数学新学案同步必修5第三章 32 第1课时.docx
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数学新学案同步必修5第三章32第1课时
§3.2 一元二次不等式及其解法
第1课时 简单的一元二次不等式及其解法
学习目标
1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图象法解一元二次不等式.3.能从实际问题中抽象出一元二次不等式并解决.
知识点一 一元二次不等式的概念
思考 我们知道,方程x2=1的一个解是x=1,解集是{1,-1},解集中的每一个元素均可使等式成立.那么什么是不等式x2>1的解?
你能举出一个解吗?
你能写出不等式x2>1的解集吗?
答案 能使不等式x2>1成立的x的值,都是不等式的解,如x=2.不等式x2>1的解集为{x|x<-1或x>1},该集合中每一个元素都是不等式的解,而不等式的每一个解均属于解集.
梳理
(1)只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.
(2)能使不等式成立的未知数x的一个值称为不等式的一个解.
(3)不等式所有解的集合称为解集.
知识点二 “三个二次”的关系
一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系,如下表.
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
ax2+bx+c=0
(a>0)的根
有两相异实根
x1,x2(x1 有两相等实根 x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x x>x2} R ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1 ∅ ∅ 知识点三 一元二次不等式的解法 思考 根据上表,尝试解不等式x2+2>3x. 答案 先化为x2-3x+2>0. ∵方程x2-3x+2=0的根x1=1,x2=2, ∴原不等式的解集为{x|x<1或x>2}. 梳理 解一元二次不等式的步骤: (1)化为基本形式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(其中a>0); (2)计算Δ=b2-4ac,以确定一元二次方程ax2+bx+c=0是否有解; (3)有根求根; (4)根据图象写出不等式的解集. 1.mx2+5x<0是一元二次不等式.(×) 2.解不等式ax2+bx+c>0,即求横坐标x取哪些值时,函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方.(√) 3.解不等式的结果要写成集合形式的原因是集合的元素具有确定性,可以严谨地界定哪些元素是解,哪些不是.(√) 类型一 一元二次不等式的解法 例1 求不等式4x2-4x+1>0的解集. 考点 一元二次不等式的解法 题点 一元二次不等式的解法 解 因为Δ=(-4)2-4×4×1=0, 所以方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2= , 所以原不等式的解集为 . 反思与感悟 当所给不等式是非一般形式的不等式时,应先化为一般形式,在具体求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中,要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图象. 跟踪训练1 求不等式2x2-3x-2≥0的解集. 考点 一元二次不等式的解法 题点 一元二次不等式的解法 解 ∵2x2-3x-2=0的两解为x1=- ,x2=2, 且a=2>0, ∴不等式2x2-3x-2≥0的解集是 . 例2 解不等式-x2+2x-3>0. 考点 一元二次不等式的解法 题点 一元二次不等式的解法 解 不等式可化为x2-2x+3<0. 因为Δ=(-2)2-4×3=-8<0, 方程x2-2x+3=0无实数解, 而y=x2-2x+3的图象开口向上, 所以原不等式的解集是∅. 反思与感悟 将二次项系数小于0的不等式进行转化过程中要注意不等号的变化,化归为二次项系数大于0的不等式,是为了减少记忆负担. 跟踪训练2 求不等式-3x2+6x>2的解集. 考点 一元二次不等式的解法 题点 一元二次不等式的解法 解 不等式可化为3x2-6x+2<0, ∵Δ=(-6)2-4×3×2=12>0, ∴x1=1- ,x2=1+ , ∴不等式-3x2+6x>2的解集是 . 例3 某校园内有一块长为800m,宽为600m的长方形地面,现要对该地面进行绿化,规划四周种花卉(花卉带的宽度相同),中间种草坪,若要求草坪的面积不小于总面积的一半,求花卉带宽度的范围. 考点 一元二次不等式的应用 题点 一元二次不等式在实际问题中的应用 解 设花卉带的宽度为xm(0 则中间草坪的长为(800-2x)m,宽为(600-2x)m. 根据题意可得(800-2x)(600-2x)≥ ×800×600, 整理得x2-700x+600×100≥0, 即(x-600)(x-100)≥0, 所以0 故所求花卉带宽度的范围为(0,100]. 反思与感悟 一元二次不等式应用题常以二次函数为模型,解题时要弄清题意,准确找出其中的不等关系,再利用一元二次不等式求解,确定答案时应注意变量具有的“实际含义”. 跟踪训练3 在一个限速40km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m,乙车的刹车距离略超过10m.又知甲、乙两种车型的刹车距离Sm与车速xkm/h之间分别有如下关系: S甲=0.1x+0.01x2,S乙=0.05x+0.005x2.问超速行驶谁应负主要责任. 考点 一元二次不等式的应用 题点 一元二次不等式在实际问题中的应用 解 由题意列出不等式S甲=0.1x甲+0.01 >12, S乙=0.05x乙+0.005 >10. 分别求解,得x甲<-40或x甲>30, x乙<-50或x乙>40. 由于x>0,从而得x甲>30km/h,x乙>40km/h. 经比较知乙车超过限速,应负主要责任. 类型二 “三个二次”间对应关系的应用 例4 已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为{x|1 考点 “三个二次”间对应关系的应用 题点 由“三个二次”的对应关系求参数值 解 由根与系数的关系,可得 即 ∴不等式bx2+ax+1>0, 即2x2-3x+1>0. 由2x2-3x+1>0, 解得x< 或x>1. ∴bx2+ax+1>0的解集为 . 反思与感悟 给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点,可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数. 跟踪训练4 已知不等式ax2-bx+2<0的解集为{x|1 考点 “三个二次”间对应关系的应用 题点 由“三个二次”的对应关系求参数值 解 方法一 由题设条件知a>0,且1,2是方程ax2-bx+2=0的两实根. 由根与系数的关系,知 解得 方法二 把x=1,2分别代入方程ax2-bx+2=0中, 得 解得 1.不等式2x2-x-1>0的解集是( ) A. B.{x|x>1} C.{x|x<1或x>2}D. 考点 一元二次不等式的解法 题点 一元二次不等式的解法 答案 D 解析 ∵2x2-x-1=(2x+1)(x-1),∴由2x2-x-1>0,得(2x+1)(x-1)>0,解得x>1或x<- ,∴不等式的解集为 . 2.若不等式ax2+8ax+21<0的解集是{x|-7 A.1B.2C.3D.4 考点 “三个二次”间对应关系的应用 题点 由“三个二次”的对应关系求参数值 答案 C 解析 由题意可知-7和-1为方程ax2+8ax+21=0的两个根.∴-7×(-1)= ,故a=3. 3.不等式x2+x-2<0的解集为_______________. 考点 一元二次不等式的解法 题点 一元二次不等式的解法 答案 {x|-2 解析 由x2+x-2<0,得-2 故其解集为{x|-2 4.某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位: 天)的函数关系是f(t)=t+10(0 考点 一元二次不等式的应用 题点 一元二次不等式在实际问题中的应用 答案 {t|10≤t≤15,t∈N} 解析 日销售金额=(t+10)(-t+35), 依题意有(t+10)(-t+35)≥500, 解得解集为{t|10≤t≤15,t∈N}. 1.解一元二次不等式的常见方法 (1)图象法: 由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系,可以得到解一元二次不等式的一般步骤: ①化不等式为标准形式: ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0); ②求方程ax2+bx+c=0(a>0)的根,并画出对应函数y=ax2+bx+c图象的简图; ③由图象得出不等式的解集. (2)代数法: 将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解. 当m 若(x-m)(x-n)<0,则可得{x|m 有口诀如下: 大于取两边,小于取中间. 2.实际问题要注意变量的实际含义对变量范围的影响,如长度应该大于0,人数应该为自然数等. 3.由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标. 一、选择题 1.不等式6x2+x-2≤0的解集为( ) A. B. C. D. 考点 一元二次不等式的解法 题点 一元二次不等式的解法 答案 A 解析 因为6x2+x-2≤0⇔(2x-1)·(3x+2)≤0,所以原不等式的解集为 . 2.一元二次方程ax2+bx+c=0的根为2,-1,则当a<0时,不等式ax2+bx+c≥0的解集为( ) A.{x|x<-1或x>2}B.{x|x≤-1或x≥2} C.{x|-1 考点 “三个二次”间对应关系的应用 题点 由“三个二次”的对应关系求参数值 答案 D 解析 由题意知,- =1, =-2, ∴b=-a,c=-2a, 又∵a<0,∴x2-x-2≤0, ∴-1≤x≤2. 3.若0 >0的解集是( ) A. B. C. D. 考点 一元二次不等式的解法 题点 含参数的一元二次不等式的解法 答案 D 解析 ∵0 >1,∴ >t. ∴(t-x) >0⇔(x-t) <0⇔t . 4.函数y= 的定义域为( ) A.[-7,1]B.(-7,1) C.(-∞,-7]∪[1,+∞)D.(-∞,-7)∪(1,+∞) 考点 一元二次不等式的解法 题点 一元二次不等式的解法 答案 B 解析 由7-6x-x2>0,得x2+6x-7<0,即(x+7)(x-1)<0,所以-7 5.不等式 <2的解集为( ) A.{x|x≠-2}B.R C.∅D.{x|x<-2或x>2} 考点 一元二次不等式的解法 题点 一元二次不等式的解法 答案 A 解析 ∵x2+x+1>0恒成立, ∴原不等式⇔x2-2x-2<2x2+2x+2⇔x2+4x+4>0⇔(x+2)2>0, ∴x≠-2.∴不等式的解集为{x|x≠-2}. 6.设函数f(x)= 则不等式f(x)>f (1)的解集是( ) A.(-3,1)∪(3,+∞)B.(-3,1)∪(2,+∞) C.(-1,1)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(1,3) 考点 一元二次不等式的解法 题点 一元二次不等式的解法 答案 A 解析 f (1)=12-4×1+6=3, 当x≥0时,x2-4x+6>3,解得x>3或0≤x<1; 当x<0时,x+6>3,解得-3 所以f(x)>f (1)的解集是(-3,1)∪(3,+∞). 7.已知一元二次不等式f(x)<0的解集为 ,则f(10x)>0的解集为( ) A.{x|x<-1或x>-lg2} B.{x|-1 C.{x|x>-lg2} D.{x|x<-lg2} 考点 一元二次不等式的解法 题点 一元二次不等式的解法 答案 D 解析 由题知,一元二次不等式f(x)>0的解集为 ,即-1<10x< ,解得x<-lg2. 8.已知f(x)=(x-a)(x-b)+2(a
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