初一数轴难题集合.docx
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初一数轴难题集合.docx
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初一数轴难题集合
初一数轴难题集合
数轴难题集合1.已知在数轴l上,一动点Q从原点O出发,沿直线l以每秒钟2个单位长度的速度来回移动,其移动方式是先向右移动1个单位长度,再向左移动2个单位长度,又向右移动3个单位长度,再向左移动4个单位长度,又向右移动5个单位长度…
(1)求出5秒钟后动点Q所处的位置;
(2)如果在数轴l上还有一个定点A,且A与原点O相距20个单位长度,问:
动点Q从原点出发,可能与点A重合吗?
若能,则第一次与点A重合需多长时间?
若不能,请说明理由.【解析】解:
(1)∵2×5=10,∴点Q走过的路程是1+2+3+4=10,Q处于:
1﹣2+3﹣4=4﹣6=﹣2;
(2)①当点A在原点左边时,设需要第n次到达点A,则=20,解得n=39,∴动点Q走过的路程是1+|﹣2|+3+|﹣4|+5+…+|﹣38|+39,=1+2+3+…+39,==780,∴时间=780÷2=390秒(6.5分钟);②当点A原点左边时,设需要第n次到达点A,则=20,解得n=40,∴动点Q走过的路程是1+|﹣2|+3+|﹣4|+5+…+39+|﹣40|,=1+2+3+…+40,==820,∴时间=820÷2=410秒(6分钟).【点评】本题考查了数轴的知识,
(2)题注意要分情况讨论求解,弄清楚跳到点A处的次数的计算方法是解题的关键,可以动手操作一下便不难得解.2.点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,A、B两点之间的距离表示为AB,在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|.利用数形结合思想回答下列问题:
(1)数轴上表示2和10两点之间的距离是_________,数轴上表示2和-10的两点之间的距离是______.
(2)数轴上表示x和-2的两点之间的距离表示为____________.(3)若x表示一个有理数,|x-1|+|x+2|有最小值吗?
若有,请求出最小值,若没有,
写出理由.(4)若x表示一个有理数,求|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+……+|x-2014|+|x-2015|的最小值.【解析】试题分析:
(1)
(2)依据在数轴上A、B两点之间的距离AB=a?
b求解即可;(3)|x-1|+|x+2|表示数轴上x和1的两点之间与x和-2的两点之间距离和;(4)依据绝对值的几何意义回答即可.试题解析:
(1)10?
2?
8;2?
(?
10)?
12;故答案为:
8;12;
(2)x?
(?
2)?
x?
2;故答案为:
|x+2|;(3)|x-1|+|x+2|表示数轴上x和1的两点之间与x和-2的两点之间距离和,利用数轴可以发现当-2≤x≤1时有最小值,这个最小值就是1到-2的距离.故|x-1|+|x+2|最小值是3.(4)当x=1008时有最小值,此时,原式=1007+1006+1005+…+2+1+0+1+2+…1006+1007=1015056考点:
(1)绝对值;
(2)数轴.3.阅读理解:
如图,A.B.C为数轴上三点,若点C到A的距离是点C到B的距离的2倍,我们就称点C是【A,B】的好点.例如,如图1,点A表示的数为-1,点B表示的数为2.表示数1的点C到点A的距离是2,到点B的距离是1,那么点C是【A,B】的好点;又如,表示数0的点D到点A的距离是1,到点B的距离是2,那么点D就不是【A,B】的好点,但点D是【B,A】的好点.知识运用:
如图2,M、N为数轴上两点,点M所表示的数为-2,点N所表示的数为4.
(1)数所表示的点是【M,N】的好点;
(2)现有一只电子蚂蚁P从点N出发,以每秒2个单位的速度沿数轴向左运动,运动时间为t.当t为何值时,P、M、N中恰有一个点为其余两点的好点?
【解析】试题分析:
(1)设所求数为x,由好点的定义列出方程x﹣(﹣2)=2(4﹣x),解方程即可;
(2)由好点的定义可知分四种情况:
①P为【M,N】的好点;②P为【N,M】的好点;③M为【N,P】的好点;④M为【P,N】的好点.设点P表示的数为y,由好点的定义列出方程,进而得出t的值.试题解析:
解:
(1)设所求数为x,由题意得x﹣(﹣2)=2(4﹣x),解得x=2,故答案为:
2;
(2)设点P表示的数为4﹣2t,分四种情况讨论:
①当P为【M,N】的好点时.PM=2PN,即6﹣2t=2×2t,t=1;②当P为【N,M】的好点时.PN=2PM,即2t=2(6﹣2t),t=2;③当M为【N,P】的好点时.MN=2PM,即6=2(2t﹣6),t=4.5;④当M为【P,N】的好点时.MP=2MN,即2t﹣6=12,t=9;综上可知,当t=1,2,4.5,9时,P、M、N中恰有一个点为其余两点的好点.考点:
1.一元一次方程的应用;2.数轴;3.几何动点问题;4.分类讨论.4.如图,数轴的单位长度为1.ABCD
(1)如果点B,D表示的数互为相反数,那么图中点A、点D表示的数分别是、;
(2)当点B为原点时,在数轴上是否存在点M,使得点M到点A的距离是点M到点D的距离的2倍,若存在,请求出此时点M所表示的数;若不存在,说明理由;(3)在
(2)的条件下,点A、点C分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度同时向右运动,同时点P从原点出发以3个单位长度/秒的速度向左运动,当点A与点C之间的距离为3个单位长度时,求点P所对应的数是多少?
【解析】试题分析:
(1)由点B,D表示的数互为相反数,所以点B为﹣2,D为2,则点A为﹣4;
(2)存在,分两种情况讨论解答;(3)设当点A与点C之间的距离为3个单位长度时,运动时间为t,A点运动到:
﹣2+2t,C点运动到:
3+0.5t,由AC=3,分类讨论,即可解答.试题解析:
解:
(1)∵点B,D表示的数互为相反数,∴点B为﹣2,D为2,∴点A为﹣4,故答案为:
﹣4,2;
(2)存在,如图:
当点M在A,D之间时,设M表示的数为x,则x﹣(﹣2)=2(4﹣x)解得:
x=2,当点M在A,D右侧时,则x﹣(﹣2)=2(x﹣4),解得:
x=10,所以点M所表示的数为2或10;(3)设当点A与点C之间的距离为3个单位长度时,运动时间为t,A点运动到:
﹣2+2t,C点运动到:
3+0.5t,①﹣2+2t﹣(3+0.5t)=3,解得:
t=6,所以P点对应运动的单位长度为:
3×6=18,所以点P表示的数为﹣18.②3+0.5t﹣(﹣2+2t)=3,解得:
t=44,所以P点对应运动的单位长度为:
3×=4,所以33点P表示的数为﹣4.答:
点P表示的数为﹣18或﹣4.考点:
1.数轴;2.相反数.5.(本题9分)数轴上的点M对应的数是-4,一只甲虫从M点出发沿数轴以每秒2个单位长度的速度爬行,当它到达数轴上的N点后,立即返回到原点,共用11秒.
(1)甲虫爬行的路程是多少?
(2)点N对应的数是多少?
(3)点M和点N之间的距离是多少?
【解析】
试题分析:
(1)利用公式:
路程=速度×时间,直接得出答案;
(2)先设点N表示的数为a,分两种情况:
点M在点N左侧或右侧,求出从M点到N点单位长度的个数,再由M点表示的数是-4,从点N返回到原点即可得出N点表示的数.(3)根据点N表示的数即可得出点M和点N之间的距离.试题解析:
(1)2×11=22(个单位长度).故蚂蚁爬行的路程是22个单位长度.
(2)①当点M在点N左侧时:
a+4+a=22,a=9;②当点M在点N右侧时:
-a-4-a=22,a=-13;(3)点M和点N之间的距离是13或9.考点:
数轴.6.(11分)已知:
如图,O为数轴的原点,A,B分别为数轴上的两点,A点对应的数为-30,B点对应的数为100.-30AO100B
(1)A、B间的距离是;(2分)
(2)若点C也是数轴上的点,C到B的距离是C到原点O的距离的3倍,求C对应的数;(3)若当电子P从B点出发,以6个单位长度/秒的速度向左运动,同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发,以4个单位长度/秒的速度向左运动,设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇,那么D点对应的数是多少?
(3分)(4)若电子蚂蚁P从B点出发,以8个单位长度/秒的速度向右运动,同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出,以4个单位长度/秒向右运动.设数轴上的点N到原点O的距离等于P点到O的距离的一半,有两个结论①ON+AQ的值不变;②ON-AQ的值不变.请判断那个结论正确,并求出结论的值.(3分)【解析】试题分析:
1)根据两点间的距离公式即可求解;
(2)设C对应的数为x,根据C到B的距离是C到原点O的距离的3倍列出方程,解方程即可;(3)设从出发到相遇时经历时间为t秒,根据相遇时两只电子蚂蚁运动的路程之差=A、B间的距离列出方程,解方程即可;(4)设运动时间为t秒,则PO=100+8t,AQ=4t.由数轴上的点N到原点O的距离等于P点到O的距离的一半可知ON=1PO=50+4t,所以ON-AQ=50+4t-4t=50,从而判断结论②正确.2试题解析:
(1)由题意知:
AB=130;
(2)如果C在原点右边,则C点:
100÷(3+1)=25;如果C在原点左边,则C点:
-100÷(3-1)=-50.故C对应的数为-50或25;(3)设从出发到相遇时经历时间为t,则:
6t-4t=130,求得:
t=65,65×4=260,则260+30=290,所以D点对应的数为-290;(4)ON-AQ的值不变.设运动时间为t秒,则PO=100+8t,AQ=4t.由N为PO的中点,得ON=1PO=50+4t,所以ON-AQ=50+4t-4t=50.从而判断结论②正确.2
考点:
1.一元一次方程的应用;2.数轴.7.点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c满足?
b?
3?
?
c?
24?
0,且多项式2xa?
3y2?
ax3y?
xy2?
1是五次四项式.
(1)a的值为________,b的值为_______,c的值为________;
(2)已知点P、点Q是数轴上的两个动点,点P从点A出发,以3个单位/秒的速度向右运动,同时点Q从点C出发,以7个单位/秒的速度向左运动:
①若点P和点Q经过t秒后在数轴上的点D处相遇,求出t的值和点D所表示的数;②若点P运动到点B处,动点Q再出发,则P运动几秒后这两点之间的距离为5个单位?
【解析】试题分析:
(1)由非负数的性质可得b+3=0,c-24=0,由多项式为五次四项式得a?
3?
2?
5,解得a、b和c的值;
(2)①利用点P、Q所走的路程=AC列出方程;②此题需要分类讨论:
相遇前和相遇后两种情况下PQ=5所需要的时间.试题解析:
(1)由题意得,b+3=0,c-24=0,a?
3?
2?
5,-a≠0,解得b=-3,c=24,a=-6,故答案是:
-6;-2;24;
(2)①依题意得3t+7t=|-6-24|=30,解得t=3,则3t=9,所以-6+9=3,所以出t的值是3和点D所表示的数是3;②设点P运动x秒后,P、Q两点间的距离是5.当点P在点Q的左边时,3x+5+7(x-1)=30,解得x=3.2.当点P在点Q的右边时,3x-5+7(x-1)=30,解得x=4.2.综上所述,当点P运动3.2秒或4.2秒后,这两点之间的距离为5个单位.考点:
数轴;非负数的性质;动点问题.8.已知直线l上有一点O,点A、B同时从O出发,在直线l上分别向左、向右作匀速运动,且A、B的速度比为1:
2,设运动时间为ts.
(1)当t=2s时,AB=12cm.此时,①在直线l上画出A、B两点运动2秒时的位置,并回答点A运动的速度是cm/s;点B运动的速度是cm/s.②若点P为直线l上一点,且PA﹣PB=OP,求的值;
(2)在
(1)的条件下,若A、B同时按原速向左运动,再经过几秒,OA=2OB.
【解析】试题分析:
(1)①设A的速度为xcm/s,B的速度为2xcm/s,根据2s相距的距离为12建立方程求出其解即可;②分情况讨论如图2,如图3,建立方程求出OP的值就可以求出结论;
(2)设A、B同时按原速向左运动,再经过几a秒OA=2OB,根据追击问题的数量关系建立方程求出其解即可.解:
(1)①设A的速度为xcm/s,B的速度为2xcm/s,由题意,得2x+4x=12,解得:
x=2,∴B的速度为4cm/s;故答案为:
2,4②如图2,当P在AB之间时,∵PA﹣OA=OP,PA﹣PB=OP,∴PA﹣OA=PA﹣PB,∴OA=PB=4,∴OP=4.∴.如图3,当P在AB的右侧时,∵PA﹣OA=OP,PA﹣PB=OP,∴PA﹣OA=PA﹣PB,∴OA=PB=4,∴OP=12.∴答:
=或1;
(2)设A、B同时按原速向左运动,再经过几a秒OA=2OB,由题意,得2a+4=2(8﹣4a)或2a+4=2(4a﹣8)解得:
a=或答:
再经过或秒时OA=2OB.
考点:
一元一次方程的应用;两点间的距离.9.如图所示,点C在线段AB上,AC=8cm,CB=6cm,点M、N分别是AC、BC的中点.
(1)求线段MN的长.
(2)若C为线段AB上任意一点,满足AC+CB=acm,其他条件不变,你能猜想出MN的长度吗?
并说明理由.(3)若C在线段AB的延长线上,且满足AC﹣CB=bcm,M、N分别为AC、BC的中点,你能猜想出MN的长度吗?
请画出图形,写出你的结论,并说明理由.【解析】试题分析:
(1)根据线段中点的定义得到MC=AC=4cm,NC=BC=3cm,然后利用MN=MC+NC进行计算;
(2)根据线段中点的定义得到MC=AC,NC=BC,然后利用MN=MC+NC得到MN=acm;(3)先画图,再根据线段中点的定义得MC=AC,NC=BC,然后利用MN=MC﹣NC得到MN=bcm.解:
(1)∵点M、N分别是AC、BC的中点,∴MC=AC=×8cm=4cm,NC=BC=×6cm=3cm,∴MN=MC+NC=4cm+3cm=7cm;
(2)MN=acm.理由如下:
∵点M、N分别是AC、BC的中点,∴MC=AC,NC=BC,∴MN=MC+NC=AC+BC=AB=acm;(3)解:
如图,∵点M、N分别是AC、BC的中点,∴MC=AC,NC=BC,∴MN=MC﹣NC=AC﹣BC=(AC﹣BC)=bcm.
考点:
两点间的距离.210.已知数轴上的点A,B对应的数分别是x,y,且|x+100|+(y﹣200)=0,点P为数轴上从原点出发的一个动点,速度为30单位长度/秒.
(1)求点A,B两点之间的距离;
(2)若点A向右运动,速度为10单位长度/秒,点B向左运动,速度为20单位长度/秒,点A,B和P三点同时开始运动,点P先向右运动,遇到点B后立即掉后向左运动,遇到点A再立即掉头向右运动,如此往返,当A,B两点相距30个单位长度时,点P立即停止运动,求此时点P移动的路程为多少个单位长度?
(3)若点A,B,P三个点都向右运动,点A,B的速度分别为10单位长度/秒,20单位长度/秒,点M、N分别是AP、OB的中点,设运动的时间为t(0<t<10),在运动过程中①的值不变;②的值不变,可以证明,只有一个结论是正确的,请你找出正确的结论并求值.【解析】试题分析:
(1)根据非负数的性质求出x,y的值,利用两点间的距离公式即可求出点A,B两点之间的距离;
(2)设点P运动时间为x秒时,A,B两点相距30个单位长度.分A,B两点相遇前相距30个单位长度与A,B两点相遇后相距30个单位长度两种情况分别列出方程,解方程求出x的值,再根据路程=速度×时间即可求解;(3)先求出运动t秒后A、P、B三点所表示的数为﹣100+10t,30t,200+20t,再利用利用中点的定义得出N表示的数为100+10t,M表示的数为20t﹣50,进而求解即可.解:
(1)A、﹣100B、200AB=300
(2)设点P运动时间为x秒时,A,B两点相距30个单位长度.由题意得10x+20x=300﹣30,10x+20x=300+30,解得x=9,或x=11,则此时点P移动的路程为30×9=270,或30×11=330.答:
P走的路程为270或330;(3)运动t秒后A、P、B三点所表示的数为﹣100+10t,30t,200+20t,∵0<t<10,∴PB=200﹣10t,OA=100﹣10t,PA=30t+100﹣10t=20t+100,OB=200+20t,∵N为OB中点,M为AP中点,∴N表示的数为100+10t,M表示的数为20t﹣50,∴MN=150﹣10t,∵OA+PB=300﹣20t,∴=2,故②正确.考点:
一元一次方程的应用;数轴.11.(9分)已知数轴上有A,B,C三点,分别表示数-24,-10,10.两只电子蚂蚁甲、乙分别从A,C两点同时相向而行,甲的速度为4个单位/秒,乙的速度为6个单位/秒.
(1)若甲、乙在数轴上的点D相遇,则点D表示的数;
(2)问多少秒后甲到A,B,C三点的距离之和为40个单位?
若此时甲调头往回走,问甲、乙还能在数轴上相遇吗?
若能,求出相遇点;若不能,请说明理由.(3)若甲、乙两只电子蚂蚁(用P表示甲蚂蚁、Q表示乙蚂蚁)分别从A,C两点同时相向而行,甲的速度变为原来的3倍,乙的速度不变,直接写出它们爬行多少秒后,在原点O、....甲蚂蚁P与乙蚂蚁Q三点中,有一点恰好是另两点所连线段的中点.ABO0C10-24-10解得x=3.4,4×3.4=13.6,-24+13.6=-10.4.故甲、乙在数轴上的-10.4相遇,故答案为:
-10.4;
(2)设y秒后甲到A,B,C三点的距离之和为40个单位,B点距A,C两点的距离为14+20=34<40,A点距B、C两点的距离为14+34=48>40,C点距A、B的距离为34+20=54>40,故甲应位于AB或BC之间.AB之间时:
4y+(14-4y)+(14-4y+20)=40解得y=2;BC之间时:
4y+(4y-14)+(34-4y)=40,解得y=5.甲从A向右运动2秒时返回,设y秒后与乙相遇.此时甲、乙表示在数轴上为同一点,所表示的数相同.甲表示的数为:
-24+4×2-4y;乙表示的数为:
10-6×2-6y,依据题意得:
-24+4×2-4y=10-6×2-6y,解得:
y=7,相遇点表示的数为:
-24+4×2-4y=-44(或:
10-6×2-6y=-44),②甲从A向右运动5秒时返回,设y秒后与乙相遇.甲表示的数为:
-24+4×5-4y;乙表示的数为:
10-6×5-6y,依据题意得:
-24+4×5-4y=10-6×5-6y,解得:
y=-8(不合题意舍去),即甲从A向右运动2秒时返回,能在数轴上与乙相遇,相遇点表示的数为-44.(3)①设x秒后原点O是甲蚂蚁P与乙蚂蚁Q两点的中点,则24-12x=10-6x,解得x=7;311;629;15设x秒后乙蚂蚁Q是甲蚂蚁P与原点O两点的中点,则24-12x=2(6x-10),解得x=设x秒后甲蚂蚁P是乙蚂蚁Q与原点O两点的中点,则2(24-12x)=6x-10,解得x=综上所述,71129秒或秒或秒后,原点O、甲蚂蚁P与乙蚂蚁Q三点中,有一点恰好是另3615两点所连线段的中点.【解析】试题分析:
(1)可设x秒后甲与乙相遇,根据甲与乙的路程差为34,可列出方程求解即可;
(2)设y秒后甲到A,B,C三点的距离之和为40个单位,分甲应位于AB或BC之间两种情况讨论,即可求解.(3)分①原点O是甲蚂蚁P与乙蚂蚁Q两点的中点;②乙蚂蚁Q是甲蚂蚁P与原点O两点的中点;③甲蚂蚁P是乙蚂蚁Q与原点O两点的中点,三种情况讨论即可求解.考点:
一元一次方程的应用;数轴.
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- 初一 数轴 难题 集合