181《勾股定理》教学设计.docx

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181《勾股定理》教学设计

勾股定理

◆课标要求：

探索勾股定理，并能运用勾股定理解决一些简单的实际问题。

◆内容分析：

本课内容主要有探索勾股定理，并简单应用。

前面教材已经安排了三角形三边关系、完全平方式、直角三角形的有关性质，二次根式的有关运算。

后续教材安排了勾股定理的逆定理及其应用，四边形的有关知识，因此本节课起到了承上启下的作用，特别是勾股定理的探究历程和方法是学习探究新知的基本方法。

◆学情分析：

从学生的知识储备看：

学生已经学习了三角形三边关系，并且通过直角三角形、等腰三角形有关知识的积累，已经具有了研究特殊三角形的基本方法与初步经验。

从学生的思维发展看，八年级学生模仿能力强，思维多依赖具体直观的形象，对几何说理内容有一定的难度。

为此，在教材处理时添加了引例，调整了探究思路，补充例题，让教学过程具有渐进性和知识结构具有完整性，使得教与学达到和谐的统一。

◆教学目标：

1．了解勾股定理的有关历史及证明；理解勾股定理的内容；运用勾股定理解决问题。

2．经历勾股定理的探究过程，提高观察、分析和推理能力，以及从特殊到一般的归纳概括能力。

3．体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程；体会数形结合思想，养成用联系的观点，辩证地看待人和事物的思维习惯。

◆教学重点：

体验勾股定理的探究历程，理解并运用勾股定理。

◆教学难点：

勾股定理的面积证法。

◆教学方法：

1．教法：

启发讲授、引导发现、探究讨论等教学方法。

2．学法：

认真听讲、自主探究、合作交流等学习方法。

3．手段：

借助多媒体辅助教学，增强课堂教学的生动性与直观性，体会数学的本质。

◆教学过程：

一、创设情境，引入新课

问题情境：

如图1，一棵大树被风吹断，折断处离地面高8米，树的顶端离树根6米，求折断前树的高度。

【设计意图】通过问题情景引入课题，让学生在课堂的一开始就感受到数学就在我们身边，让学生学会用数学的眼光去关注生活。

既

激发了学生浓厚的学习兴趣，又为新知做好铺垫。

图1

二、复习回顾，探索新知

问题1对于三角形的三边，我们已经学习了哪些关系？

两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，等腰三角形两腰相等，等边三角形三边相

等。

问题2对于直角三角形的三边，有什么样的关系呢？

有c>a，b，还有a-b

a+b。

问题3观察第二个不等式，发现它们三边之间仍是不等关系，而且它们都是1次式。

如果次数升高，变成2次式，它们的关系又会怎样？

（a-b）2

a2+b2-2ab

问题4观察这个不等式，会发现c2介于a2+b2-2ab和a2+b2+2ab之间。

猜想c2与哪个式子有关？

c2与a2+b2之间有没有确定的关系？

如何探究它们的关系？

观察式子a2、

b2、c2，会联想到什么知识？

猜想c2与a2+b2之间有确定的关系，由a2、b2、c2可以联想到边长为a、b、c的正方形的面积。

为了方便，我们借助网格来探究这三者之间的关系，如图2，网格中有一个

图2图3图4

特殊的等腰直角△ABC，两条直角边长为1，直角边上的两个正方形的面积和为2，而斜边

上的正方形面积恰好是2，可求得斜边长为，由此可以发现：

12+12=

（2）2。

问题5如果再换一个三角形，如图3，直角边长是3，4的直角三角形，会有同样的结论吗？

借助网格可以验证：

32+42=52。

（预设：

学生在计算斜边上正方形面积时会比较困难，此时要放手让学生自主探索，然后合作交流，最后，总结出不同的解决办法：

如图4的补法

和如图5的割法。

）

问题6利用信息技术隐去网格，如图6，这时直角三角形的边长变为a、b、c的一般直角三角形，刚才的结论是否还成立？

如何验证？

图5图6

猜想结论成立，但验证却是个难点。

解决这个难点的关键是求出斜边上正方形的面积。

刚才的自主探索、讨论与交流是否有启发？

（用割法和补法。

）此处，留出足够的时间和空间，引导学生尝试用四个同样大小的直角三角形纸片去拼图、去验证。

通过拼图、不同方法计算正方形的面积，总结归纳得出勾股定理的结论。

鼓励学生用语言表述定理（文字、符号、图形三种语言相互映衬）。

【设计意图】引导学生经历观察、思考、猜想、讨论、交流和证明，体会定理的探究过程，达到对定理有一个完整的理解。

介绍勾股定理的有关历史：

图7图8

如图7，在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为

“股”。

我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”。

商高是公元前十一世纪的中国人。

在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。

商高说：

“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。

”商高那段话的意思就是说：

当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。

以后人们就简单地把这个事实说成“勾3股4弦5”，把这个定理称为“勾股定理”。

在国外，相传这个定理是公元前500多年时古希腊数学家毕达哥拉斯（如图8）首先发现的。

因此又称此定理为“毕达哥拉斯定理”。

法国和比利时称它为“驴桥定理”，埃及称它为“埃及三角形”等。

但他们发现的时间都比我国要迟得多。

勾股定理是数学史上非常经典的一个定理。

从三千多年前商高的“勾3股4弦5”，到

毕达哥拉斯的伟大发现，从赵爽“弦图”的证明，到作为2002年国际数学家大会的徽标，甚至今天人们还希望以它为媒与外星人对话，勾股定理激起人们无限的兴趣。

【设计意图】通过历史介绍，渗透数学文化，增强民族自豪感，激发运用新知的欲望和信心。

三、例题讲解，示范应用

例在Rt△ABC中，∠C=90°。

（1）a=7，b=40，求c的长；

（2）c=20，b=15，求a的长。

【设计意图】学以致用，并巩固定理，教师示范板书，加强规范书写。

四、反馈练习，巩固新知

1．教材P55，N1、2。

2．解决引入例的问题。

【设计意图】通过课堂练习加深学生对定理的理解，进一步熟悉定理运用的方法和步骤，达到巩固，消化新知的目的。

同时强化解题步骤，形成并提高解题能力。

五、课堂小结，形成结构回顾本节课的探究历程：

一般三角形的三边关系→直角三角形的三边关系→三边的一次不等关系式→二次相等关系→勾股定理→解决实际问题。

总结本节课学习涉及的思想方法：

分类讨论、割补法、特殊与一般等。

谈谈本节课的体会。

【设计意图】通过小结突出本节课的重点，让学生对所学知识的结构有一个清晰的认识，形成良好的认知结构；学会一些解决问题的思想与方法，体会数学的应用价值。

六、作业布置，提升能力

1．必做题：

教材P57，习题N1、2。

2．选做题：

思考如下问题。

（1）勾股定理的证明使用图形面积法，还有其它的证明方法吗？

请上网查询。

（2）勾股定理是在直角三角形中三边之间存在的等量关系，如果将直角变成钝角或锐角，它们关系又会怎样？

（这一问题让学生自主探究，为后续学习余弦定理做铺垫，也为学生研究三角形提供一种思路。

）

（3）由勾股定理可知当a、b、c为整数时，如取3、4、5；5、12、13等勾股数时，都有a2+b2=c2，这是在二次方下存在的关系。

很显然33+43=91≠53，那么是否存在正整数，使得a3+b3=c3也成立呢？

请感兴趣的同学课后查阅“费马大定理”的相关资料。

【设计意图】面向全体学生，注重个人差异，对学生进行分层作业，达到不同的人在

数学上得到不同的发展的目的。

◆教学反思：

本教学设计做到：

情景设置关注生活；讨论探究融入活动；问题设置分层递进；课堂总结注重结构；作业布置弹性分层。

预期达到较好的教学效果。

◆专家点评：

本课教学改变教材的呈现方式，将教学内容进行问题化设计，从回顾一般三角形的三边关系开始，到特殊三角形三边关系的深入思考；由三边之间一次关系入手，到三边之间二次关系的探究，始终在学生思维的“最近发展区”设计环环相扣的问题，让学生“跳一跳，够得着”。

围绕这些问题，教师在课堂上留有足够的时间和空间让学生独立思考、合作交流。

在学习困难时，教师给予适时的启发和引导。

在学习结束时，教师及时引领学生总结和反思，帮助学生掌握学习和研究的方法，为将来成为创造型人才奠定坚实的基础。

圆的基本性质

◆课标要求：

理解圆、弧、弦的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并了解点与圆的位置关系。

◆内容分析：

“圆的基本性质”安排在“旋转”之后，是学习了“旋转对称图形”和“中心对称图形”等知识后的内容。

在小学阶段，学生就已经初步认识了圆，学习了“圆的画法”、

“圆的半径和直径”、“圆的轴对称性质”等。

第一课时的主要知识点有“圆的概念”、“点与圆的位置关系”以及“和圆有关的概念”。

对于“圆的概念”，教材先从画圆的方法入手，给圆下定义。

然后从“集合”角度按

“纯粹性”和“完备性”两个方面进行表述，这既是“线段垂直平分线定理和逆定理”等类似内容学习的继续，也为后续学习轨迹等知识做准备。

“点和圆的位置关系”既渗透分类思想，又为后续研究“直线和圆的位置关系”、“圆和圆的位置关系”提供了思路。

“圆的有关概念”是和圆有密切联系的相关要素，它们之间既有联系又有区别，是研究和应用圆的性质的重要元素。

因此，本节课教学内容多，内涵丰富，思维挑战性高。

◆学情分析：

九年级学生是初中阶段的高年级学生，课堂中的学习行为趋于理性，思维的成熟度、内心深处探求真理的欲望比较高。

因此要创设轻松和谐的课堂氛围，激活学生的探究欲望，留给学生充分自主活动的时间和空间，在观察、思考中不断地发现问题、解决问题，并在此过程中领悟数学思想方法。

◆教学目标：

1．理解圆的概念及点和圆的三种位置关系，并会利用点到圆心的距离和半径之间的数量关系判定点和圆的位置关系。

2．经历观察、思考、概括、推理等数学活动，感受相关概念的形成过程，发展推理能力和表达能力。

3．通过圆的概念及点与圆的位置关系的探究，感受数学知识的内在联系，进一步体会分类讨论和数形结合的思想方法，培养学生分析问题和解决问题的能力。

◆教学重点：

圆的概念，点和圆的位置关系。

◆教学难点：

圆的概念的理解，点和圆的位置关系的探究。

◆教学方法：

启发引导、问题探究、合作交流等。

◆教学过程：

一、创设情境，引入课题

你们玩过“套圈”游戏吗？

请看图片，套圈游戏就是把一个圆套到立柱上。

如果几位同学按如图1所示的位置站列进行比赛，你认为这个游戏公平吗？

为什么？

（不公平，因为他们离立柱的距离不相等，有的远，有的近。

）

图1

如果让30位同学同．时．进行比赛，如何站位才公平？

（站成一个圆圈。

）

是的，站成一个圆！

今天我们就学习（板书课题）：

圆及其基本性质。

就刚才的问题，请想一想，30位同学站成一个圆，这个圆怎么画呢？

（以立柱为中心，用一根绳子一头套在立柱上，拉直绳子，另一头旋转一周，就得到一个圆。

）

根据刚才画圆的方法，能给圆下个定义吗？

拉直的绳子可以看成是一条线段（画出线段OP），固定一端（假设固定O点），另一端点P绕O点旋转一周得到的封闭曲线叫做圆。

由此得到圆的定义（板书定义）：

平面内，线段OP绕着它固定的端点O旋转一周，另一端点P所形成的封闭曲线叫做圆。

固定的端点O叫做圆心，线段OP的长叫做半径，通常用r表示，以O为圆心的圆记作：

⊙O，读作：

圆O。

圆心和半径是圆的二要素：

圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。

注意：

圆指的是圆周，而不是圆面。

【设计意图】在学生已有知识的基础上，以游戏为载体学习圆的概念，充分调动学生的知识储备和学习积极性；以层层递进的问题解决为目标，引领学生不断深入探究。

在概念的学习过程中，通过问题的发现、提出和解决，不断调动学生思考，培养学生的问题意识、抽象概括能力和逻辑思维能力。

二、合作探究，再探新知

刚才的游戏，为什么30位同学都站在圆上就公平了？

（因为圆上各点到圆心的距离都相等，都等于半径r）圆上有多少个点？

它们是否都满足这样的特征？

（圆上有无数个点，圆上所有的点到圆心的距离都等于半径r，即点P在⊙O上

⇒OP=r。

）

反过来，如果一个点到圆心的距离恰好等于半径r，那么能得到什么结论？

（这个点一定在圆上。

）

如果无数个点到圆心的距离都等于半径r，那么又能得到什么结论？

（这无数个点都在圆上。

）有没有例外的？

（没有例外，所以可以得到：

到圆心距离等于半径的点都在圆上。

即OP=r⇒点P在

⊙O上。

）

观察以上两个结论：

“由点P在⊙O上⇒OP=r”；“由OP=r⇒点P在⊙O上”，从左边可以得到右边，从右边可以得到左边。

由此，我们还可以把圆看成：

平面内到定点（圆心O）的距离等于定长（半径r）的所有点组成的图形。

用符号表示如下：

点P在⊙O上⇔OP=r。

观察刚才在黑板上画的圆，在黑板这个平面内，圆把平面分成了几部分？

（三部分，分别是圆的内部、圆的外部和圆上）。

刚才分析了点P在⊙O上时的数量关系，如果点P在圆的外部时，如图2，又会怎样？

你是如何得到的？

（在圆外任取一点P，连接OP，交⊙O与点Q，都有OP>OQ=r

当点P

在⊙O的外部时，我们都有OP>r，即点P在⊙O外⇒OP>OQ=r。

）

反过来呢？

图2

（当OP>r时，点P在⊙O外。

）

如果点P在⊙O的内部时，又会怎样？

你是如何得到的？

圆内其它点是否都满足同样的关系？

（在⊙O内任取一点P，连接OP，并延长OP交⊙O于一点Q，都有OP

即点P在⊙O内⇒OP

）

反过来呢？

（当OP

）

类比点在圆上的结论，又能得到什么结论？

（点P在⊙O内⇔OP

点P在⊙O外⇔OP>r。

）以上就是点和圆的三种位置关系以及相应的数量关系。

【设计意图】紧跟引入的问题，追问“为什么站在圆上就公平了”，目的是引导学生总结归纳出“点在圆上”时的特征，然后顺势提出“反过来，如果一个点到圆心的距离等于半径，又能得到什么结论？

”这样设计虽然改变了教材先介绍圆的“集合”定义，后分析“点和圆的位置关系”的顺序，但这更符合知识的逻辑顺序以及学生的认知规律，这样总结归纳，使教学更加自然顺畅。

研究“点在圆外”和“点在圆内”两种位置关系时，类比“点在圆上”，利用图形蕴含的数量关系来刻画位置关系，也是后续研究“直线和圆”、“圆和圆”位置关系的基本方法。

三、巩固练习，深化理解

根据刚才的结论完成下面练习。

以点O为圆心，分别以2cm、3cm为半径画两个圆，说出满足条件的点P的位置：

（1）OP>3cm；

（2）OP≤2cm；（3）2cm

这两个圆圆心相同，半径不相等，它们叫做同心圆。

（1）点P在大圆外；

（2）点P在

小圆的内部或小圆上；（3）P在两个圆之间的部分，即大圆的内部和小圆的外部，我们称之为圆环；（4）点P在同心圆的圆心，属于两圆的内部。

【设计意图】及时巩固，帮助学生理解和掌握点与圆的三种位置关系及判定方法，初

步形成能力。

同时介绍同心圆和圆环等相关概念。

四、深入探究，概念学习

与圆有关的概念还有很多，它们之间是有联系的，观察⊙O，如图3。

弧：

在圆上任取一点A，连接OA就得到圆的半径。

如果在圆上再取一

点B，这两个点将圆分成了几部分？

（两部分）我们把圆上任意两点间的部

分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示。

图3

弦：

连接AB两点得到一条线段，我们把“连接圆上任意两点的线段叫做弦”，“经过圆心的弦叫做直径”。

在小学学过：

同圆中，所有的半径都相等，直径是半径的两倍。

思考：

直径和弦有什么关系？

（直径是最长的弦，弦不一定是直径。

）

半圆、优弧、劣弧：

（用几何画板演示）点A、点B将圆分成两条弧，一条弧长些一条弧短些，如果沿圆周移动点B，可以发现：

短弧越来越长，长弧越来越短。

它们会不会相等呢？

当点B移动到什么位置时两弧相等？

（当点B移动到点C和点A恰好在一条直径的两端时两弧相等。

）如果圆上两点恰好是直径的两端时，这两条弧都叫做半圆。

开始的两条

弧一条比半圆短，一条比半圆长。

我们把比半圆小的弧叫做劣弧，记作

，比半圆大的弧叫做优弧，优弧要用三个字母表示，如

，如果中间没有字母，可添加一个小写字母，如

。

（板书两种弧的写法。

）

等圆和等弧：

如果两个圆圆心不同，半径相同，那么这两个圆叫做等圆。

在同圆或等圆

中，能够互相重合的弧叫做等弧。

思考：

如何验证两条弧（或半圆）相等？

（圆是轴对称图形，沿直径AC折叠，直径两旁的部分完全重合。

圆是中心对称图形，绕着圆心O旋转180°后，点A与点C重合，点C与点A重合，这样两个半圆就互相重合了。

）

弓形：

弦AB和劣弧围成的图形叫做弓形，弦AB和优弧围成的图形也是弓

形。

【设计意图】本环节的设计，从“弧”入手，通过连接得到“弦”，通过圆上点的运

动渗透“特殊与一般”的相互转化和“极限”思想，并引出“半圆”和“直径”，由比较得到“优弧”和“劣弧”，利用对折和旋转得到“等弧”和“等圆”，最后观察图形得到“弓形”等概念。

虽然知识点多，但紧紧抓住“弧”“弧的大小”“弧的相等”这条主线，把其它概念有机地串起来，将极限思想、运动观念融入其中，使静态的教材内容动态化。

学生在观察、猜想、想象、证明等数学活动中发现和学习新的数学知识，感受数学概念的普遍联系。

五、例题讲解，巩固新知

例题已知：

如图4，AB、CD为⊙O的直径。

求证：

AD∥BC。

如何解决这个问题？

（用三角形全等或平行四边形知识证明。

）图4

证明：

连接AC、DB。

∵AB，CD为⊙O的直径，

∴OA=OBOC=OD，

∴四边形ADBC为平行四边形，

∴AD∥BC。

拓展提升：

1．本题中

和

相等吗？

如何说明这两条弧相等？

（必须在同圆或等圆中，而且是能够完全重合的两条弧。

本题中AB和CD是直径，所以将点A绕圆心O旋转180°后会与点B重合，点D绕圆心O旋转180°后会与点C重合，所以

与

是等弧。

）

2．变式练习：

矩形的四个顶点是否一定能在同一个圆上，为什么？

【设计意图】例题讲解，巩固新知，关注分析问题的方法，规范书写。

拓展提升环节，回顾圆的“旋转不变性”和“轴对称性”，引导学生自然想到本题的解法，是抓住了研究“圆及其性质”的一把钥匙，使后面的证明思路自然合理。

变式训练，将矩形从圆中抽取出来，启发学生逆向思维，不仅可以巩固“点和圆的位置关系”相关知识，也为后续学习“四点共圆”提供了范例。

六、课堂小结

本课学习了哪些知识？

掌握了哪些方法？

还有什么感受？

【设计意图】通过小结帮助学生回顾探究历程，梳理本课知识，总结数学思想方法，积累学习经验。

七、布置作业

必做题：

同步作业N1、2、3。

选做题：

教材习题24.2，N1、2。

【设计意图】布置课后作业，巩固新知，发展学生能力，分层作业让每个学生都能得到很好的发展。

◆教学反思：

这节课由套圈游戏入手，带领学生经历观察、思考、归纳的过程，理解圆的两种定义，通过观察点和圆的不同位置，推导出点和圆的三种位置关系的数量表示，借助几何画板动态演示圆的有关概念，学生容易接受，也把细碎的知识点串成一条线，有利于学生理解这些概念内在的联系。

例题教学关注方法的多样性，关注圆的基本性质的应用，关注学生思维的发展。

◆专家点评：

回归数学理性，发展学生思维，是当今数学课堂教学的追求。

本课教学以学生已有的知

识和经验为基础，围绕学生思维的最近发展区设计问题，充分挖掘蕴含在概念中的数学思维，揭示知识间的逻辑关系，提炼问题中的思想方法，并将它们以适当的方式呈现给学生，让他们在数学的学习活动中，有效地进行“思维训练”，感受基本思想方法，积累活动经验。

多媒体技术的巧妙应用，既提供了丰富的直观形象，又将无限逼近的极限思想动态呈现，提升了学生思维的深度。

学生在一个充满探索的过程中学习数学、感受数学发展的乐趣，增进学好数学的信心，形成应用意识和创新思维，在加深对数学知识理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展，是一节自然合理的好课！