中考数学压轴题精选及答案.docx
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中考数学压轴题精选及答案
★★41、(2010深圳)如图10,以点M(—1,0)为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D,直线y=一乎x—与。
M相切于点H,交x轴于点巳交y轴于点F.
(1)请直接写出OE、OM的半径r、CH的长;(3分)
(2)如图11,弦HQ交x轴于点P,且DP:
PH=3:
2,求cos/QHC的值;
(3)如图12,点K为线段EC上一动点(不与E、C重合),连接BK交。
M于点T,弦AT交x轴于点N.是否存在一个常数a,始终满足MN-MK=a,如果存在,请求出a的值;如果不存在,请说明理由.
解:
(1)、如图4,OE=5,r2,CH=2
故存在常数a,始终满足MNgMK
★★42、(2010随州)某同学从家里出发,骑自行车上学时,速度v(米/秒)与时间t(秒)的关系如图a,A(10,5),B(130,5),C(135,0).
(1)求该同学骑自行车上学途中的速度v与时间t的函数关系式;
(2)计算该同学从家到学校的路程(提示:
在OA和BC段的运动过程中的平均速度分别等于
它们中点时刻的速度,路程=平均速度X时间);
(3)如图b,直线x=t(0WtW135),与图a的图象相交于P、Q,用字母S表示图中阴影部分面积,试求S与t的函数关系式;
(4)由
(2)(3),直接猜出在t时刻,该同学离开家所超过的路程与此时S的数量关系.
图a
1
v-t(0t10)
解:
(1)v5(10t130)
v135t(130t135)
(2)X10+5X120+2X5=635(米)
-12
S-t2(0t10)
(3)S5t25(10t130)
-12
135)
c(a0)顶点为C(1,1)且过原点。
.过抛物线
S-t2+135t-8475(130t
(4)相等的关系;
★★43、(2010随州)已知抛物线yax2bx
,-,、一…5
上一点P(x,y)向直线y一作垂线,垂足为M,连FM(如图).
4
(1)求字母a,b,c的值;
(2)在直线x=1上有一点F(1,-),求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标,并证明此
4
时^PFM为正三角形;
(3)对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N(1,t),使PM=PN恒成立,若存在请求出t值,若不存在请说明理由.
解:
(1)a=—1,b=2,c=0
11r-
(2)过P作直线x=1的垂线,可求P的纵坐标为-,横坐标为1万血.此时,MP=MF=PF
=1,故^MPF为正三角形.
(3)不存在.因为当tv5,xv1时,PM与PN不可能相等,同理,当t>5,x>1时,PM
44
与PN不可能相等。
★★44、(2010台州)如图,RtAABC中,/C=90°,BC=6,AC=8.点P,Q都是斜边AB上的动
点,点P从B向A运动(不与点
B以Q,P为对称中心的对称点,
B重合),点Q从A向B运动,BP=AQ.点D,E分别是点A,
HQLAB于Q,交AC于点H.当点E到达顶点A时,P,Q
同时停止运动.设BP的长为x,AHDE的面积为y.
(1)求证:
△DHQs^abc;
(2)求y关于x的函数解析式并求y的最大值;
(3)当x为何值时,△HDE为等腰三角形
解:
(1).「A、D关于点Q成中心对称,HQDC=90°,HD=HA,
・.△DHQ^AABC.
此时点D,E分别与点B,A重合,x5;
则4EDH^AHDA,
EDDH4x10
DHAd'_5x4
,当x的值为40405320时,,,,
2111103
(其他解法相应给分)
★★45、(2010天津)在平面直角坐标系中,已知抛物线yx2bxc与x轴交于点A、B(点A
在点B的左侧),与y轴的正半轴交于点C,顶点为E.
(I)若b2,c3,求此时抛物线顶点E的坐标;
(11)将(I)中的抛物线向下平移,若平移后,在四边形ABEC中满足
8ABCE=SAABC,求此时直线BC的解析式;
(出)将(I)中的抛物线作适当的平移,若平移后,在四边形ABEC中满足字bce=2sAaoc,且顶点E恰好落在直线y4x3上,求此时抛物线的解析式.
解:
(I)当b2,c3时,抛物线的解析式为yx22x3,即y(x1)24.
抛物线顶点E的坐标为(1,4).2分
(n)将(I)中的抛物线向下平移,则顶点E在对称轴x1上,有b2,
抛物线的解析式为yx22xc(c0).
此时,抛物线与y轴的交点为C(0,
丁方程x22xc0的两个根为X
此时,抛物线与x轴的交点为A(1
如图,过点E作EF//CB与x轴交于点
SaBCE=SaABC,
-SaBCF=SaABC.
•・BFAB21c.
设对称轴x1与x轴交于点D,_
则DF-ABBF31c.
由EF//CB,得EFDCBO.
c),顶点为E(1,1c).
11c,x211c,
1T~c,0),B(1^T~c,0).
F,连接CF,则SaBCE=SaBCF.
2
解得
直线BC的解析式为y
过点E作EF//CB与x轴交于点F
贝USaBCE=SaBCF.
由SaBCE=2S\AOC,
•••由①②,结合题意,解得W1.
•••抛物线的解析式为yx2x3.
4
★★46、(2010天津)在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在x
轴、
y轴的正半轴上,OA3,OB4,D为边OB的中点.
可知△CDE的周长最小.
•••在矩形OACB中,OA3,OB
BC3,DODO2,DB
•••OE//BC,
•••RtADOEsRkDBC,有OE
BC
•.oeDOBC2Ji.
DB6
点E的坐标为(1,0)
(n)如图,作点D关于X轴的对称点D,在CB边上截取CG2,连接DG与x轴交于点E,
在EA上截取EF2.
・.GC//EF,GCEF,
四边形GEFC为平行四边形,有GECF.
又DC、EF的长为定值,
此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小
•••OE//BC,
•••RtADOE^RtADBG,有OEDO.BGDB
.OEDOBGDO(BCCG)211
DBDB63.
17
••OFOEEF233
.••点E的坐标为(-,0),点F的坐标为(,,0)33
★★47、(2010湘潭)如图,直线yx6与x轴交于点A,与y轴交于点B,以线段AB为直径作OC,抛物线yax2bxc过A、C、O三点.
(1)求点C的坐标和抛物线的解析式;
(2)过点B作直线与x轴交于点D,且OB2=OA-OD,求证:
DB是。
C的切线;
(3)抛物线上是否存在一点P,使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形,如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
解:
(1)A(6,0),B(0,6)
连结OC,由于/AOB=90°,C为AB的中点,则0c1AB,2
所以点O在OC±(没有说明不扣分).
过C点作CEXOA,垂足为巳则E为OA中点,故点C的横坐标为3.
又点C在直线y=—x+6上,故C(3,3)
抛物线过点O,所以c=0,
39a3b
又抛物线过点A、C,所以036a6b,解得:
a
3,b
12
所以抛物线解析式为y1x22x
3
⑵OA=OB=6代入OB2=OAOD,得OD=6所以OD=OB=OA,/DBA=90°.
又点B在圆上,故DB为。
C的切线
(通过证相似三角形得出亦可)
(3)假设存在点P满足题意.因C为AB中点,0在圆上,故/OCA=90°,要使以P、0、C、A为顶点的四边形为直角梯形,
则ZCAP=90°或/COP=90°,
若/CAP=90°,贝(J0C//AP,因0C的方程为y=x,设AP方程为y=x+b.
又AP过点A(6,0),则b=-6,
方程y=x—6与ylx22x联立解得:
3
x16x23
y10,y29,
故点Pi坐标为(—3,—9)
若/COP=90°,则OP//AC,同理可求得点P2(9,—9)
(用抛物线的对称性求出亦可)
故存在点Pi坐标为(—3,—9)和P2(9,—9)满足题意.
★★48、(2010孝感)如图,已知二次函数图像的顶点坐标为(2,0),直线yx1与二次函数
的图像交于A、B两点,其中点A在y轴上.
(1)二次函数的解析式为y☆;
(2)证明点(m,2m1)不在
(1)中所求的二次函数的图像上;
(3)若C为线段AB的中点,过C点作CEx轴于E点,CE与二次函数的图像交于D点.
①y轴上存在点K,使以K、A、D、C为顶点的四边形是平行四边形,则K点的坐标是
q,
②二次函数的图像上是否存在点
请说明理由.
P,使得SVpOE2SVABD若存在,求出P点坐标;若不存在,
12.12
(1)解:
y—xx1(或y—(x2)).
44
12」,
(2)证明:
设点(m,2m1)在一次函数y-xx1的图象上,则有:
4
160.原方程无
2m11m2m1,整理得m24m80,V(4)2484
12■.一,
解.」.点(m,2m1)不在一次函数y-xx1的图象上.
4
(3)解:
①K(0,5)或(0,—3);
②二次函数的图象上存在点P,使得S/2S/.
VPOEVABD
如图,过点B作BFLx轴于F,则BF//CE//AO,又C为AB中点,OE=EF.
(第23题图)
1
AD"x«.--S/ABD2SVACD254416.
12
设P(x,—xx1)由题息有:
4
c11212cc
S/POE24(4xx1)2x2x2
12
S/POE2S/ABD,2x2x232
1.
解得x=—6或乂=10.当x=—6时,y-366116
4,
一-1.
当乂=10时,y—10010116..•・存在点P(6,16)和P(10,16),使彳#S/pcf2S/ARn.
^4/POE/ABD
★★49、(2010盐城)已知:
函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点.
(1)求这个函数关系式;
(2)如图所示,设二次.函数y=ax2+x+1图象的顶点为B,与y轴的交点为A,P为图象上的一点,若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B,求P点的坐标;
(3)在
(2)中,若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M,试探索点M是否在抛物线
y=ax2+x+1上,若在抛物线上,求出M点的坐标;若不在,请说明理由.
解:
(1)当2=。
时,y=x+1,图象与x轴只有一个公共点
1
当a用时,△=1-4=0,a=4,此时,图象与x轴只有一个公共点.
1„
,函数的解析式为:
y=x+1或'y=4x2+x+1
(2)设P为二次函数图象上的一点,过点P作PC,x轴于点C.
-,y=ax2+x+1是二次函数,由
(1)知该函数关系式为:
1
y=4x2+x+1,则顶点为B(-2,0),图象与y轴的交点坐标为A(0,1)
・•・以PB为直径的圆与直线AB相切于点BPBXAB则/PBC=/BAO
RtAPCB^RtABOA「.PCBC,故PC=2BC,OBAO
设P点的坐标为(x,y),•・・/ABO是锐角,/PBA是直角,・・・/PBO是钝角,,x<-2・•・BC=-2-x,PC=-4-2x,即y=-4-2x,P点的坐标为(x,-4-2x)
1c—.1c
•・•点P在一次函数y=4x2+x+1的图象上,,-4-2x=4x2+x+1
解之得:
x1=-2,x2=-10
.x<-2.•.x=-10,「.P点的坐标为:
(-10,16)
(3)点M不在抛物线y=ax2+x+1上,
由
(2)知:
C为圆与x轴的另一交点,连接CM,CM与直线PB的交点为Q,过点M作x轴
的垂线,垂足为D,取CD的中点E,连接QE,则CMXPB,且CQ=MQ
1
•.QE//MD,QE=2MD,QEXCE
•.CMXPB,QEXCEPC^x轴•./QCE=/EQB=/CPB
1
•
.tan/QCE=tan/EQB=tan/CPB=-2
CE=2QE=2X2BE=4BE,又CB=8,故
q点的坐标为(-158,156)
可求得M点的坐标为(14,32)
114。
1414432
•:
”2+叩+1=]一
・•.C点关于直线PB的对称点M不在抛物线y=ax2+x+1上。
★★50、(2010宜宾)将直角边长为6的等腰RtAAOC放在如图所示的平面直角坐标系中,点O
为坐标原点,点C、A分别在x、y轴的正半轴上,一条抛物线经过点A、C及点B(W,0).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若点P是线段BC上一动点,过点P作AB的平行线交AC于点E,连接AP,当△APE的面积最大时,求点P的坐标;
(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G,使4AGC的面积与
(2)中△APE的最大面积相等若
24题图
SaCEP
3(6m)2,
Saapc=:
PCAO=2(6制)6=3(6日)
上m-乎+子.
b),连接AG、GC,
1
Sachg=2(6-a)b
解之,得a产I,a2=2
33..一.273
当m=2时,SaAPE有取大面积为—;此时,点P的坐标为(2,0).
⑶如图,过G作GHLBC于点H,设点G的坐标为G(a,
c1
S梯形AOHG=2a(b+6),
故点G的坐标为(|,27)或(9,14).
1o
Saape=SaapcScep=3(6-m)-(6-m)123
3
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