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进制转换
在高速发展的现代社会,计算机浩浩荡荡地成为了人们生活中不可缺少的一部分,帮助人们解决通信,联络,互动等各方面的问题。
今天我就给大家讲讲与计算机甚至日常生活有密切相关的“进制转换”问题。
我们以(25.625)(十)为例讲解一下进制之间的转化问题。
1.十----->二折叠
对于整数部分,用被除数反复除以2,除第一次外,每次除以2均取前一次商的整数部分作被除数并依次记下每次的余数。
另外,所得到的商的最后一位余数是所求二进制数的最高位。
对于小数部分,采用连续乘以基数2,并依次取出的整数部分,直至结果的小数部分为0为止。
故该法称“乘基取整法”。
给你一个十进制,比如:
6,如果将它转换成二进制数呢?
10进制数转换成二进制数,这是一个连续除以2的过程:
把要转换的数,除以2,得到商和余数,
将商继续除以2,直到商为0。
最后将所有余数倒序排列,得到数就是转换结果。
听起来有些糊涂?
我们结合例子来说明。
比如要转换6为二进制数。
“把要转换的数,除以2,得到商和余数”。
那么:
要转换的数是6,6÷2,得到商是3,余数是0。
“将商继续除以2,直到商为0……”
现在商是3,还不是0,所以继续除以2。
那就:
3÷2,得到商是1,余数是1。
“将商继续除以2,直到商为0……”
现在商是1,还不是0,所以继续除以2。
那就:
1÷2,得到商是0,余数是1
“将商继续除以2,直到商为0……最后将所有余数倒序排列”
好极!
现在商已经是0。
我们三次计算依次得到余数分别是:
0、1、1,将所有余数倒序排列,那就是:
110了!
6转换成二进制,结果是110。
把上面的一段改成用表格来表示,则为:
被除数计算过程商余数
66/230
33/211
11/201
(在计算机中,÷用/来表示)
2.二---->十折叠
二进制数转换为十进制数
二进制数第0位的权值是2的0次方,第1位的权值是2的1次方……
所以,设有一个二进制数:
01100100,转换为10进制为:
下面是竖式:
01100100换算成十进制
"^"为次方
第0位0*2^0=0
第1位0*2^1=0
第2位1*2^2=4
第3位0*2^3=0
第4位0*2^4=0
第5位1*2^5=32
第6位1*2^6=64
第7位0*2^7=0+
公式:
第N位2^(N)
---------------------------
100
用横式计算为:
0*2^0+0*2^1+1*2^2+0*2^3+0*2^4+1*2^5+1*2^6+0*2^7=100
0乘以多少都是0,所以我们也可以直接跳过值为0的位:
1*2^2+1*2^5+1*2^6=100
3.十---->八折叠
10进制数转换成8进制的方法,和转换为2进制的方法类似,唯一变化:
除数由2变成8。
来看一个例子,如何将十进制数120转换成八进制数。
用表格表示:
被除数计算过程商余数
120120/8150
1515/817
11/801
120转换为8进制,结果为:
170。
4.八---->十折叠
八进制就是逢8进1。
八进制数采用0~7这八数来表达一个数。
八进制数第0位的权值为8的0次方,第1位权值为8的1次方,第2位权值为8的2次方……
所以,设有一个八进制数:
1507,转换为十进制为:
用竖式表示:
1507换算成十进制。
第0位7*8^0=7
第1位0*8^1=0
第2位5*8^2=320
第3位1*8^3=512
--------------------------
839
同样,我们也可以用横式直接计算:
7*8^0+0*8^1+5*8^2+1*8^3=839
结果是,八进制数1507转换成十进制数为839
5.十---->十六折叠
10进制数转换成16进制的方法,和转换为2进制的方法类似,唯一变化:
除数由2变成16。
同样是120,转换成16进制则为:
被除数计算过程商余数
120120/1678
77/1607
120转换为16进制,结果为:
78。
6.十六---->十折叠
16进制就是逢16进1,但我们只有0~9这十个数字,所以我们用A,B,C,D,E,F这六个字母来分别表示10,11,12,13,14,15。
字母不区分大小写。
十六进制数的第0位的权值为16的0次方,第1位的权值为16的1次方,第2位的权值为16的2次方……
所以,在第N(N从0开始)位上,如果是是数X(X大于等于0,并且X小于等于15,即:
F)表示的大小为X*16的N次方。
假设有一个十六进数2AF5,那么如何换算成10进制呢?
用竖式计算:
2AF5换算成10进制:
第0位:
5*16^0=5
第1位:
F*16^1=240
第2位:
A*16^2=2560
第3位:
2*16^3=8192+
-------------------------------------
10997
直接计算就是:
5*16^0+F*16^1+A*16^2+2*16^3=10997
(别忘了,在上面的计算中,A表示10,而F表示15)
现在可以看出,所有进制换算成10进制,关键在于各自的权值不同。
假设有人问你,十进数1234为什么是一千二百三十四?
你尽可以给他这么一个算式:
1234=1*10^3+2*10^2+3*10^1+4*10^0
7.二---->八折叠
(11001.101)
(二)
整数部分:
从后往前每三位一组,缺位处用0填补,然后按十进制方法进行转化,则有:
001=1
011=3
然后我们将结果按从下往上的顺序书写就是:
31,那么这个31就是二进制11001的八进制形式
小数部分:
从前往后每三位一组,缺位处用0填补,然后按十进制方法进行转化,则有:
101=5
然后我们将结果部分按从上往下的顺序书写就是:
5,那么这个5就是二进制0.101的八进制形式
小数部分
所以:
(11001.101)
(二)=(31.5)(八)
8.八---->二折叠
(31.5)(八)
整数部分:
从后往前每一位按十进制转化方式转化为三位二进制数,缺位处用0补充则有:
1---->1---->001
3---->11
然后我们将结果按从下往上的顺序书写就是:
11001,那么这个11001就是八进制31的二进制形式
说明,关于十进制的转化方式我这里就不再说了,上一篇文章我已经讲解了!
小数部分:
从前往后每一位按十进制转化方式转化为三位二进制数,缺位处用0补充则有:
5---->101
然后我们将结果按从下往上的顺序书写就是:
101,那么这个101就是八进制5的二进制形式
所以:
(31.5)(八)=(11001.101)
(二)
9.十六---->二;二---->十六折叠
二进制和十六进制的互相转换比较重要。
不过这二者的转换却不用计算,每个C,C++程序员都能做到看见二进制数,直接就能转换为十六进制数,反之亦然。
我们也一样,只要学完这一小节,就能做到。
首先我们来看一个二进制数:
1111,它是多少呢?
你可能还要这样计算:
1*2^0+1*2^1+1*2^2+1*2^3=1*1+1*2+1*4+1*8=15。
然而,由于1111才4位,所以我们必须直接记住它每一位的权值,并且是从高位往低位记,:
8、4、2、1。
即,最高位的权值为2^3=8,然后依次是2^2=4,2^1=2,2^0=1。
记住8421,对于任意一个4位的二进制数,我们都可以很快算出它对应的10进制值。
下面列出四位二进制数xxxx所有可能的值(中间略过部分)
仅4位的2进制数快速计算方法十进制值十六进值
1111=8+4+2+1=15F
1110=8+4+2+0=14E
1101=8+4+0+1=13D
1100=8+4+0+0=12C
1011=8+0+2+1=11B
1010=8+0+2+0=10A
1001=8+0+0+1=99
....
0001=0+0+0+1=11
0000=0+0+0+0=00
二进制数要转换为十六进制,就是以4位一段,分别转换为十六进制。
如(上行为二制数,下面为对应的十六进制):
11111101,10100101,10011011
FD,A5,9B
反过来,当我们看到FD时,如何迅速将它转换为二进制数呢?
先转换F:
看到F,我们需知道它是15(可能你还不熟悉A~F这五个数),然后15如何用8421凑呢?
应该是8+4+2+1,所以四位全为1:
1111。
接着转换D:
看到D,知道它是13,13如何用8421凑呢?
应该是:
8+4+1,即:
1101。
所以,FD转换为二进制数,为:
11111101
由于十六进制转换成二进制相当直接,所以,我们需要将一个十进制数转换成2进制数时,也可以先转换成16进制,然后再转换成2进制。
比如,十进制数1234转换成二制数,如果要一直除以2,直接得到2进制数,需要计算较多次数。
所以我们可以先除以16,得到16进制数:
被除数计算过程商余数
12341234/16772
7777/16413(D)
44/1604
结果16进制为:
0x4D2
然后我们可直接写出0x4D2的二进制形式:
010011010010。
其中对映关系为:
0100--4
1101--D
0010--2
同样,如果一个二进制数很长,我们需要将它转换成10进制数时,除了前面学过的方法是,我们还可以先将这个二进制转换成16进制,然后再转换为10进制。
下面举例一个int类型的二进制数:
01101101111001011010111100011011
我们按四位一组转换为16进制:
6DE5AF1B
再转换为10进制:
6*16^7+D*16^6+E*16^5+5*16^4+A*16^3+F*16^2+1*16^1+B*16^0=1,843,769,115
负数折叠编辑本段
负数的进制转换稍微有些不同。
先把负数写为其补码形式(在此不议),然后再根据二进制转换其它进制的方法进行。
例:
要求把-9转换为八进制形式。
则有:
-9的补码为1111111111110111。
从后往前三位一划,不足三位的加0
111---->7
110---->6
111---->7
111---->7
111---->7
001---->1
然后我们将结果按从下往上的顺序书写就是:
177767,那么177767就是十进制数-9的八进制形式。
补充:
最近有些朋友提了这样的问题“0.8的十六进制是多少?
”
我想在我的空间里已经有了详细的讲解,为什么他还要问这样的问题那
于是我就动手算了一下,发现0.8、0.6、0.2......一些数字在进制之间的转化
过程中确实存在麻烦。
就比如“0.8的十六进制”吧!
无论你怎么乘以16,它的余数总也乘不尽,总是余0.8
这可怎么办啊,我也没辙了
第二天,我请教了我的老师才知道,原来这么简单啊!
具体方法如下:
0.8*16=12.8
0.8*16=12.8
.
.
.
.
.
取每一个结果的整数部分为12既十六进制的C
如果题中要求精确到小数点后3位那结果就是0.CCC
如果题中要求精确到小数点后4位那结果就是0.CCCC
现在OK了,我想我的朋友再也不会因为进制的问题烦愁了!
下面是将十进制数转换为负R进制的公式:
N=(dmdm-1...d1d0)-R
=dm*(-R)^m+dm-1*(-R)^m-1+...+d1*(-R)^1+d0*(-R)^0
15=1*(-2)^4+0*(-2)^3+0*(-2)^2+1*(-2)^1+1*(-2)^0
=10011(-2)
其实转化成任意进制都是一样的
初学者最容易犯的错误!
!
!
!
!
!
!
犯错:
(-617)D=(-1151)O=(-269)H
原因分析:
如果是正数的话,上面的思路是正确的,但是由于正数和负数在原码、反码、补码转换上的差别,所以按照正数的求解思路去对负数进行求解是不对的。
正确的方法是:
首先将-617用补码表示出来,然后再转换成八进制和十六进制(补码)即可。
注:
二进制补码要用16位。
正确答案:
:
(-617)D=(176627)O=(fd97)H
负数十进制转换成八进制或十六进制方法
如(-12)10=( )8=( )16
第一步:
转换成二进制
1000000000001100
第二步:
补码,取反加一
注意:
取反时符号位不变!
1111111111110100
第三步:
转换成八进制是三位一结合:
(177764)8
转换成十六进制是四位一结合:
(fff4)16
C程序代码:
(支持负进制)折叠编辑本段
#include
#include
main()
{
longn,m,r;
while(scanf("%ld%ld",&n,&r)!
=EOF){
if(abs(r)>1&&!
(n<0&&r>0)){
longresult[100];
long*p=result;
printf("%ld=",n);
if(n!
=0){
while(n!
=0){
m=n/r;*p=n-m*r;
if(*p<0&&r<0){
*p=*p+abs(r);m++;
}
p++;n=m;
}
for(m=p-result-1;m>=0;m--){
if(result[m]>9)
printf("%c",55+result[m]);
else
printf("%d",result[m]);
}
}
elseprintf("0");
printf("(base%d)\n",r);
}}
return0;
}
以下为10进制以下转换。
。
。
用函数,可直接拷贝。
。
。
(VS2008环境下C++控制台代码)
#include"stdafx.h"
#include
intx[100];
intjzzh(inty,intml)
{
inti,j;
i=ml;
x[0]=0;
for(inta=1;;a++)
{
if(i!
=0)
{
x[a]=i%y;
x[0]++;
}
else
break;
i=i/y;
}
returnx[0];
}
intmain(intargc,char*argv[])
{
printf("Hello,world\n");
longinty,ml;
longinta;
printf("请输入需要转换至进制数:
");
scanf("%d",&y);
printf("请输入数字:
");
scanf("%d",&ml);
jzzh(y,ml);
for(a=x[0];a>=1;a--)
printf("%d",x[a]);
printf("\n");
return0;
}
Java代码折叠编辑本段
Java代码实现十进制分别转换为十六,二,八进制。
核心思想就是余数定理。
publicclassChange{
/*转为16进制*/
staticvoidcha_16(intn){
if(n>=16)cha_16(n/16);
if(n%16<10)System.out.print(n%16);
elseSystem.out.print((char)(n%16+55));
}
/*转为2进制*/
staticvoidcha_2(intn){
if(n>=2)cha_2(n/2);
System.out.print(n%2);
}
/*转为8进制*/
staticvoidcha_8(intn){
if(n>=8){
cha_8(n/8);
System.out.print(n%8);}
elseSystem.out.print(n);
}
/*主程序入口*/
publicstaticvoidmain(String[]args){
inta=27,b=9,c=19;/*定义输入的转换数值*/
System.out.print("十进制数"+a+"=>十六进制输出:
");
cha_16(a);
System.out.println();/*换行*/
System.out.print("十进制数"+b+"=>二进制输出:
");
cha_2(b);
System.out.println();
System.out.print("十进制数"+c+"=>八进制输出:
");
cha_8(c);
}
}
- 配套讲稿:
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