八年级数学上期末复习教案.docx
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八年级数学上期末复习教案
八年级上期末复习
第一章三角形的初步知识
1、三角形的定义:
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.
2、三角形的分类:
(1)按角分类:
(2)按边分类:
3、三角形的主要线段的定义:
(1)三角形的中线:
三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段.
表示法:
①AD是△ABC的BC上的中线.
②BD=DC=BC.③BC=2BD=2DC
注意:
①三角形的中线是线段;
②三角形三条中线全在三角形的内部;
③三角形三条中线交于三角形内部一点;
④中线把三角形分成两个面积相等的三角形.
(2)三角形的角平分线:
三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段
表示法:
①AD是△ABC的∠BAC的平分线.
②∠1=∠2=∠BAC.③∠BAC=2∠1=2∠2
注意:
①三角形的角平分线是线段;
②三角形三条角平分线全在三角形的内部;
③三角形三条角平分线交于三角形内部一点;
(3)三角形的高:
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段.
表示法:
①AD是△ABC的BC上的高线.
②AD⊥BC于D.③∠ADB=∠ADC=90°.
注意:
①三角形的高是线段;
②锐角三角形三条高全在三角形的内部,直角三角形有两条高是边,钝角三角形有两条高在形外;
③三角形三条高所在直线交于一点.
4、三角形的三边关系:
三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.
注意:
(1)三边关系的依据是:
两点之间线段是短;
(2)围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边.
5、三角形的角与角之间的关系:
(1)三角形三个内角的和等于180︒;
(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;
(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
(4)直角三角形的两个锐角互余.
6、三角形的稳定性:
三角形的三边长确定,则三角形的形状就唯一确定,这叫做三角形的稳定性.
注意:
(1)三角形具有稳定性;
(2)四边形没有稳定性.
7、全等三角形
(1)全等三角形的概念:
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
(2)三角形全等的判定
三角形全等的判定定理:
①边角边定理:
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”)
②角边角定理:
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA”)
③角角边定理:
有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角角边”或“AAS”)
④边边边定理:
有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”)。
⑤直角三角形全等的判定:
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”)
8、全等变换:
只改变图形的位置,不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包括一下三种:
(1)平移变换:
把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
(2)对称变换:
将图形沿某直线翻折180°,这种变换叫做对称变换。
(3)旋转变换:
将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置,这种变换叫做旋转变换。
9、线段的垂直平分线性质:
线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
10、角的平分线的性质:
线上的点到角的两边的距离相等。
典例分析
例1如图,已知∠1=∠2,则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是( )
A、AB=ACB、BD=CDC、∠B=∠CD、∠BDA=∠CDA
例2
(1)在△ABC中,已知∠B=40°,∠C=80°,则∠A=。
(2)在△ABC中,∠A=60°,∠C=50°,则∠B的外角=。
(3)下列长度的三条线段能组成三角形的是()
A.3cm,4cm,8cmB.5cm,6cm,11cmC.5cm,6cm,10cmD.3cm,8cm,12cm
(4)小华要从长度分别为5cm、6cm、11cm、16cm的四根小木棒中选出三根摆成
一个三角形,那么他选的三根木棒的长度分别是_._____._____.
例3如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,
△ADG和△AED的面积分别为50和39,则△EDF的面积为( )
A、11B、5.5C、7D、3.5
例4如图,在下列条件中,不能证明△ABD≌△ACD的是( )
A.BD=DC,AB=ACB.∠ADB=∠ADC,BD=DC
C.∠B=∠C,∠BAD=∠CADD.∠B=∠C,BD=DC
例5如图,点B、F、C、E在同一条直线上,点A、D在直线BE的两侧,
AB∥DE,BF=CE,请添加一个适当的条件:
,使得AC=DF.
例6如图所示,已知,AD为△ABC的高,E为AC上一点,BE交
AD于F,且有BF=AC,FD=CD,求证:
BE⊥AC
例7如图所示,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,下列结论:
①AE=CD;②BF=BG;③BH平分∠AHD;④∠AHC=60°;
⑤△BFG是等边三角形;⑥FG∥AD,其中正确的有()
A.3个B.4个C.5个D.6个
例8如图:
在△ABC中,BE、CF分别是AC、AB两边上的高,在BE上截取
BD=AC,在CF的延长线上截取CG=AB,连结AD、AG
求证:
(1)AD=AG
(2)AD与AG的位置关系如何
例9如图,在Rt△ABC中,∠ACB=45°,∠BAC=90°,AB=AC,
点D是AB的中点,AF⊥CD于H,交BC于F,BE∥AC交AF的
延长线于E,求证:
BC垂直且平分DE.
例10在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E
(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时,求证:
DE=AD+BE
(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时,求证:
DE=AD-BE
(3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?
请直接写出这个等量关系。
例11如图
(1)所示,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形.
请你参考这个作全等三角形方法,解答下列问题:
(1)如图
(2),在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,AC、CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线交于F,试判断FE与FD之间的数量关系.
(2)如图(3),在△ABC中,若∠ACB≠90°,而
(1)中其他条件不变,请问
(1)中所得的结论是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,说明理由.
第二章特殊三角形
知识点概要
1、图形的轴对称性质:
对称轴垂直平分连接两个对称点的线段;成轴对称的两个图形是全等图形
2、等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的性质:
等腰三角形的两个底角相等(简称:
等边对等角)
(2)等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边(三线合一)。
3、等边三角形的性质:
等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°。
4、直角三角形的性质
(1)直角三角形的两个锐角互余
(2)在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。
(3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
(4)勾股定理:
直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即
(5)常用关系式:
由三角形面积公式可得:
ABCD=ACBC
(6)如图,CD是Rt△ABC斜边上的高,则∠ACD=∠B,∠DCB=∠A
5、等腰三角形的判定:
等角对等边.
6、等边三角形的判定:
(1)三个角都相等(都是60°),
(2)有一个角等于60°的等腰三角形.
7、直角三角形的判定
(1)两锐角互余的三角形.
(2)如果三角形一边上的中线等于这边的一半.
(3)两条边的平方和等于第三边的平方.
(4)如图,AD是△ABC的高,且∠DAC=∠B.
(5)证明一个三角形与另一个直角三角形全等.
典例分析
例1在△ABC中,AB=AC,∠1=0.5∠ABC,∠2=0.5∠ACB,BD与CE
相交于点O,如图,∠BOC的大小与∠A的大小有什么关系?
若∠1=∠ABC/3,∠2=∠ACB/3,则∠BOC与∠A大小关系如何?
若∠1=∠ABC/n,∠2=∠ACB/n,则∠BOC与∠A大小关系如何?
例2.如图,在△ABC中,
(1)PB,PC平分∠ABC和∠ACB,交于点P(图1),则∠BPC与∠A的关系式为.
(2)PB,PC平分∠EBC和∠BCF,交于点P(图2),则∠BPC与∠A的关系式为.
(3)PB,PC平分∠ABC和∠ACE,交于点P(图3),则∠BPC与∠A的关系式为.
例3.如图,BE、CD交于A点,∠C与∠E的平分线交于F.若∠F=40°,
∠B=50°,则∠D=.
例4如图,P是等边三角形ABC内的一点,连结PA、PB、PC,以BP
为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连结CQ.
(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论.
(2)若PA:
PB:
PC=3:
4:
5,连结PQ,试判断△PQC的形状,并说明理由.
例5已知:
在△ABC中,AB=AC,BD=BC,AD=DE=BE,
求∠A的度数.
例6如图,已知:
在△ABC中,AB=AC,BE=CD,∠B=70°,
BD=CF.求:
∠EDF的度数.
例7在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,E、F分别为AB、
AC上的点,且∠EDF+∠EAF=180°,求证:
DE=DF.
例8如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,
∠A=30°.求证:
AB=4BD.
例9已知,如图,AF平分∠BAC,BC⊥AF,垂足为点E,点D与点A关于
点E对称,PB分别与线段CF,AF相交于点P,M.
(1)求证:
AB=CD;
(2)若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F与∠MCD的数量关系,并说明理由.
例10如图,点O是正△ABC内一点,∠AOB=1100,∠BOC=α.
以OC为一条作正△OCD,连结AD.
(1)当α=1500时,试判断△AOD的形状,并说明理由;
(2)探究α为多少度时,△AOD是等腰三角形?
例9如图,AC⊥BC,AD⊥BD,AD=BC,CE⊥AB,DF⊥AB,
垂足分别是E,F,那么,CE=DF吗?
例10如图,已知等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D
为等腰Rt△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°,E为AD
延长线上的一点,且CE=CA.
(1)求证:
DE平分∠BDC;
(2)连接BE,设DC=a,求BE的长.
例11已知在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.
(1)如图,E、F分别是AB,AC上的动点,且BE=AF,
求证:
△DEF为等腰直角三角形;
(2)在
(1)的条件下,四边形AEDF的面积是否变化,
证明你的结论;
(3)若E、F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,
其他条件不变,那么△DEF是否仍为等腰直角三角形?
证明你的结论.
第三章一元一次不等式
知识点概要
一、不等式的概念
1、不等式:
用不等号表示不等关系的式子,叫做不等式。
2、不等式的解集:
对于一个含有未知数的不等式,任何一个适合这个不等式的未知数的值,都叫做这个不等式的解。
3、对于一个含有未知数的不等式,它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合,称这个不等式解集。
4、求不等式的解集
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