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导数复习知识点总结
高考数学复习详细资料——导数概念与运算知识清单
1.导数的概念
函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量,那么函数y相应地有增量=f(x+)-f(x),比值叫做函数y=f(x)在x到x+之间的平均变化率,即=。
如果当时,有极限,我们就说函数y=f(x)在点x处可导,并把这个极限叫做f(x)在点x处的导数,记作f’(x)或y’|。
即f(x)==。
说明:
(1)函数f(x)在点x处可导,是指时,有极限。
如果不存在极限,就说函数在点x处不可导,或说无导数。
(2)是自变量x在x处的改变量,时,而是函数值的改变量,可以是零。
由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x处的导数的步骤(可由学生来归纳):
(1)求函数的增量=f(x+)-f(x);
(2)求平均变化率=;
(3)取极限,得导数f’(x)=。
2.导数的几何意义
函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率。
也就是说,曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率是f’(x)。
相应地,切线方程为y-y=f/(x)(x-x)。
3.几种常见函数的导数:
①②③;④;
⑤⑥;⑦;⑧.
4.两个函数的和、差、积的求导法则
法则1:
两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),
即:
(
法则2:
两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个
函数乘以第二个函数的导数,即:
若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数:
法则3:
两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方:
‘=(v0)。
形如y=f的函数称为复合函数。
复合函数求导步骤:
分解——求导——回代。
法则:
y'|=y'|·u'|
2010高考数学复习详细资料——导数应用
知识清单
单调区间:
一般地,设函数在某个区间可导,
如果,则为增函数;
如果,则为减函数;
如果在某区间内恒有,则为常数;
2.极点与极值:
曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正;
3.最值:
一般地,在区间[a,b]上连续的函数f在[a,b]上必有最大值与最小值。
①求函数ƒ在(a,b)内的极值;
②求函数ƒ在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b);
③将函数ƒ的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。
4.定积分
(1)概念:
设函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x0 ,即=(ξi)△x。 这里,a与b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式。 基本的积分公式: =C; =+C(m∈Q,m≠-1); dx=ln+C; =+C; =+C; =sinx+C; =-cosx+C(表中C均为常数)。 (2)定积分的性质 ①(k为常数); ②; ③(其中a<c<b。 (3)定积分求曲边梯形面积 由三条直线x=a,x=b(a 如果图形由曲线y1=f1(x),y2=f2(x)(不妨设f1(x)≥f2(x)≥0),及直线x=a,x=b(a 课前预习 1.求下列函数导数 (1) (2)(3) (4)y=(5)y= 2.若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为() A.B.C.D. 3.过点(-1,0)作抛物线的切线,则其中一条切线为() (A)(B)(C)(D) 4.半径为r的圆的面积S(r)=r2,周长C(r)=2r,若将r看作(0,+∞)上的变量,则(r2)`=2r,式可以用语言叙述为: 圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。 对于半径为R的球,若将R看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于 的式子: ; 式可以用语言叙述为: 。 5.曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是。 6.对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)≥0,则必有() A.f(0)+f (2)<2f (1)B.f(0)+f (2)≤2f (1) C.f(0)+f (2)≥2f (1)D.f(0)+f (2)>2f (1) 7.函数的定义域为开区间,导函数在内的图象如图所示,则函数在开区间内有极小值点( ) A.1个B.2个C.3个D.4个 8.已知函数。 (Ⅰ)设,讨论的单调性;(Ⅱ)若对任意恒有,求的取值范围。 9.在区间上的最大值是() (A)-2(B)0(C)2(D)4 10.设函数f(x)= (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)讨论f(x)的极值。 11.设函数分别在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为、,该平面上动点满足,点是点关于直线的对称点.求 ()求点的坐标; ()求动点的轨迹方程. 12.请您设计一个帐篷。 它下部的形状是高为1m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示)。 试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时,帐篷的体积最大? 13.计算下列定积分的值 (1) (2); (3); (4); 14. (1)一物体按规律x=bt3作直线运动,式中x为时间t内通过的距离,媒质的阻力正比于速度的平方.试求物体由x=0运动到x=a时,阻力所作的功。 (2)抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切.此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S.求使S达到最大值的a、b值,并求Smax. 典型例题 一导数的概念与运算 EG: 如果质点A按规律s=2t3运动,则在t=3s时的瞬时速度为() A.6m/sB.18m/sC.54m/sD.81m/s 变式: 定义在D上的函数,如果满足: ,常数, 都有≤M成立,则称是D上的有界函数,其中M称为函数的上界. 【文】 (1)若已知质点的运动方程为,要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数,求实数a的取值范围. 【理】 (2)若已知质点的运动方程为,要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数,求实数a的取值范围. EG: 已知的值是() A.B.2C.D.-2 变式1: () A.-1B.-2C.-3D.1 变式2: () A.B.C.D. 根据所给的函数图像比较 变式: 函数的图像如图所示,下列数值排序正确的是() A.y B. C. D.O1234x EG: 求所给函数的导数: 。 变式: 设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,>0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)<0的解集是 A.(-3,0)∪(3,+∞)B.(-3,0)∪(0,3) C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(0,3) EG: 已知函数. (1)求这个函数的导数; (2)求这个函数在点处的切线的方程. 变式1: 已知函数. (1)求这个函数在点处的切线的方程; (2)过原点作曲线y=ex的切线,求切线的方程. 变式2: 函数y=ax2+1的图象与直线y=x相切,则a=() A.B.C.D.1 EG: 判断下列函数的单调性,并求出单调区间: 变式1: 函数的一个单调递增区间是 A.B.C.D. 变式2: 已知函数 (1)若函数的单调递减区间是(-3,1),则的是. (2)若函数在上是单调增函数,则的取值范围是. 变式3: 设,点P(,0)是函数的图象的一个公共点,两函数的图象在点P处有相同的切线. (Ⅰ)用表示a,b,c; (Ⅱ)若函数在(-1,3)上单调递减,求的取值范围. EG: 求函数的极值. 求函数在上的最大值与最小值.. 变式1: 函数的定义域为开区间,导函数在内的图象如图所示,则函数在开区间内有极小值点( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 变式2: 已知函数在点处取得极大值,其导函数的图象经过点,,如图所示.求: (Ⅰ)的值;(Ⅱ)的值. 变式3: 若函数,当时,函数极值, (1)求函数的解析式; (2)若函数有3个解,求实数的取值范围. 变式4: 已知函数,对x∈〔-1,2〕,不等式f(x) EG: 利用函数的单调性,证明: 变式1: 证明: , 变式2: (理科)设函数f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2.若关于x的方程f(x)=x2+x+a在[0,2]上恰好有两个相异的实根,求实数a的取值范围. EG: 函数若恒成立,求实数的取值范围 变式1: 设函数若恒成立,求实数的取值范围. 变式2: 如图,曲线段OMB是函数的图象,轴于点A,曲线段OMB上一点M处的切线PQ交x轴于点P,交线段AB于点Q, (1)若t已知,求切线PQ的方程 (2)求的面积的最大值 变式3: 用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻折900角,再焊接而成,问该容器的高为多少时,容器的容积最大? 最大的容积是多少? 变式4: 某厂生产某种产品件的总成本(万元),已知产品单价的平方与产品件数成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,产量定为多少时总利润最大? EG: 计算下列定积分: (理科定积分、微积分) 变式1: 计算: ; (1); (2) 变式2: 求将抛物线和直线围成的图形绕轴旋转一周得到的几何体的体积. 变式3: 在曲线上某一点A处作一切线使之与曲线以及轴所围的面积为,试求: (1)切点A的坐标; (2)在切点A的切线方程. 实战训练 1.设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如右图所示,则导函数y=f'(x)的图象可能为( ) 2.已知曲线S: y=3x-x3及点,则过点P可向S引切线的条数为() (A)0(B)1(C)2(D)3 3.C设S上的切点求导数得斜率,过点P可求得: . 4.函数在下面哪个区间内是增函数(). 5.y=2x3-3x2+a的极大值为6,那么a等于() (A)6(B)0(C)5(D)1 6.函数f(x)=x3-3x+1在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是() (A)1,-1 (B)3,-17(C)1,-17(D)9,-19 7.设l1为曲线y1=sinx在点(0,0)处的切线,l2为曲线y2=cosx在点(,0)处的切线,则l1与l2的夹角为___________. 8.设函数f(x)=x3+ax2+bx-1,若当x=1时,有极值为1,则函数g(x)=x3+ax2+bx的单调递减区间为. 9.(07湖北)已知函数的图象在点处的切线方程是,则 10.(07湖南)函数在区间上的最小值是 11.(07浙江)曲线在点处的切线方程是9..已知函数 (Ⅰ)若函数图像上任意一点处的切线的斜率小于1,求证: ; (Ⅱ)若,函数图像上任意一点处的切线的斜率为,试讨论的充要条件。 12.(07安徽)设函数f(x)=-cos2x-4
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