概率论与数理统计课后答案北邮版第三章.docx
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概率论与数理统计课后答案北邮版第三章
习题三
1.将一硬币抛掷三次,以X表示在三次中出现正面的次数,以Y表示三次中出现正面次数与
出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.
【解】X和Y的联合分布律如表:
X0123
Y
1
0
1
1
1
1
3
2
1
1
1
0
C32228
C3222
3/8
3
1
0
0
1
1
1
1
8
2
2
2
8
2.盒子里装有
3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取
4
只球,以X表示取到黑球的只
数,以Y表示取到红球的只数
.求X和Y的联合分布律.
【解】X和Y的联合分布律如表:
X
0
1
2
3
Y
0
0
0
C32C22
3
C33C12
2
C74
35
C74
35
1
0
C13C12C22
6
C32C12C1212
C33C12
2
C4
35
C4
35
C4
35
7
7
7
2
P(0黑,2红,2白)=
C13C22C12
6
C32C22
3
0
C22C22/C74
1
C74
35
C74
35
35
3.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为
π
π
F(x,y)=
sinxsiny,
0
x
2
0
y2
0,
其他.
求二维随机变量(
X,Y)在长方形域
0
ππ
y
π
内的概率.
x
6
3
4
【解】如图P{0X
ππ
Y
π
4
}公式(3.2)
6
3
ππ
F(
ππ
F(0,
π
F(0,
π
F(
)
)
3
)
)
4
3
4
6
6
1
π
π
π
π
π
π
sin
sin
sinsin
6
sin0sin
sin0sin
4
3
4
3
6
2(31).
4
题3图
说明:
也可先求出密度函数,再求概率。
4.设随机变量(X,Y)的分布密度
Ae(3x4y),x0,y0,
f(x,y)=
0,其他.
求:
(1)常数A;
(2)随机变量(X,Y)的分布函数;
(3)P{0≤X<1,0≤Y<2}.
【解】
(1)由
f(x,y)dxdy
Ae-(3x4y)dxdy
A
1
0
0
12
得A=12
(2)由定义,有
y
x
F(x,y)
f(u,v)dudv
y
y
(3u4v)dudv(1e
3x)(1e4y)
y0,x0,
0
12e
0
0,
其他
0,
(3)P{0X1,0Y2}
P{0X
1,0Y
2}
1
2
(3x4y)dxdy
(1
e3)(1
e8)
0.9499.
0
12e
0
5.设随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)=
k(6
xy),
0
x2,2y4,
0,
其他.
(1)确定常数k;
(2)求P{X<1,Y<3};
(3)求P{X<1.5};
(4)求P{X+Y≤4}.
【解】
(1)由性质有
2
f(x,y)dxdy
2
4
xy)dydx8k1,
0
k(6
2
故
1
R
8
(2)P{X
1,Y
3}
1
3
f(x,y)dydx
1
31
x
3
k(6
y)dydx
0
28
8
(3)
P{X
1.5}
f(x,y)dxdy如图af(x,y)dxdy
x1.5
D1
1.5
41
y)dy
27
dx
(6x
.
0
2
8
32
(4)
P{X
Y
4}
f(x,y)dxdy如图b
f(x,y)dxdy
XY4
24x
dx
02
D2
1(6xy)dy
2.
8
3
题5图
6.设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,0.2)上服从均匀分布,Y的密度函数为
5e5y,
y0,
fY(y)=
其他.
0,
求:
(1)X与Y的联合分布密度;
(2)P{Y≤X}.
题6图
【解】
(1)因X在(0,0.2)上服从均匀分布,所以
X的密度函数为
1,0
x0.2,
fX(x)0.2
0,其他.
而
3
fY(y)
5e5y,
y
0,
0,
其他.
所以
f(x,y
)XY,独立f
X
x(f)
y(
)
Y
1
5e
5y
25e
5y
0
x
且
y
0,
0.2
0.2
0,
其他.
0,
(2)P(Y
X)
f(x,y)dxdy如图
25e5ydxdy
yx
D
0.2
x
0.2
(5e5x
5)dx
0
dx
25e-5ydy
0
0
=e-1
0.3679.
7.设二维随机变量(
X,Y)的联合分布函数为
F(x,y)=
(1
e4x)(1
e2y),
x
0,y
0,
0,
其他.
求(X,Y)的联合分布密度.
【解】f(x,y)
2F(x,y)
8e(4x
2y),
x
0,y
0,
xy
0,
其他.
8.设二维随机变量(
X,Y)的概率密度为
f(x,y)=
4.8y(2
x),
0
x
1,0
y
x,
0,
其他.
求边缘概率密度.
【解】
(
)
(,
)d
fX
x
fxy
y
x
4.8y(2x)dy2.4x2(2x),0x1,
=0
0,
0,
其他.
fY(y)
f(x,
y)dx
1
x)dx
2.4y(34y
y2),0y1,
=
4.8y(2
y
0,
0,
其他.
4
题8图题9图
9.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
ey,0xy,
f(x,y)=
0,其他.
求边缘概率密度.
【解】
(
)
(,)d
fX
x
f
xy
y
=
x
eydy
ex,
x0,
0,
其他.
0,
fY(y)
f(x,y)dx
y
eydx
yex,
y0,
=
0
0,
其他.
0,
题10图
10.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
cx2y,x2
y1,
f(x,y)=
其他.
0,
(1)试确定常数c;
(2)求边缘概率密度.
【解】
(1)
f(x,y)dxdy如图
f(x,y)dxdy
D
1
1
2ydy
4c1.
=dx
x
2cx
-1
21
21
得
.
c
4
(2)
fX(x)
f(x,y)dy
5
2
21x2ydy
21
x2(1
x4),
1x1,
1
x
4
8
0,
0,
其他.
fY(y)
f(x,y)dx
y
21x2ydx
7y25
0y
1,
0,
y
4
2
0,
其他.
11.设随机变量(X,Y)的概率密度为
1,yx,0x1,
f(x,y)=
0,其他.
求条件概率密度fY|X(y|x),fX|Y(x|y).
题11图
【解】
(
)
(,
)d
fX
x
fxy
y
x
1dy
2x,0x1,
x
0,
其他.
1
1
y,
1
y
0,
1dx
y
fY(y)
f(x,y)dx
1
1
y,
0
y
1,
1dx
y
0,
其他.
所以
f(x,y)
1
|y|x1,
fY|X(y|x)
2x
fX(x)
0,
其他.
6
1
yx1,
1
y
f(x,y)
1
yx1,
fX|Y(x|y)
1
fY(y)
y
0,
其他.
12.袋中有五个号码1,2,3,4,5,从中任取三个,记这三个号码中最小的号码为X,最大
的号码为Y.
(1)求X与Y的联合概率分布;
(2)X与Y是否相互独立?
【解】
(1)X与Y的联合分布律如下表
Y
3
4
5
P{Xxi}
X
1
1
1
2
2
3
3
6
10
C53
10
C53
10
C53
10
2
0
1
1
2
2
3
10
C53
10
C53
10
3
0
0
1
1
1
10
C52
10
P{Y
yi
}
1
3
6
10
10
10
(2)
因P{X
1}
P{Y
6
1
6
1
1,Y
3},
3}
10
100
P{X
10
10
故X与Y不独立
13.设二维随机变量(
X,Y)的联合分布律为
X
2
5
8
Y
0.4
0.15
0.30
0.35
0.8
0.05
0.12
0.03
(1)求关于X和关于Y的边缘分布;
(2)X与Y是否相互独立?
【解】
(1)X和Y的边缘分布如下表
Y
X
2
5
8
P{Y=yi}
0.4
0.15
0.30
0.35
0.8
0.8
0.05
0.12
0.03
0.2
P{X
xi}
0.2
0.42
0.38
7
(2)因P{X2}P{Y0.4}
0.2
0.80.16
0.15
P(X
2,Y
0.4),
故X与Y不独立.
14.设X和Y是两个相互独立的随机变量,
X在(0,1)上服从均匀分布,
Y的概率密度为
fY(y)=
1ey/2,
y0,
2
其他.
0,
(1)求X和Y的联合概率密度;
(2)设含有a的二次方程为
a2+2Xa+Y=0,试求a有实根的概率.
y
1,
0
x1,
fY(y)
1e2
y1,
【解】
(1)因fX(x)
其他;
2
0,
0,
其他.
故f(x,y)X,Y独立fX(x)fY(y)
1ey/2
0
x
1,y
0,
2
0,
其他.
题14图
(2)方程a22XaY0有实根的条件是
(2X)2
4Y
0
故
X2≥Y,
从而方程有实根的概率为:
P{X2
Y}
f(x,y)dxdy
x2
y
1
x2
1
e
y/2
dy
dx
2
0
0
1
2
[
(1)
(0)]
0.1445.
15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命(以小时计)
,并设X和Y相互独立,且服
从同一分布,其概率密度为
f(x)=
1000,
x
1000,
x2
0,
其他.
8
求Z=X/Y的概率密度.
【解】如图,Z的分布函数
FZ
(
)
{
}
{X
}
z
PZ
z
P
z
Y
(1)当z≤0时,FZ(z)
0
(2)当0 z FZ(z) 106 2dxdy 103dy yz 106 2dx x 2 y 10 3 x 2 y x z y z =103 103 106 z y2 zy3 dy z 2 题15图 (2)当z≥1时,(这时当y=103时,x=103z)(如图b) FZ(z) 106 dxdy 3dy zy 106 2dx xx 2 y 2 10 10 3 x 2 y y z = 103 106 dy 1 1 103 y 2 3 2z zy 1 1, z 1, 2z 即 fZ(z) z, 0 z 1, 2 0, 其他. 1 z 1, 2z2 故 fZ(z) 1, 0 z1, 2 0, 其他. 16.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N(160,202)分布.随机地选取4只,求其中没有一只寿命小于180h的概率. 9 【解】设这四只寿命为 Xi(i=1,2,3,4),则Xi~N(160,20 2), 从而 P{min(X1,X2,X3,X4)180}Xi之间独立P{X1180}P{X2180} P{X3 180}P{X4180} [1 P{X 180}] [1P X{ 180}P][1X { 18P0}X][1 { 180}] 1 2 3 4 4 [1 P{X1 180}]4 1 180 160 20
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- 关 键 词:
- 概率论 数理统计 课后 答案 北邮版 第三