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日月食计算5讲解
第四章月
一、地球的影子
在月食的道理”那一节中,我们讲了月食是由于月亮
进入地球的影子里而产生的。
现在我们来看看地球的影子有多长。
地球不会发光,受太阳光照射后.在它背着太阳光的一面就会有阴影。
如果地球跟太阳一样犬小.则影子就象一根圆柱,没有止境了。
事实上,太阳比地球大109倍,所以地影不是圆柱状.
而呈圆锥扶(如图40)。
地球的影子分为本影与半影两种。
由于
42
地球的宜径约比月亮的直径大四倍,所以地球的本影也约比月亮的本影长四倍。
地球本影的长度耀很容易计算出来的。
在图41中,设£为地球中心,MS为太阳的半径,为地球的半径,S总为太阳和地球的距离,EC为所求地球本影的长度。
△EEC和△$£)£*是相似形,所以
ECSE
RE」DS
•SE
FC-BE"AS-BE
以BE=6,378公里MS=696,20公里的数值代入,计算后得出:
EC=r色匸
108.125
从上式很明显地看出,地球影子的长度是和太阳与地球的距离成1E比的,并且地球影子的长度约为太阳和地球距离的壽°由于地球绕太阳的轨道是椭圆的,而太阳在这椭圆的一焦点上,因此地球和太阳的距离,有时长,存时短,地球本影的长短也不一样。
以太阳和地球的最大、最小、平均的三种距离的数值代入上面(刀)式,推算结果得出|
地球本影最长是1,406,705公里$
地球本影最短是1,360,463公里;
地球本影平均是1,383,538公里.
月亮和地球的平均距离是384,400公里,最远也只有406,90°公里,比起地球本影最短的都小得多,所以月食时月亮决没有通过地球本影锥顶点外面的时候,不会有象日环食那种现象发生O
月亮横穿地球本影的直径是很容易计算出来的。
地球本影平均长度是1,383,538公里,而月亮与地球的平均距离是384,400公里,因此从月亮至地球本影尖端的平均距离是1,383.538-384,
43
400=999,138公里,这相当于地球本影全长的72・彩%。
我们根据
相似三角形的原理,得出地球本影在月亮横穿处的平均直径是地球直径的72.22%,即9212公里°
二、月食的种类
由于月亮横穿地球本影的平均直径是9212公里,而月亮的直径只有3476公里,所以整个月亮常常浸入地球本影里面。
在月食
全部过程中,有一段时刻,整个月亮被地影遮去,这种现象叫做月全食。
如果从月食的开始一直到终了,月亮只有一部分走进地球本影里,也就是在聲个月食过程中,月面只有一部分披遮住,这种现象叫做月偏食。
另外,月亮进入地球半影里的食,叫做半影月食。
月亮走进地球半影里面的时棲,月面所受的日光减弱了,所减少的量,在地球半影外缭为最少,越靠近地球本影就越多。
照理悅:
月亮走进地球半影里面时,月面应该稍为暗弱,但是因为太阳光照射的强烈,用人的肉眼来观察,不易感觉月亮变暗。
我们采用了照相方法,才可发觉其变暗的事实。
月食可以分为:
月全食,月偏食和半影月食三种,但是人们通常比较注意月全食和
现在举1979年3月34日的月偏食实例如下:
半影食始
半影食终
3月14日2时11分
3时29分
5时08分
6吋4了分8时05分
最大食分=0・858(月亮直径^1.0)
再举1979年9月6日的月全食的实例如下三
半影食始9月6日15时20分
44
图42丿扌偏食
初
亏
17时18分
食
既
18时31分
食
甚
18时54分
生
光
19时17分
复
圆
20时30分
半影食终
21时2R分
圈43丿j金食
最大食分"・099〈月亮直径"・0)
上面两例中,地影是指地球的本影。
月亮越近本影中心,食分就越大,食分導于1或大于1者为全食,小于1者为偽食。
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食分有大于1的情况,应理解为月亮边缘深入地球本影。
:
三、月食的过程
C・・・、.
在月食的期间』血球朝着月亮的地区所见月食的情形,可以分为若干阶段。
对于月全食有七个过程:
当月亮和地球半影两面第一次外切时叫做半影食始;当月亮和地球本影两圆面第一次外切时叫做初亏'而后月亮慢慢进入地球本影内,当月亮和地球本影两圆面第一次内切时叫倣食既,而后月亮深入地球本彫里面,当月亮圆面中心和地球本影中心的距离最小时,也就是食分最大的时侯,叫做食甚,而后月亮向地球本影另一边缘移动,食分逐渐减小,当月亮和地球本影两圆面第二次内切时叫做生光:
而后月亮逐渐离开地球本影,当月亮和地球本影两圆面第二次
复圆五
外切时叫做复圆;当月亮和地球半影两圆面第二次外切时叫做半影食终。
但一般人们只注意:
初亏,食既,食甚,生光9个过程。
在月偏食整个过程中,由于月亮没有整个地进入地球本影中,因此就没有食既和生光的情形,只有半影食始.初亏、食甚、复圆、半影食终五个过程。
一般人们只注意£初亏、食甚.
复圆三个过程。
地球上有月全食或月偏食时必附带有半影月食。
有的时候,在月食整个过程中,月亮没有进入地球本影,只进入地球半影,产生了单纯的半影月食。
这种半影月食只有半影食始、食甚.半影食终三个过程。
这时食甚是指月亮中心和地球半影轮中心疑按近的时刻。
、月食的逛续时间
月食时间的长短,随月亮所通过地球本影的直径的大小和月
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亮绕地球运转的速度的高低而不同°
地球本影在月亮通过处的平均直径是9212公里,而月亮公转的平均速度毎小时是3400公里。
如果在月全食时,月亮刚好通过地球本影中心,那么,从初亏到复圆,月亮中心总共移动了地球本影的直径(月亮横穿处的地球本影平均直径)再加上月亮的直径这么长的距离,即9212+3476二32688公里,而所需的时间是
地球本彫的直径(月亮横穿处的地球本影平均直径)滅去月亮的直径这么长的距离,即9212-3476=5736公里,而所需的时间是5736*3400=1时41分。
上述时间系根据下列条件计算的’(1〉太阳与地球的距离是149,600,000公里:
<2〉月亮与地球的距离是384,400公里)
(3>月亮公转速度是每小时3400公里,(4)月亮通过地球本
够中心。
假如其他条件不变,而太阳与地球距离大于149,600,000公里,或月亮与地球距离小于334,400公里,或月亮公转遠度每小时小于3400公里,则月食的时间比上述的时间长°相反的,如果其他条件不变,而太阳与地球的距离小于149,600,000公里,或月亮与地球距离大于384,400公里.或月亮公转速度每小时大于3400公里,或月亮并不通过地球的本够的中心,则月食的时间比
上述的时间短。
由于月亮的直径是3476公里,而月亮公转平均速度是每小时昭00公里,且在月食时地影移动的方向与月亮移动的方向相同,因此由初亏到食既,或由生光到复圆所需的时间,釣在一小时以上。
五、望日发生月食的条件
现在来讨论望日发生月食的条件。
我们知道,月食和日食原理差不多,所不同的是,月食时地球的影子遮住了月面Q为了容
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易了解月食发生的条件,我们也用图例来说明。
图44
图44中,.
S\E、M分别为太阳、地球、月亮的申心"C0
是地球本影锥.当月亮的边缘与地球本影锥表面相切时,就是月食的开始。
图中太阳.地球、月亮三者的位置正是满足月食开始的情形,这时由几何的关系知道:
XMEC=上KEC+ZMEK=/_AKE-厶4CE
+乙MEK二兀月一/^ACE+S月
因XACE=/^BES-/jABE=S日-九日所以ZMEG月+疋口+$只~$日
nZMEC恰好是月食时在地球中心斯看到月心离黄道的角距离,因此与前面日食时一样的道理,乙MEC=I伽Icos—所以
月I=(九月4怎口斗S'月〜S日)sec"
因此只要
卅川<(兀月+兀日00月一Sm)seef7(7)
时,就必然发生月偏食。
在C7)式中的(汰力于九耳一Sb>,实际是地球本影锥在月亮处的视角半径,即上图44中的ZKEC。
(7)式的结果,我们只纯粹从数学观点来考虑,而段有考慮到物理方面的因素。
因为在地球外层包含了一层大气,使影锥曲视角半径ZKECMM大气后增大所以月偏食发生的条件成为?
IB刖<「-段一(历訂+%口一Sb)+S巧〕sec厂(7?
>
如垠要发生月全負,就要月亮中心到地彩谁轴的距离小于地
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球本影半径与月亮半径的差,换句话说,必须使你満足下列环等式*
月|cos厂<〔爲(兀月十兀日耳)「S”]
10川<〔岂("月+"日1S*日)一5*F]〕sec"C8)
或者
这些都是对地球本影的情形进行讨论的。
如果对于地球半彩锥的情形,也就是对于发生半影月食的情况,判别式要加以改变。
现在也用图例来说明。
图45中,S、E.财分别为太阳、地球、月亮的中心,当月亮的边缘与地球半影锥表面相切时,就是半影月食的开始。
KZCEK为地球半影锥在月亮处的视角半径,曲几何关系知道,
ZCEK=乙EKD+ZEDK=乙EKD+乙EBD
+z^BED=兀月+兀日+S口
和前面所述的道理一样,婆发生半影月食条件成为,
10卅<〔:
卜兀月+JT0+Sn)+S«
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所以要判别有没有月食或者是属于那一种月食,只要把望时的太阳与月亮的半径、视差代入(7').(3)、(9>式,看一看月亮黄纬的绝对值4月!
是否满足上述的不等式之一,就可以判别。
但是为了方便起见,我们可以预先求出不等式(7‘)、<8<9)右边的最大值与最小值,要判别月食时,只要把
望时的月亮黄纬的绝对值声耳I和所求不等式的极限值对照一下,就可以观察出来了。
为了这个目的,我们以表3・3中所列的兀口、Sm.兀月、的数值代入上述不等式(7‘)、(8)、
(9)。
与日食的情形一样,『的最大值与聂小值取5°52z及5°17\现在分别计算如下,
(1)以兀月.Se、.厂的最大值和Sei的最小值代入月偏食的判别式(〃)内,就得到不等式右边的最大值’
10月I<〔器(45,50")+16,45,,^|sec5052,=l°03,50 (2)以兀月、S用、兀日、「的最小值和S0的最大值代入月偏食的判别式(7’)内,就得到不等式右边的最小值: S€c5°17,二0。 53'24" 加|<〔|*(37W")+W41" <3)以江月、5「的最大值和Sr、S月的最小值代入月全食的判别式(8)内,就得到不等式右边的最*值: |卄I<〔需(45'50")・14,41z/']s«c5052,二0°32'14 (4)以九月、兀日、厂的最小值和S日、$月的最大值代入月全食的判别式(8)内.就得到不等式右边的最小值, 器(3厂4护)一16'45"Js€c5°l〃 <5)以江月、九日.3日.Sri、T的最大值代入半影月食的判别式(9)内,就得到不等式右边的最大值: 壽(77,54胪)+16,45"〕$€c5°52‘=1°36,42" 50 (8)以w月、兀日、S日、Sfi.T的最小值代入半彩月食的判别式(9》内,就得到不等式右边的最小值: 伽|>1°03'50〃屁]<0'53z24#|/M|>0°32zir]血: |<0°21丿50〃 10丹|>1°36/42,/|/? 月;<1°26口5" 由上面计算结果,得到下面的结论: 时不可能发生月偏食,时必定发生月偏食。 时不可能変生月全食』时必定发生月全食。 时不可能发生半影月食*时必定发生半影月食。 如果望吋月亮的黄綺爭月丨具有下面的情况之一如: 0笛3'24〃V羽引<1°0时50" 0°21'60y旳|<0°32Td"1°26'15"<;0卅<1。 3孑42" 时,就不能肯定有没有月食,那么勺要判别月食,须把望时太阳与月亮的视塗、半径及月亮的黄纬/用丨宜接代入上面的不等式(〃〉、(8)、(9)内,看不等式是否成立,才能确定. 六、月食的界限 与日食条件一样,可以推出太阳、月亮和黄白两道交点的关系式$ sing-Q)仝迦 tarn 其中入月、Q、”月"的意义与前面说明一样。 月亮距离黄道与白道交点一定范围内,便发生月食,这种范围,就叫做月食的界限。 如果要求计算月亮在距黄道与白道交点什么范围内月食必 然发生,这和前面讨论日食界限一样,把前节 (1)、(2八 51 (s).<4).(5)、〔8)的数值分别代入 sin(N月~Q) 问0月 tani la-Q>ll°-9几月Q<10°.0“-Q>6°.0“-Q<4°.1 Afl-Q>18°・3 Kn一<16°.2 时不可能发生月偏食‘时必定发生月偏食。 时不可龍发生月全食$时必定发生月全食。 时不可能发生半影月食j时必定发生半影月食。 由于望时太阳黄经入日与月亮黄经入月差180\因而太阳距另 一端黄白两道交点的界限值是上述数据。 因此得出结论, (一)太阳或月亮柱冲的时候,距黄白两道交点的距离比口°想大时不可能发生月偏食)比1『・0小时,必定发生月偏食・如果在10°.0-11°.9之间,就不能确定,宓须精密计算后,才館 判别出来,所以得岀: hl 月偏食的最小界限是10°・0。 (二)太阳或月亮在冲的时候,距黄白两道交点的距离比6。 ・0大时,不可能发生月全食j比4。 ・1小时,必定发生月全食'如果在4°・1〜6°・0之间就不能确定,必须精密计算后,才能判别出来,所以得出. 月全食的最大界限是6°・0, 月全食的最小界限是 (三〉太阳或月亮在冲的时候,距黄白两道交点的距离比 18,・3大时,不可能发生半影月食j比16。 ・2小时"必定发生半影 月食j如果在16°・2〜3之间就不能确定,也要精密计算后, 才能判别出来,所以得岀, 半影月食的最大界限是18°.31 52 半影月食的最小界限是16°.2。 上述的月偏食和月全食界限,如图46所示。 必牛月偵食 11q9 lo'o! 图46月食界限国 53 第五章日、月食的循环规律与食数 一、食季 我们知道,太阳和月亮都在黄道和勺道交点附近时才含发生日食和月食。 月亮一个月绕行白道~周,所以每月通过黄白两道升降交点各一次。 太阳一年绕行黄•道一周,所以太阳约每年通过黄白两道升降交点各j次。 太阳在某交点附近,月亮同时也在这交点附近,就发生日食: 如果月亮在另一交点附近就发生月食。 这样可以知道日食和月食约每半年发生一次.这叫做食季。 如果白道的位置不变,黄道也差不多完全不变9而太阳有规则地在黄道上绕行,毎年同一时期回到黄•道上原来位置,则食季应该毎年都一样,例如食季是四月和十月,则发生月食必在每年的四月和十月,而不会发生在其他月份里C 然而,实际上,白道不是不变的,白道和黄道的交角也有变化,好象白道绕交点旋转一样(比这更大的变化,是白道的方向渐渐变化,使得黄道和白道交点的位置在黄道上每年约向西移动19度《黄白交点的向西移动是由于太阳吸引月亮的缘故〉,历18年 7个月(准确的说是6793-4600〉在黄逍上移动一周。 太阳在黄道上是由西向东走动,所以黄白两道交点可以说是作了向太阳迎上去的运动。 因此太阳从通过某一交点起.经过另一交点到再通过原来交点止所雷要的时间,比太阳在黄道上走一周所需要的时间短;它的时间是346.62天(注〕,这叫做食年。 一食年比一历年短 19天,所以日.月食发生的时候平均毎年提早19天。 例如最初发 生在十月的日、月食,三年后发生在八月,六年后发生在六月。 54 二、一年内可发生食的次数 从前述日食和月食的界限和太阳.月亮运动的速度,我们来计算一年里面可以发生多少次日食和月食以及最多、最少的次数。 现在分四种情形来讨论。 为了便于叙述超见,黄道与白道的交点以下通称•“交点”。 1•在交点合(朔)的时候,发生日食 从前面所述我们知道,太阳相对于黄道与白道交点来讲,每天移动1/.O386,所以在半个月(朔望月〉里面,太阳对于该交点的移动是「 : P・O386X? 峠迴=15—33 若合(朔)时发生了日食,那么在朔片半个月即望的时候,太阳距离黄道与白道交点的位置是1扩山3,这超过月食最大界限口°・9,不会发生月食。 而在这个朔前半个月的那次望,也是同样的情形,不会发生月食。 所以在这样的场合,只能有一次日食。 (图47) 2.在交点望(冲)的时候,发生月食 如果望发生在黄道与白道的交点,便发生月食,那么望后半个月即朔的时候,太阳离交点15—33,这比日侵最大界限17°.9小,所以有H食。 望前的半个月的那次朔,也一样有日食。 因此在这种的场看;有月食一次和日食两次。 〈图血) 3.距交点2天以内合(朔)的时候,发生日食 如果距交点2天(未过交点)发生合(列),这时太阳距交点1\9712,发生了日食.而朔后半个月即望的时候,太阳离交点 〔注]黄白二道交点在黄道上逆fh以B793L48O日宪农一周,毎天逆廿的度数是M0・+8793.460n0\0530.太阳每天平均走的度数是360•十3阪2422=。 ・.9^6.所以丈阳对于黄白两道交点来井.每天移动的是0’.9酹6*0・.0530=1・.0386|而一食年的长度*3«0*+1*.03»6-346.62日» 55 的距离是$ 15°・33-0°・9856X2=13\36 这比月食最大界限11°・9大,不发生月食。 朔前半个月即望的时候• 冲仑 含沖舍 10箕弄限J17? 91 半月前有日食胆半月后有日食 图代 太阳离交虑的距离是; 15\33+0°.9856x2-17°.30 这也比月食界限11°・9大,不发生月食。 所以在这样的场合,只有日食一次。 (图49〉 4•距交点2天以内望(冲)的时候,发生月食 56 如距交点2天发生了望《冲〉,这时月亮在望前半个月的合(朔〉,太阳鳶交点的距离是星 15\33+O°.9856X2-17\3O 这比日食的最大界限17°・9小,所以发生日食•在望后半个月的合(朔),太阳距交点是, 15°.33-0\9856x2=13^.36 有月食一次和日食两次。 (图50》 现在我们就一食年内来讨论上面第三种和第四种的情况, 我们知道一食年杲346.62天,半食年是173天。 如果太阳最 57 初在某一交点,过了173天以后,应该来到另一交点附近。 (图51) 卜-半食年173天…十……爭食年173天-; 1II 在上面第三种的情况: 左距交点前2天以内合期的时候发生日食,经过了半食年后,在另一交点后2天为朔(因为其中问隔是2怜173、2=177天,而177-29.5=6,即洽好是6个朔望月),并且有日食发生。 从第三种的情况中就可了解;这两食季只各岌生日食一次,并在交点前后的望都没冇月食。 离了这个交点后,经过173天,太阳再回到原来交点的时候,应过6天后为朔(因为这段时间: 173-2+6=1777<又恰为6个朔望月儿这时太阳离交点位置约为67这比日食界限小,所以发生日食。 在紧接它前面的望时候9太阳距交点是1d\3S-6°-9°<33? 这比月食界限小,所以发生刀食'但是在紧接它后面那次莖的时候,太阳距交点是’15J33店6°二21°・33,这比月食界限大,所以没有月食。 (图52〉 58 望的前后的合朔各发生日食一次,经过了半食年M3天后,太阳到另一交点附近,过交点后两天为望,所以一样可发生月食~次,而在望的前后半个月萌合朔各发生日食一次。 当太阳再回到原交点附近的时候,在交点后6天为望,这时太阳离交点约为6笃这比月食的界限小,所以有月食。 在它紧接前面的朔,太阳离交点的距离是1胃・33-6o=9°・33,这比日食界限小,所以发生日食。 在紧接它后面的那次朔,太阳离交点是二15。 ・33+6°=21°.33,这比日食界限次,所以不发生日食。 根据上面所述的情况,我们就可以很容易地决定一历年(阳历一年)里而,聂多和最少的日、月食次数。 太阳一夭约在黄道上移动一度。 一个朔望月里•夬阳所走的距离,比从-17°・9到41厂.9的距离小,所以在连续两次合朔的期间,有发生日食两次的可能性,根据第二种的请况可以看出,在这两次日食之间有一次月食。 而一个朔望月里,太阳所走的距离比从-11°・9到•卜口°・9的距离大,所以在连续两次望的期间,决不可能相连发生两次月食。 太阳通过黄道和白道的两交点的间隔是173天,所以从1月1日到12月31日之问,太阳可以通过交点三次(图53),而且还有余卞19天(: 因为365-173X2=19》° 一月 六月 +二月 “5天・卜15天・f •1 •1 ■1 I1..j 1代I 咲 •• 弯―'^7-^ —“ £朔望朔 朔渥朔 朔望朔 池有尸H 日月貝 更更没有 仗食食 代ft日食 图53 假设某年一月,在太阳適过交点前4天发生月食,则紧接着这个望后15天的朔9必发生且食(因为这时太阳距离交点的距离是15°・33-4°=11°・33卩这比日食界限小),而紧接这个望前面的朔,太阳陀交点的雌离是1q°.33+4°=19\33>这比日食界限 59 大,所以没有日食。 当在W3天以后的六月末附近,太阳通过另一交点,这时恰好是望的时候•这是因为 4天+173夭=177夭177天=29・5天X6-6个朔望月 所以有月食发生。 根揺上述可知,紧接它的前后的两个合朔的时候,都有日食发生。 到了十二月太阳文回到原来的交点,在这交点后4天是望,这时久阳距交点的距离是4°,这比月食界限小,所以发生月食,在紧接它前面学个月的朔时候,太阳距交点的距离是15。 ・33-4。 这比日食界限小,所以应发生日食。 而紧接它后面的期时候,太阳距交点的距离是15°.3+-4V-19\3,这比日食界限 大,所以没有日食。 (图54) 因此在这年里面有日食A次,月食3次,共7次。 又设某年太阳连续通过三次交点,在量初逋过的两交点,可能都有两次日食和一次月食,参看图50,就可以知道,而笫5次的日食,发生在第三交点前面。 这种情况,在最初的月食的前面的朔的日食,倘若发生在这年里面,而最初的月食又发生在1月 凸日以前,则接在第三交点的月食应当在364日以后,也就是发生 在第二年。 所以这年里面,有日食巴次夕月食2次,共7次& 因此,我们就可以知道夕一年里面发生日、月食最多的次数是7次。 其中有两种情况: 60 <1)H食5次,月食2次; (2)日食4次,月食3次。 (见表5.1) 现在来讨论一年内食的最少次数。 日食的最小界限是太阳距 (平均是二十九天半)丈阳在黄道上运行的角度是29度6分,这 比3广・8小,因此太阳经过交点期间疑少岌生日食一次,因为每年太阳至少通过升、降交点各“次,所以每年最少爱生日食两次。 就月食的最大界限来讲是太阳距交点各11°・9,也就是它的区域^23°.8,但这比一朔望月的太阳在黄道上运行29度6分小,因 此太阳通过交
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