利用导数研究函数的单调性的题型分析.docx
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利用导数研究函数的单调性的题型分析
...
利用导数研究函数的单调性题型分析
题型一:
利用导数求函数的单调区间
例:
求下列函数的单调区间.
(1)y=2x3-3x
(2)f(x)=3x2-2lnx.
解:
(1)由题意得y′=6x2-3.
令y′=6x2-3>0,解得x<-
2
2
或x>
2
,
2
当x∈(-∞,-
2
)时,函数为增函数,当x∈(
2
2
2
,+∞)时,函数也为增函数.
令y′=6x2-3<0,解得-
2
<x<
2
2
,
2
当x∈(-
2
2
,
2
)时,函数为减函数.
2
故函数的递增区间为(-∞,-
2
2
)和(
2
,+∞),递减区间为(-
2
2
,
2
2
2
).
(2)函数的定义域为(0,+∞),
f′(x)=6x-
23x2-1
=2·.
xx
3x2-1
令f′(x)>0,即2·>0.且x>0,可解得x>
x
3
3
;
3x2-1
令f′(x)<0,即2·<0,由x>0得,0<x<
x
3
,
3
33∴f(x)的增区间为(,+∞),减区间为(0,
).
33
规律总结:
1.在利用导数求函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解题过程中,只能在定义
域内讨论,定义域为实数集R可以省略不写.
2.当求得的单调区间不止一个时,单调区间要用“,”或“和”字等隔开,不要用符号“∪”连接,
如
(1)题中的增区间.
变式训练:
求下列函数的单调区间:
(1)求函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间;
(2)求函数y=x3-2x2+x的单调区间.
【解】
(1)此函数的定义域为R,
f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2).
令6(x-1)(x-2)<0,解得1<x<2,
..
...
所以函数f(x)的单调递减区间是(1,2).
令6(x-1)(x-2)>0,解得x>2或x<1,
所以函数f(x)的单调递增区间是(2,+∞),(-∞,1).
(2)此函数的定义域为R.
y′=3x2-4x+1,
令3x2-4x+1>0,解得x>1或x<
1
3
.
1因此y=x3-2x2+x的单调递增区间为(1,+∞),(-∞,).
3
再令3x2-4x+1<0,解得
1
3
<x<1.
1
3
因此y=x3-2x2+x的单调递减区间为(
,1).
例:
讨论函数f(x)=
bx
x2-1
(-1<x<1,b≠0)的单调性.
【思路探究】
(1)函数的定义域是怎样的?
函数是奇函数还是偶函数?
(2)若先讨论x∈(0,1)
上的单调性,能否判断f′(x)在(0,1)上的正负?
b的取值对其有影响吗?
解:
因f(x)的定义域为(-1,1);函数f(x)是奇函数,∴只需讨论函数在(0,1)上的单调性.
∵f′(x)=
(
b(
2
x
2
x
1)
1)
2
2
(x1)
当0<x<1时,x2+1>0,(x2-1)2>0,∴0
22
(x1)
∴当b>0时,f′(x)<0.∴函数f(x)在(0,1)上是减函数;
当b<0时,f′(x)>0,∴函数f(x)在(0,1)上是增函数;
又函数f(x)是奇函数,而奇函数的图象关于原点对称,从而可知:
当b>0时,f(x)在(-1,1)上是减函数;
当b<0时,f(x)在(-1,1)上是增函数.
规律方法:
1.利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性,实质上就是判断或证明不等式
f′(x)>0(f′(x)<0)在给定区间上恒成立.一般步骤为:
①求导数f′(x);②判断f′(x)的符号;③
给出单调性结论.
2.导数的正负决定了函数的增减,当导函数中含有参数时,应注意对参数进行分类讨论.
变式训练:
求函数y=x+
b
x
(b≠0)的单调区间.
【解】函数y=x+
b
x
(b≠0)的定义域为{x|x≠0},y′=1-
b
=
x2
x2-b
.
x2
..
...
①当b<0时,在函数定义域内y′>0恒成立,所以函数的单调递增区间为(-∞,0)和
(0,+∞);
②当b>0时,令y′>0,解得x>b或x<-b,所以函数的单调递增区间为(-∞,-b)
和(b,+∞);令y′<0,解得-b<x<b且x≠0,
所以函数的单调递减区间为(-b,0)和(0,b).
题型二:
利用函数单调性求参数
11
例:
(2013·郑州模拟)函数f(x)=ax+xlnx,且图象在点(,f())
ee
处的切线斜率为1(e为自
然对数的底数).
(1)求实数a的值;
(2)设g(x)
f(x)x
x1
,研究函数g(x)的单调性
1
解:
(1)f(x)=ax+xlnx,f′(x)=a+1+lnx,依题意f'()=a=1,所以a=1.
e
(2)因为
g(x)
f(x)x
x1
xlnx
=
,所以g′(x)=
x-1
x-1-lnx
x-12
.
设φ(x)=x-1-lnx,则φ′(x)=1-
1
x
.
1
当x>1时,φ′(x)=1->0,φ(x)是增函数,
x
对?
x>1,φ(x)>φ
(1)=0,即当x>1时,g′(x)>0,故g(x)在(1,+∞)上为增函数;
当0 1 x <0,φ(x)是减函数, 对? x∈(0,1),φ(x)>φ (1)=0,即当0 方法规律: 1.导数法求函数单调区间的一般步骤 (1)确定函数f(x)的定义域; (2)求导数f′(x);(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和 f′(x)<0;(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间. 2.导数法证明函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤: (1)求f′(x); (2)确认f′(x)在(a,b)内的 符号;(3)作出结论: f′(x)>0时为增函数;f′(x)<0时为减函数. 3.导数法求参数的取值范围: 已知函数的单调性,求参数的取值范围,应用条件f′(x)≥0(或 f′(x)≤0),x∈(a,b),转化为不等式恒成立求解. .. ... 训练: 1 2x 1.若函数fxxln1在其定义域内的一个子区间k1,k1内不是单调函数, 2 则实数k的取值范围_______________. 解: 函数f(x)的定义域为(0,), f'(x)2x 2 1(2x)1(2x1)(2x1) 2x2x2x , 由f'(x)0得 1 x,由f'(x)0得 2 0 1 x,要使函数在定义域内的一个子区间 2 1 k1,k1内不是单调函数,则有0k1k1,解得 2 1 3 kk 2 是 3 [1,) 2 . 2.(2013·湖北省八校高三第二次联考)已知函数f(x)=(x+a)2-7blnx+1,其中a,b是常数 且a≠0. (1)若b=1时,f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,求a的取值范围; (2)当b= 4 7 a2时,讨论f(x)的单调性. 7【解】 (1)∵b=1,∴f(x)=(x+a)2-7lnx+1,∴f′(x)=2x+2a-. x ∵当x>1时,f(x)是增函数,∴f′(x)=2x+2a- 7 x ≥0在x>1时恒成立. 即a≥ 7 -x在x>1时恒成立. 2x ∵当x>1时,y= 775 -x是减函数,∴当x>1时,y=-x<,∴a≥ 2x2x2 5 2 . 5 故a的取值范围是[,+∞). 2 4 (2)∵b=a2,∴f(x)=(x+a)2-4a2lnx+1,x∈(0,+∞). 7 2x2+2ax-4a2 ∴f′(x)= = x 2(x-a)(x+2a) . x 当a>0时,f′(x)>0,得x>a或x<-2a,故f(x)的减区间为(0,a),增区间为(a,+∞);
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