第3章 线性代数方程组数值解法.ppt

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3.1引言在这一章，我们将建立解线性方程组的一般方法，然后分析与计算机解题有关的误差并研究控制和降低这些误差的方法，最后介绍解线性方程组的迭代法。

本章讨论形如式（3.1.1）的线性方程组的数值解法。

第3章线性代数方程组的数值解法,（3.1.1）,这是一个有n个方程，n个未知数x1,x2,xn的系统，元素aij和bi是实数。

可表示为矩阵形式记x=（x1，x2，xn）Tb=（b1，b2，bn）T,第3章线性代数方程组的数值解法,为n阶方阵方程成为简单形式Ax=b（3.1.2）解线性方程组的方法，在线性代数中有根据Gram法则的方法。

若A为非奇异矩阵，即|A|0，则xi=i/，方程组有唯一解。

其中，为A的行列式，i为中第i列元素被b替代的行列式。

第3章线性代数方程组的数值解法,根据行列式的定义计算一个n阶行列式需要n!

（n1）次乘法，因此，就目前而言，当n稍大一些，在电脑上用Gram法则解线性方程组是不可行的。

回顾中学课本中解一次方程组的方法：

加减消元法。

例3.2.1r32r1：

-3x1=-3x1=1；r2r3：

x2=1行初等变换x1=1，x2=1代入r1：

x3=421=1这里由于人可以方便的判断出r32r1和r2r3可以同时消去2个未知数，很容易的得到了解。

第3章线性代数方程组的数值解法,3.2Gauss消去法计算机不能这样灵活的加减消元，但能按照既定的规则按部就班地进行加减消元。

首先，分别以第1行乘以适当的数加到2n行消去第1列除a11之外的所有元素，然后，第2行分别乘以适当的数加到3n行消去第2列a22以下的所有元素，。

这就是顺序Gauss消去法的消元过程。

本节重点讨论Gauss消去法的基本原理、与矩阵三角分解的关系、计算量和可行性、稳定性。

第3章线性代数方程组的数值解法,3.2.1顺序消去过程和LU三角分解将变换之前的A、b记为A

（1）、b

（1），则方程组（3.1.2）可写为A

（1）x=b

（1），增广矩阵为A，b=A

（1），b

（1）。

第1步消元：

丛r2,r3,rn中消去x1项，条件a11

（1）0，使得A

（2）x=b

（2）A

（1）x=b

（1）其中,第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,具体方法：

-（r1

（1）/a11

（1）a21

（1）加到第2行，-（r1

（1）/a11

（1）a31

（1）加到第3行，-（r1

（1）/a11

（1）ai1

（1）加到第i行，-（r1

（1）/a11

（1）an1

（1）加到第n行。

这就使第1列a11

（1）以下元素皆为0。

记l21=a21

（1）/a11

（1）；li1=ai1

（1）/a11

（1），i=2,3,n则上述过程可描述为：

以矩阵A

（1），b

（1）中的第1行分别乘以-li1加到2n行，即ri

（1）li1r1

（1）ri

（2），i=2,3,n其中第i行aij

（2）=aij

（1）li1a1j

（1），i,j=2,3,nbi

（2）=bi

（1）li1b1

（1），i=2,3,n,第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,第2步消元：

丛r3,r4,rn中消去x2项，条件a22

（2）0，使得A（3）x=b（3）A

（2）x=b

（2）具体方法：

li2=ai2

（2）/a22

（2），ri

（2）li2r2

（2）ri（3），i=3,4,n第k步消元：

丛rk+1,rk+2,rn中消去xk项，条件akk（k）0，使得A（k+1）x=b（k+1）A（k）x=b（k）其中,第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,（3.2.1）,第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,具体方法：

记lik=aik（k）/akk（k），i=k+1,k+2,n（3.2.2）以矩阵A（k），b（k）中的第k行乘以-lik加到i行，即ri（k）likrk（k）ri（k+1），i=k+1,k+2,n其中第i行aij（k+1）=aij（k）likakj（k），i,j=k+1,k+2,n（3.2.3）bi（k+1）=bi（k）likbk（k），i=k+1,k+2,n当完成第k=n1步时，A

（1）变为上三角阵A（n），Gauss消元过程结束，得到与原方程组等价的方程组A（n）x=b（n）（3.2.4）,第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,其中（3.2.5）,第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,由（3.2.4）式按倒序可方便的求出解向量x：

这个过程称为Gauss消去法的回代过程。

写成简洁的形式（3.2.6）,第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,消元过程和回代过程合在一起称为Gauss消去法。

由于消元过程未改变顺序，故称为顺序Gauss消去法。

消元过程的矩阵描述分别以-li1乘以矩阵A

（1），b

（1）中的第1行加到2n行，即ri

（1）li1r1

（1）ri

（2），i=2,3,n其中第i行aij

（2）=aij

（1）li1a1j

（1），i,j=2,3,nbi

（2）=bi

（1）li1b1

（1），i=2,3,n即,第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,或A

（1）和,第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,相当于用一个初等矩阵L1=Il1e1T左乘A

（1）和b

（1），其中l1=（0,l21,l31,ln1）T，li1=ai1

（1）/a11

（1），i=2,3,n，即L1A

（1）=A

（2），L1b

（1）=b

（2）。

第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,其中单位列向量e1=（1,0,0,0,0）T，e2=（0,1,0,0,0）T，en=（0,0,0,0,1）T，,第k步分别以-lik乘以矩阵A（k），b（k）中的第k行加到k+1n行，即ri（k）likrk（k）ri（k+1），i=k+1,k+2,n其中第i行aij（k+1）=aij（k）likakj（k），i,j=k+1,k+2,nbi（k+1）=bi（k）likbk（k），i=k+1,k+2,n相当于用一个初等矩阵Lk=IlkekT左乘A（k）和b（k），其中lk=（0,0,lk+1,k,lk+2,k,ln,k）T，lik=aik（k）/akk（k），i=k+1,k+2,n即LkA（k）=A（k+1），Lkb（k）=b（k+1）。

第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,以上n-1步消元过程用矩阵相乘表示：

A

（1）L1A

（1）=A

（2）L2L1A

（1）=L2A

（2）=A（3）Ln-1Ln-2L2L1A

（1）=Ln-1Ln-2A（n-2）=Ln-1A（n-1）=A（n）和b

（1）L1b

（1）=b

（2）L2L1b

（1）=L2b

（2）=b（3）Ln-1Ln-2L2L1b

（1）=Ln-1Ln-2b（n-2）=Ln-1b（n-1）=b（n）,第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,矩阵A变换部分A

（1）=（Ln-1Ln-2L2L1）-1A（n）=A（n）令，得到A

（1）=LA（n），即A=LA（n），同理，由向量b变换部分得到b=Lb（n），由初等三角矩阵的性质：

第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,对于初等矩阵Li（mi）=ImieiT（2.3.3）,第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,有如下性质（P.3031）

（1）Li-1（mi）=Li（-mi），|Li|=1,（3）任何一个单位下三角阵LRn都可分裂成L=Im1e1Tm2e2Tmn-1en-1T（4）Li左乘A的结果是从A的各行中减去第i行乘1个因子。

由性质

（1）得，由性质

（2）知，L为单位下三角阵：

（）,第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,

（2）L=L1（l1）L2（l2）L3（l3）Ln-1（ln-1）为单位下三角阵,令U=A（n），即（3.2.7）,第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,消元过程最终得到A=LU（3.2.8）上述过程说明，只要主元素，k=1,2,n，Gauss顺序消元过程就可以将A分解为一个单位下三角阵L和一个上三角阵U的乘积，称为A的LU分解，也称为Doolittle分解。

如果分解成上三角阵是单位阵，则称为Crout分解。

利用A的LU分解可以计算A的行列式（determinant）值：

第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,综上所述，Gauss顺序消元过程实际上是对A作了LU分解，n1步消元过程将原方程组Ax=b（3.1.2）变为LUx=b令Ux=y，原方程组分解为2个容易求解的三角形方程组Ly=b（3.1.5）Ux=y（3.1.6）,求解顺序为先（3.1.5）式，后（3.1.6）式。

对于（3.1.5）式，由于L为下三角阵，故按正序求解（3.2.9）,第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,对（3.1.6）式仍用（3.2.6）式。

即按倒序可方便的求出解向量x。

事实上，对比式（3.2.4）A（n）x=b（n），并注意到式（3.2.7）A（n）=U，及y=b（n），式（3.1.6）就是式（3.2.4）。

例3.2.1,3.2.2可行性和计算量顺序Gauss消去法的可行性Gauss消去法的的消元过程和回代过程都要求k=1,2,n，否则过程进行不下去。

但是是否等于0，在消元过程中才知道。

如何事先判断，下面的三个定理给出了答案。

定理3.2.1若矩阵A的各阶顺序主子式均不为0，即Dk=detAk0，则。

第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,矩阵A的各阶顺序主子式：

D1=|a11|,第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,证用归纳法。

k=1时，D1=|a11|0，于是=a110。

设Di0对i=2,3,k-1成立，则只需证明Dk0即可。

由于i=1,2,3,k-1，因此可对A进行k-1次顺序Gauss消元，A变为A（k），A的k阶主子式Ak变为上三角阵Ak（k）。

由于Ak等于单位下三角阵左乘Ak（k），故有detAk=detAk（k）,第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,即变换前后矩阵行列式的值不变（3.2.11）,第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,由上式得到Dk0，定理得证。

直接用定理3.2.1判别是不方便的，因为须计算各阶顺序主子式。

以该定理为基础可得到下面两个有实用价值的判别定理。

根据定理3.2.1和定理2.3.8实对称矩阵A正定的充要条件是A的所有顺序主子式一定是正的得到定理3.2.2。

定理3.2.2A对称正定根据定理3.2.1和严格对角占优阵的性质，可以证明定理3.2.3。

定理3.2.3A严格对角占优顺序Gauss消去法的计算量由第k次消元的消元过程计算式（3.2.3）和回代过程的计算式（3.2.6）统计乘除法和加减法的计算量。

第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,消元过程的计算量：

aij（k+1）=aij（k）likakj（k），i,j=k+1,k+2,n（3.2.3a）bi（k+1）=bi（k）likbk（k），i=k+1,k+2,n（3.2.3b）a式共有（nk）2个计算式，b式共有（nk）个计算式，每式1次乘法1次减法；lik，i=k+1,k+2,n是两式共用的，须计算（nk）个lik。

每计算1个lik，1次除法。

共有（n1）步消元，即k=1（n1）。

所以消元过程共有乘除法（次）：

加减法（次）：

第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,回代过程的计算量：

（3.2.6）,第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,式（3.2.6）有n次除法；乘法、减法：

k=n-1，各1次；k=n-2，各2次；k=1=n-（n-1），各n-1次所以回代过程共有乘除法（次）加减法（次）,所以顺序Gauss消元的计算量为乘除法（次）：

加减法（次）：

对比用Gram法则解线性方程组，按定义计算n阶行列式，需n!

（n-1）次乘法（P.61）,第