上培优半角模型.docx
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上培优半角模型
Revisedat2pmonDecember25,2020.
上培优半角模型
八上培优5半角模型方法:
截长补短
图形中,往往出现90°套45°的情况,或者120°套60°的情况。
还有
套
的情况。
求证的结论一般是线段的和与差。
解决的方法是:
截长补短构造全等三角形。
旋转移位造全等,翻折分割构全等。
截长法,补短法。
勤学早和新观察均有专题。
勤学早在第49页,新观察在第34页,新观察培优也有涉及,在第27页2两个例题,29页有习题。
这些题大同小异,只是图形略有变化而已。
证明过程一般要证明两次全等。
下面是新观察第34页1~4题
1.如图,四边形ABCD中,∠A=∠C=90゜,∠D=60゜,AB=BC,E、F,分别在AD、CD上,且∠EBF=60゜.求证:
EF=AE+CF.
2.如图2,在上题中,若E、F分别在AD、DC的延长线上,其余条件不变,求证:
AE=EF+CF.
3.如图,∠A=∠B=90°,CA=CB=4,∠ACB=120°,∠ECF=60°,AE=3,BF=2,求五边形ABCDE的面积.
4.如图1.在四边形ABCD中.AB=AD,∠B+∠D=180゜,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠BAD=2∠EAF.
(1)求证:
EF=BE+DF;
(2)在
(1)问中,若将△AEF绕点A逆时针旋转,当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时,如图2所示,试探究EF、BE、DF之间的数量关系.
3.如图3,在四边形ABDC中,∠B+∠C=180°,DB=DC,∠BDC=120°,以D为顶点作一个60°的角,角的两边分别交AB、AC于E、F两点,连接EF,探索线段BE、CF、EF之间的数量关系,并加以证明.
勤学早第40页试题
1.
(1)如图,已知AB=AC,∠BAC=90°,∠MAN=45°,过点C作NC?
⊥AC交AN于点N,过点B作BM?
垂直AB交AM于点M,当∠MAN在∠BAC内部时,求证:
BM+CN?
=MN;
证明:
延长MB到点G,使BG=CN,连接AG,证△ABG≌△ACN(SAS),∴AN=AG,∠BAG=,∠NAC.L∵∠GAM=∠GAB+∠BAM=∠CAN+∠BAM=45°=L∠MAN,
证△AMN≌△AMG(SAS),'∴MN=MG=BM+BG=BM十NC.
证明二:
(此证明方法见新观察培优第27页例3)
(2)如图,在
(1)的条件下,当AM和AN在AB两侧时,
(1)的结论是否成立?
请说明理由.
解:
不成立,结论是:
MN=CN一BM,
证明略.
基本模型二120°套60°
2.如图,△ABC中,CA=CB,∠ACB=120°,E为AB上一点,∠DCE=60°,∠DAE=120°,
求证:
DE=BE
证明:
(补短法)延长EB至点F,使BF=AD,连接CF,则△CBF≌△CAD,
△CED≌△CEF,.DE-AD=EF-BF=BE.
3.如图,△ABC中,CA=CB,∠ACB=120°,点E为AB上一点,∠DCE=∠DAE=60°,
求证:
AD+DE=BE.
证明:
(截长法)在BE上截取BF=AD,连接CF,易证△CBF≌△CAD,
△CED≌ACEF,DE=EF,AD+DE=BF+EF=BE.
比较:
新观察培优版27页
例4如图,△ABC是边长为1的等边三角形,△BDC是顶角,∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB、AC于M、N,连结MN,试求△AMN的周长.
分析:
由于∠MDN=60°,∠BDC=120°,所以∠BDM十∠CDN=60°,注意到DB=DC,考虑运用“旋转法”将∠BDM和∠CDN移到一起,寻找全等三角形。
另一方面,△AMN的周长AM+AN+MN=AB+AC+MN-BM-CN.猜想MN=BM+CN,证三角形全等解决.
新观察培优68页例5如图,点A、B(2,0)在x轴上原点两侧,C在y轴正半轴上,OC平分∠ACB.
(1)求A点坐标;
(2)如图1,AQ在∠CAB内部,P是AQ上一点,满足∠ACB=∠AQB,AP=BQ.试判断△CPQ的形状,并予以证明;
(3)如图2.BD⊥BC交y轴负半轴于D.∠BDO=60°,F为线段AC上一动点,E在CB延长线上,满足∠CFD+∠E=180°.当F在AC上移动时,结论:
①CE+CF值不变;②CE-CF值不变,其中只有一个正确结论,请选出正确结论并求其值.
分析:
(1)由∠A0C≌△BOC得AO=BO=2,A(-2,0).
(2)由△ACP≌△BCQ得CP=CQ.
(3)由BD⊥BC,∠BDO=60°,可证得等边△ABC.由角平分线和DB_⊥BC的条件,运用对称性知DA⊥AC,连结DA,加上条件∠CFD+∠E=180°,可证得△ADF
△BDE,于是CE+CF=2AC=2AB=8.
基本模型三2
°套
°
4.
(1)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=
∠BAD,求证:
EF=BE+DF;
(2)如图2,在
(1)的条件下,若将△AEF绕点A逆时针旋转,当点E,F分别运动到BC,CD延长线上时,
则EF,BE,DF之间的数量关系是EF=BE-DF
解:
(1)EF=BE+DF,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,
证△ABE≌△ADG(SAS),..∴AE=AG,
∠BAE=∠DAG,∵∠EAF=
∠BAD,
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF,∴∠'EAF=∠GAF,
证△AEF≌△GAF(SAS),.∴EF=FG,∵FG=DG+DF=BE+DF,∴EF=BE+DF;
(2)EF=BEDF.
外地试题:
4.探究:
如图①,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,连结EF,求证:
EF=BE+DF.
应用:
如图②,在四边形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,AB=AD,∠B+∠D=90°,∠EAF=
∠BAD,若EF=3,BE=2,则DF=.
5.通过类比联想、引申拓展研究典型题目,可达到解一题知一类的目的.下面是一个案例,请补充完整.
原题:
如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,连接EF,求证:
EF=BE+DF.
(1)思路梳理
∵AB=AD,∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合.
∵∠ADG=∠B=90°,∴∠FDG=∠ADG+∠ADC=180°,则点F、D、G共线.
根据,易证△AFG≌,从而得EF=BE+DF;
(2)类比引申
如图2,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上,∠EAF=45°.若∠B、∠D都不是直角,但当∠B与∠D满足等量关系时,仍有EF=BE+DF,请给出证明;
(3)联想拓展
如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°,猜想BD、DE、EC应满足的等量关系,并写出推理过程.
7.
(1)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分别是边BC、CD上的点,且AE=AF,∠EAF=
∠BAD.现有三种添加辅助线的方式:
①延长EB至G,使BG=BE,连接AG;②延长FD至G,使DG=BE,连接AG;③过点A作AG⊥EF,垂足为G;选择其中一种方法添加辅助线,求证:
EF=BE+FD;
(2)如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,若∠B+∠D=180°,∠EAF=
∠BAD,证明
(1)中结论是否还成立?
(3)如图3,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且∠EAF=
∠BAD,
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明.
8.
(1)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=
∠BAD.求证:
EF=BE+FD.
(2)如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=
∠BAD,
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系,并证明.
(3)如图3,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且∠EAF=
∠BAD,
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系,并证明.
半角模型问题放到平面直角坐标系中是什么样子?
1.如图1,在平面直角坐标系中,△AOB为等腰直角三角形,A(4,4)
(1)求B点坐标;
(2)如图2,若C为x正半轴上一动点,以AC为直角边作等腰直角△ACD,∠ACD=90°,连接OD,求∠AOD的度数;
(3)如图3,过点A作y轴的垂线交y轴于E,F为x轴负半轴上一点,G在EF的延长线上,以EG为直角边作等腰Rt△EGH,过A作x轴垂线交EH于点M,连FM,等式AM=FM+OF是否成立?
若成立,请说明;若不成立,说明理由.
解:
(1)如图所示,作AE⊥OB于E,
∵A(4,4),
∴OE=4,
∵△AOB为等腰直角三角形,且AE⊥OB,
∴OE=EB=4,
∴OB=8,
∴B(8,0);
(2)如图所示,作AE⊥OB于E,DF⊥OB于F,
∵△ACD为等腰直角三角形,
∴AC=DC,∠ACD=90°
即∠ACF+∠DCF=90°,
∵∠FDC+∠DCF=90°,
∴∠ACF=∠FDC,
又∵∠DFC=∠AEC=90°,
∴△DFC≌△CEA(AAS),
∴EC=DF=4,FC=AE,
∵A(4,4),
∴AE=OE=4,
∴FC=OE,即OF+EF=CE+EF,
∴OF=CE,
∴OF=DF,
∴∠DOF=45°,
∵△AOB为等腰直角三角形,
∴∠AOB=45°,
∴∠AOD=∠AOB+∠DOF=90°;
(3)AM=FM+OF成立,理由:
如图所示,在AM上截取AN=OF,连EN.
∵A(4,4),
∴AE=OE=4,
又∵∠EAN=∠EOF=90°,AN=OF,
∴△EAN≌△EOF(SAS),
∴∠OEF=∠AEN,EF=EN,
又∵△EGH为等腰直角三角形,
∴∠GEH=45°,即∠OEF+∠OEM=45°,
∴∠AEN+∠OEM=45°
又∵∠AEO=90°,
∴∠NEM=45°=∠FEM,
又∵EM=EM,
∴△NEM≌△FEM(SAS),
∴MN=MF,
∴AM-MF=AM-MN=AN,
∴AM-MF=OF,即AM=FM+OF;
【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定、等腰三角形的性质和坐标与图形性质的综合应用,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型.
2.如图,直线L交x轴、y轴分别于A、B两点,A(a,0)B(0,b),且(a-b)2+|b-4|=0
(1)求A、B两点坐标;
(2)C为线段AB上一点,C点的横坐标是3,P是y轴正半轴上一点,且满足∠OCP=45°,求P点坐标;
(3)在
(2)的条件下,过B作BD⊥OC,交OC、OA分别于F、D两点,E为OA上一点,且∠CEA=∠BDO,试判断线段OD与AE的数量关系,并说明理由.
(1)解:
∵(a-b)2+|b-4|=0,
∴a-b=0,b-4=0,
∴a=4,b=4,
∴A(4,0),B(0,4);
(2)
3.如图,已知A(a,b),AB⊥y轴于B,且满足|a-2|+(b-2)2=0,
(1)求A点坐标;
(2)如图1,分别以AB,AO为边作等边三角形△ABC和△AOD,试判定线段AC和DC的数量关系和位置关系,并说明理由;
(3)如图2,过A作AE⊥x轴于E,点F、G分别为线段OE、AE上两个动点,满足∠FBG=45°,试探究
的值是否发生变化?
如果不变,求其值;如果变化,请说明理由.
2017-2018江汉期中如图点P为△ABC的外角∠BCD的平分线上一点,PA=PB.
(1)求证:
∠PAC=∠PBC;
(2)作PE⊥BC于E,若AC=5,BC=11,求S△PCE:
S△PBE;
(3)若M、N分别是边AC、BC上的点,且∠MPN=
∠APB,则线段AM、MN、BN之间有何数量关系,并说明理由.
解:
(1)如图1,过点P作PE⊥BC于E,PF⊥AC于F,
∵PC平分∠DCB,
∴PE=PF,
在Rt△PAF和Rt△PEB中,
PF=PE
PA=PB,
∴Rt△PAF≌Rt△PEB,
∴∠PAC=∠PBC,
(2)如图2,过点P作PF⊥AC于F,
∵PE⊥BC,CP是∠BCD的平分线,
∴PE=PF,∠PCF=∠PCE,
∵PC=PC,
∴△PCF≌△PCE,
∴CF=CE,
由
(1)知,Rt△PAF≌Rt△PEB,
∴AF=BE,
∵AF=AC+CF,BE=BC-CE,
∴AC+CF=BC-CE,
∴5+CF=11-CE,
∴CE=CF=3,
∵△PFC≌△PEC,
∴S△PFC=S△PEC,
∵Rt△PAF≌Rt△PEB,
∴S△PAF=S△PEB,
∴S△PCE:
S△PBE=S△PFC:
S△PFA
=
CF×PF:
AC×PF
=CF:
AC=3:
(3+5)=3:
8;
(3)如图3,在BC上截取BQ=AM,
在△PMA和△PQB中,
∴△PMA≌△PQB,
∴PM=PQ,∠MPA=QPB,
∴∠APM+∠QPA=∠APQ+∠QPB,
即:
∠APB=∠MPQ,
∵∠MPN=
∠APB,
∴∠MPN=
∠MPQ,
∴∠MPN=∠QPN,
在△MPN和△QPC中,
∴△MPN≌△QPC,
∴MN=QN,
∴BN=AM+MN.
【点评】此题是三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定和性质,角平分线定理和角平分线的定义,解
(1)的关键是判断出PE=PF,解
(2)的关键是求出CE=CF=3,解(3)的关键是构造全等三角形判断出∠APB=∠MPQ,是一道中等难度的中考常考题.
2015-2016江岸八上期末已知在△ABC中,AB=AC,射线BM、BN在∠ABC内部,分别交线段AC于点G、H.
(1)如图1,若∠ABC=60°、∠MBN=30°,作AE⊥BN于点D,分别交BC、BM于点E、F.
①求证:
CE=AG;
②若BF=2AF,连接CF,求∠CFE的度数;
(2)如图2,点E为BC上一点,AE交BM于点F,连接CF,若∠BFE=∠BAC=2∠CFE,直接写出
=.
【分析】
(1)①由AB=AC,∠ABC=60°得到△ABC为等边三角形,根据等边三角形的性质得到∠BAC=∠ACB=60°,AB=CA,求得∠BFD=∠AFG=60°,推出∠EAC=∠GBA证得△GBA≌△EAC,根据全等三角形的性质即可得到结论;②如图1,取BF的中点K连接AK,由BF=2AF,推出△FAK是等腰三角形,根据等腰三角形的性质得到∠FAK=∠FKA,求得∠AKF=
∠BFD=30°,根据全等三角形的性质得到AG=CE,BG=AE,∠AGB=∠AEC,推出△GAK≌△EFC,根据全等三角形的性质得到∠CFE=∠AKF即可得到结论;
(2)如图2,在BF上取BK=AF,连接AK,推出∠EAC=∠FBA,根据全等三角形的性质得到S△ABK=S△ACF,∠AKB=∠AFC,证得△FAK是等腰三角形,根据等腰三角形的性质得到AF=FK,即可得到结论.
【解答】解:
(1)①∵AB=AC,∠ABC=60°
∴△ABC为等边三角形,
则∠BAC=∠ACB=60°,AB=CA,
∵AD⊥BN,∠MBN=30°,
∴∠BFD=∠AFG=60°,
∵∠ABF+∠BAF=60°,
∠BAF+∠EAC=60°
∴∠EAC=∠GBA
在△GBA与△EAC中,
∠GBA=∠EAC
AB=CA
∠GAB=∠ECA,
∴△GBA≌△EAC,
∴CE=AG;
②如图1,取BF的中点K连接AK,
∵BF=2AF,
∴AF=BK=FK=
BF,
∴△FAK是等腰三角形,
∴∠FAK=∠FKA,
∵∠BFD=∠FAK+∠FKA=2∠AKF,
∵∠BFD=60°,
∴∠AKF=
∠BFD=30°,
∵△GBA≌△EAC,
∴AG=CE,BG=AE,∠AGB=∠AEC,
∴KG=BG-BK=AE-AF=FE,
在△GAK与△EFC中,
AG=CE
∠AGB=∠AEC
KG=FE,
∴△GAK≌△EFC,
∴∠CFE=∠AKF,
∴∠CFE=∠AKF=30°;
方法二:
只要证明△ADB≌△BFC即可解决问题;
(2)
如图2,在BF上取BK=AF,连接AK,
∵∠BFE=∠BAF+∠ABF,
∵∠BFE=∠BAC,
∴∠BAF+∠EAC=∠BAF+ABF,
∴∠EAC=∠FBA,
在△ABK与△ACF中,
AB=AC
∠ABK=∠FAC
BK=AF,
∴△ABK≌△AFC,
∴S△ABK=S△ACF,∠AKB=∠AFC,
∵∠BFE=2∠CFE,
∴∠BFE=2∠AKF,
∵∠BFE=2∠AKF=∠AKF+KAF,
∴∠AKF=∠KAF,
∴△FAK是等腰三角形,
∴AF=FK,
∴BK=AF=FK,
∴S△ABK=S△AFK,
∵S△ABF=S△ABK+S△AFK=2S△ABK=2S△ACF,
∴
=2
故答案为:
2.
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