于F。
求证:
EF=FB。
例2.已知:
如图,在△
ABC中,AB=AC,E是AB的中点,延长
AB至UD,使BD=AB。
求证:
CD=2CE。
例3.已知:
如图,在△ABC中,/B=2/C,AD丄BC于D,E是BC的中点。
求证:
AB=2DE
例4.(选讲)已知:
如图,
BM、CN是厶ABC的角平分线,
AE丄BM于E,AF丄CN于F。
求证:
EF//BC。
A
思考:
若将两条“内角平分线”改成“外角平分线”
(如图),结论是否还成立?
如何证明?
四、巩固题组
1已知:
如图,AD是厶ABC的中线,
求证:
BE=3EF。
E是AD的中点,
AE的延长线交
2.已知:
如图,在菱形
求证:
GE=GF。
ABCD中,AB=CD,
FE的延长线于M、N。
B
F
ABCD中,E是AD的中点,EF丄AC,交AB于G,交CB延长线于F。
3.(选做)已知:
如图,在四边形
延长BA、CD,分别交
求证:
/BMF=/CNF。
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- 三角形 梯形 中位线 定理 应用 练习