第一章 整式的乘除.docx
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第一章整式的乘除
第一章整式的乘除
1.1同底数幂的乘法
一、同底数幂的乘法法则
同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
正用:
am.an=am+n(合)
例1:
计算:
(1)2×103•3×105
(2)(-a)2n·(-a)2n+1(3)(x-y)3·(y-x)5
推广:
am.an·ap=am+n+p
am.an·…·ap=am+n+…+p
例2:
计算
(1)an+2·an+1·an·a
(2)(x+1)5·(x+1)3·(x+1)
逆用:
am+n=am.an(拆)
例3:
(1)已知2x=3,2y=9,求2x+y
(2)已知3m+2=a,用含a的代数式表示3m
二、题型解析
题型一:
同底数幂的乘法和整式加减的综合应用
例4:
(1)(-a)3·(-a2)·(-a)+(-a4)·(-a)2
(2)(-10)3×10+100×(-102)
(3)3xm·xm+1–x2m·x–xm-3·xm+4(4)4(m-n)2·(n-m)3–(m-n)·(n-m)4+5(m-n)5
题型二:
同底数幂的运算性质的综合运用
例5:
(1)已知22x+2=16,求(x-2)2013+x的值
(2)已知32m+1=6561,求m的值
题型三:
底数互为相反数
例6:
-a2·(-a)4·(-a4)·(-a)3·(-a3)
1.2幂的乘方与积的乘方
一、幂的乘方法则
幂的乘方,底数不变,指数相乘。
正用:
(am)n=amn(合)
例1:
计算
(1)(-22)3;
(2)-(22)3;(3)[(-2)2]3;(4)[(-x)7]6;(5)(-x4)5
推广:
[(am)n]p=amnp
例2:
(1)[(23)2]4
(2){[(a-b)3]m}2
逆用:
amn=(am)n=(an)m
例3:
(1)已知(9m)2=316,求m的值。
(2)已知2×8n×16n=222,求n的值。
二、积的乘方法则
积的乘方就是把积中的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。
正用:
(ab)n=anbn(拆)
推广:
(abc)n=anbncn
例4:
(1)-(-3a2b3)2
(2)(-xy2m+1)3
逆用:
anbn=(ab)n(合)
例5:
(1)216×0.258
(2)(-8)2013×0.1252012(3)513×(4%)6
3、题型解析
题型一:
乘方的运算
例6:
(1)(-x3)2·(-x2)3;
(2)(a2n-2)2·(an+1)3;
(3)(-2x4)4+2x10·(-2x2)3+2x4·5(x4)3(4)(-4ab)2·b2-(-3ab2)2+(-5a)2·(-b)4+20a2b4
题型二:
乘方运算的逆用
例7:
(1)已知a2n=2,求(2a3n)2-3(a2)2n
(2)22003×(-
)1002(3)0.1252011×22012×42013
题型三:
活用公式
例8:
(1)3x+5y-3=0,求8x·32y
(2)已知9m=12,27n=15,求34m+6n
(3)已知22n+1+4n=48,求n的值(4)已知9n+1-32n=72,求n的值
例9:
比较3555,4444,5333三者的大小,并说明理由。
1.3同底数幂的除法
1、同底数幂的除法法则
同底数幂相除,底数不变,指数相减。
正用:
am÷an=am-n(a≠0)
推广:
am÷an÷aP=am-n-p(a≠0)
例1:
(1)(-a)5÷a3
(2)-y3m-3÷ym+1(3)(x-y)8÷(y-x)4÷(y-x)3
逆用:
am-n=am÷an=
(a≠0)
例2:
已知3m=2,3n=4,求9m+1-2n
2、零指数幂与负指数幂
零指数幂:
a0=1(a≠0)即任何非零数的0次幂都等于1
例3:
(1)已知(5x-3)0=1,求x的取值范围
(2)求(x2+1)0的值
负指数幂:
a-p=
(a≠0)(先乘方后倒,用于底数为整数)
a-p=(
)p(a≠0)(先倒后乘方,用于底数为分数)
例4:
(1)(-3)-2
(2)2-3(3)(
)-4(4)(-
)-2
3、用科学计数法表示小于1的正数
表示小于1的正数的科学计数法的形式:
a×10n(1≤a<10,n是负整数,
且n的绝对值等于小数点向右移动的位数,也等于移动前小数点的位置与移动后小数点的位置之间的数字的个数)
例5:
用科学计数法表示:
(1)0.0000235
(2)0.000000000999(3)1nm=0.000000001m(4)1um=0.000001m
例6:
用小数表示下列各数
(1)3×10-5
(2)1.125×10-7(3)-8.7×10-4
4、题型解析
题型一:
法则混合运算
例7:
(1)(-a)2·(-a)3-2[(a3)3÷(-a2)2];
(2)(a-b)2n+1·(b-a)2n-1÷(a-b)4n(n为正整数)
例8:
(1)2-2+(
)-4+2-1×2-3×2+20;
(2)(
)3÷(
)-4-(-
)-1
题型二:
法则灵活运用
例9:
已知3m=4,32m-4n=
求n的值。
例10:
(
)-m=2,
=5,求92m-n的值。
1.4整式的乘法
一、单项式与单项式相乘
法则:
单项式与单项式相乘,把他们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,作为积的因式。
例1:
(1)3a2b·(-2ab3)
(2)(4a3b4)·(-3ab3c2)
(3)(-
ab2)2·(-
abc2)3·(12a3b)(4)(4.2×105)×(5×106)
二、单项式与多项式相乘
法则:
单项式与多项式相乘,就是根据乘法分配率用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。
公式:
m(a+b+c)=ma+mb+mc(m,a,b,c都是单项式)
例2:
(1)2xy2(
-3xy+x2yz)
(2)(-
x2y)(
y2-
x+
xy2)
(3)(-
x2y3)3(8xy-16x2y-32xz)(4)(-2ab)(-a2b+3a3b2+2a)(3b)
三、多项式与多项式相乘
法则:
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
公式:
(m+n)(a+b+c)=ma+mb+mc+na+nb+nc(m,n,a,b,c都是单项式)
实质:
从左边多项式挑选一项,右边多项式挑选一项,组合在一起相乘,然后把所有的组合相加。
例3:
(1)(x+1)(x+6)
(2)(1-x)(6-x)
(3)(3ab-2a2b)(-3a+b-4ab)(4)-(2x-3)(x-2)-(x-1)2
四、题型解析
题型一:
化简求值
例4:
先化简,再求值
(1)[xy(x2-3y)+3xy2](-2xy)+x3y2(2x-y),其中x=-
y=-5
(2)2x3y2[xy(1-x)-2x(y-
)]+2x4y3(x+1),其中x2y=-
题型二:
关于多项式与多项式相乘的展开式中,某一项的系数
例5:
(1)(x2-3x+4)(x2–ax+1)的展开式中含x2的项的系数为-1,求a的值。
(2)若多项式(x3+mx+4)(x2-3x+n)的乘积中不含x的二次项和三次项,求m、n的值。
题型三:
已知互为同类项,求指数上的未知实数
例6:
已知单项式9am-1b-n-4与-3a3+nbm+6的积与5a5b是同类项,求m、n的值。
题型四:
解含有整式相乘的方程
例7:
解方程
(1)2x(5-4x)+5x(7-2x)=9x(8-2x)-108
(2)(2x-1)(x+3)-(x-2)(x+2)=(5-x)(-x-5)
题型五:
关于等式成立,求等式中未知实数的问题
例8:
已知等式x(x2+a)+3x-2b=x3+5x+4成立,求a、b的值。
五、思维扩展:
例9:
已知(2x+1)4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,求a0+a2+a4
1.5平方差公式
一、平方差公式
正用:
(a+b)(a-b)=a2–b2
即两数和与这两数差的积,等于它们的平方差。
公式特点:
①左边,一和一差,和差的第一项相同,第二项互为相反数。
②右边,相同项的平方减去相反项的平方。
③a、b可以是具体数,也可以是单项式或多项式。
例1:
(1)(2+3x)(2-3x)
(2)(-2-3x)(2-3x)(3)(-2-3x)(-3x-2)
例2:
(1)(100-1)(100+1)
(2)(3+
)(3-
)
例3:
(1)(x+y+z)(x+y-z)
(2)(x-y+z)(x+y-z)(3)(x-y+z)(-x+y+z)
逆用:
a2–b2=(a+b)(a-b)(分解因式)
例4:
(1)12-22+32-42+…+92-102
(2)(a+2b)2-(a-2b)2
二、题型解析
题型一:
平方差公式的应用
例5:
(1)(3x-2)(-2-3x)(-4-9x2)
(2)(
x+
y)(-3x+3y)
(3)(3x+2y)(4x+5y)(3x-2y)(5y-4x)(4)a2(a+b)(a-b)–(2b-a2)(-2b-a2)
题型二:
简化计算
例6:
(1)2522-2482
(2)10
×9
例7:
(1)2012×2014-20132
(2)10233-1021×1023×1025
题型三:
三项式与三项式相乘,利用平方差
把相同的部分放前面,把相反的部分放后边,等于相同部分的平方减去相反部分的平方
例8:
(1)(a-b+1)(a+b-1)
(2)(x+2y-z)(x-2y-z)
题型四:
积的乘方法则与平方差公式混用
例9:
(1)(3a-b)2(-b-3a)2
(2)(x-2)2(x+2)2(x2+4)2
题型五:
凑平方差
例10:
(1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)
(2)(1+
)(1+
)(1+
)(1+
)+
题型六:
平方差逆用分解
例11:
(1)1002-992+982-972+…+22-1
(2)-1+22-32+42-…-(n-1)2+n2
例12:
(1)(1-
)(1-
)(1-
)…(1-
)(1-
)
(2)(1-
)(1-
)(1-
)…(1-
)
1.6完全平方公式
一、完全平方公式
正用:
(a+b)2=a2+2ab+b2=a2+b2+2ab
(a-b)2=a2-2ab+b2=a2+b2-2ab
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和加上(或减去)它们的积的2倍。
左平方,右平方,中间乘积2倍(指左右两个底数的平方和乘积),符号看中央。
1这两个公式称作完全平方公式。
2等号左边叫做完全平方形式,等号右边叫做完全平方式。
例1:
(1)(2m+3n)2
(2)(2m-3n)2(3)(-2m+3n)2(4)(-2m-3n)2
(5)(2m+3n)(-2m-3n)(6)(2x2y+ay)2(7)982(8)2032
例2:
(1)(x+
)2
(2)(x-
)2(3)(x2+
)2(4)(x2-
)2
逆用:
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
例3:
(1)已知x2+mxy+16y2是完全平方式,则m=.
(2)已知4x2-36xy+ky2是完全平方式,则k=.
例4:
计算:
1.23452+2.469×0.7655+0.76552
推广:
(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
例5:
(1)(a-2b+3c)2
(2)(x+y-z)2
二、完全平方公式变形
a2+b2=(a+b)2-2abx2+
=(x+
)2–2
=(a-b)2+2ab=(x-
)2+2
(a+b)2-(a-b)2=4ab(x+
)2-(x-
)2=4
例6:
(1)已知a+b=-5,ab=-6,求a2+b2和(a-b)2
(2)(a+b)2=7,(a-b)2=4,求ab和a2+b2的值
例7:
(1)已知x+
=3,求x2+
和x4+
(2)已知x2-4x-1=0,求(x+
)2
三、题型解析
题型一:
完全平方公式和平方差公式的综合应用
例8:
(1)(x+2y)(x-2y)(x2-4y2)
(2)(2x-3y)2(2x+3y)2
题型二:
利用完全平方公式简化计算
例9:
(1)(60
)2
(2)9.82(3)2012+1992
题型三:
三项式的完全平方和平方差应用
例10:
(1)(x+2y-z)(x-2y-z)-(x+y-z)2
(2)(2x+3y-1)(2x-3y+1)+(2x-3y+1)2
题型四:
配完全平方式
例11:
若25x2-axy+81y2是一个完全平方式,则a=;
若9x2-72xy+ky2是一个完全平方式,则k=.
例12:
(1)已知x2+y2-6x+4y+13=0,求(2x-y)2-2(2x-y)(x+2y)+(x+2y)2
(2)已知x2+y2-2xy-6x+6y+9=0,求x-y的值
题型五:
公式变形灵活运用
例13:
已知a+b=5,ab=-3,求代数式a3b-2a2b2+ab3
例14:
已知|a+b-3|+(ab+2)2=0,求(2a-b+1)(2a-b-1)-(a+2b)(a-b)
题型六:
左右底数互为倒数的完全平方形式
例15:
已知x2+3x-1=0,求求x2+
和x4+
四、思维扩展
例16:
若x、y、z满足(x-z)2-4(x-y)(y-z)=0,求证x+z=2y。
例17:
已知a-b=3,b-c=-1,求a2+b2+c2-ab-bc-ca的值。
1.7整式的除法
一、单项式除以单项式
法则:
单项式相除,把系数、同底数幂分别相除后,作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式。
例1:
(1)-28a7b3c÷7a4bc
(2)a3b4c2÷(-
ab3)(3)(-2ab2c3)5÷(-3abc)3
(4)(12×108)÷(-48×102)(5)(a-b)3÷(b-a)2+(-a-b)5÷(a+b)4
二、多项式除以单项式
法则:
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加。
例2:
(1)(15a3-10a2+5a)÷5a
(2)(8a3b3-8a4b5+16a6b4)÷(-2ab)3
三、题型解析
题型一:
整式的混合运算
例3:
(1)(2x2y)3÷(-10x2y4)·(5xy2)
(2)[(2x-y)2+(2x+y)(2x-y)+4xy]÷(-2x)2
(3)[2(a-b)4+4(b-a)3-8(b-a)2]÷[2(a-b)2](4)(x4-2x2y2+y4)÷(x+y)2÷(x-y)
题型二:
化简求值
例4:
已知a2+9b2+6a-6b+10=0,求代数式(6am+2bn+2-4am+1bn+1+2ambn)÷(-2ambn)的值。
例5:
已知|a+
|+b2=6b-9,求代数式[(2a+b)2+(2a+b)(b-2a)-6ab]÷(2b)的值。
题型三:
被除式÷除式=商式……余式
被除式=除式×商式+余式
例6:
若一多项式除以2x2-3,得到商式为7x-4,余式为-5x+3,则这个多项式为.
例7:
已知被除式为x3+2x-1,商式为x,余式为-1,则除式为.
四、思维扩展
例8:
(1)已知m2+m-1=0,求代数式m3+2m2-2014的值为.
(2)已知5x2-3x-5=0,求5x2-2x-
=.
例9:
已知除式为x2-2x+1,被除式为x3-3x2-x-1,求商式及余式。
例10:
试确定a和b的值,使x4+ax2-bx+2能被x2+3x+2整除。
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