一元二次方程根的判别式应用探讨.docx
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一元二次方程根的判别式应用探讨
专题3:
一元二次方程根的判别式应用探讨
一元二次方程,就是只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程,其一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)。
在系数a≠0的情况下,Δ=b2-4ac>0时,方程有2个不相等的实数根;Δ=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;Δ=b2-4ac<0时,方程无实数根。
反之,若方程有2个不相等的实数根,则Δ=b2-4ac>0;若方程有两个相等的实数根,则Δ=b2-4ac=0;若无实数根,则Δ=b2-4ac<0。
因此,Δ=b2-4ac称为一元二次方程根的判别式。
根的判别式b2-4ac的使用条件,是在一元二次方程中,而非别的方程中,因此,解题过程中要注意隐含条件a≠0。
使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式,以便正确找出a、b、c的值。
一元二次方程根的判别式在初中数学中有着广泛的应用,也是中考必考内容,并占有一定的份量。
锦元数学工作室将其应用归纳为直接应用和综合应用两方面,直接应用包括不解一元二次方程,判断(证明)根的情况、根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围、限制一元二次方程的根与系数关系的应用;综合应用包括判断二次三项式是完全平方式时的待定系数、判断双曲线与直线的公共点个数、判断抛物线与直线(含x轴)的公共点个数。
下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。
一.不解一元二次方程,判断(证明)根的情况:
典型例题:
例1:
(2012广西河池3分)一元二次方程的根的情况是【】
A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根D.无实数根
【答案】D。
【考点】一元二次方程根的判别式。
【分析】∵中,a=1,b=2,c=2,
∴△。
∴无实数根。
故选D。
例2:
(2011江苏苏州3分)下列四个结论中,正确的是【】
A.方程有两个不相等的实数根
B.方程有两个不相等的实数根
C.方程有两个不相等的实数根
D.方程(其中a为常数,且)有两个不相等的实数根
【答案】D。
【考点】一元二次方程根的判别式。
【分析】把所给方程整理为一元二次方程的一般形式,根据根的判别式判断解的个数即可:
A、整理得:
,△=0,∴原方程有2个相等的实数根,选项错误;
B、整理得:
,△<0,∴原方程没有实数根,选项错误;
C、整理得:
,△=0,∴原方程有2个相等的实数根,选项错误;
D、整理得:
,当时,,∴原方程有2个不相等的实数根,选项正确
故选D。
练习题:
1(2012广东珠海6分)已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0.
(1)当m=3时,判断方程的根的情况;
(2)当m=﹣3时,求方程的根。
2.(2011福建福州4分)一元二次方程(﹣2)=0根的情况是【】
A、有两个不相等的实数根B、有两个相等的实数根
C、只有一个实数根D、没有实数根
3.(2011福建福州4分)一元二次方程(﹣2)=0根的情况是【】
A、有两个不相等的实数根B、有两个相等的实数根
C、只有一个实数根D、没有实数根
4.(2011内蒙古包头3分)一元二次方程x2+x+=0的根的情况是【】
A、有两个不等的实数根B、有两个相等的实数根C、无实数根D、无法确定
二.根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围:
典型例题:
例1:
(2012湖北襄阳3分)如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是【】
A.k<B.k<且k≠0C.﹣≤k<D.﹣≤k<且k≠0
【答案】D。
【考点】一元二次方程定义和根的判别式,二次根式有意义的条件。
【分析】由题意,根据一元二次方程二次项系数不为0定义知:
k≠0;根据二次根式被开方数非负数的条件得:
2k+1≥0;根据方程有两个不相等的实数根,得△=2k+1﹣4k>0。
三者联立,解得﹣≤k<且k≠0。
故选D。
例3:
(2012湖南常德3分)若一元二次方程有实数解,则m的取值范围是【】
A.B.C.D.
【答案】B。
【考点】一元二次方程根的判别式。
【分析】由一元二次方程有实数根,得到根的判别式大于等于0,列出关于m的不等式,求出不等式的解集即可得到m的取值范围:
∵一元二次方程有实数解,
∴△=b2-4ac=22-4m≥0,解得:
m≤1。
∴m的取值范围是m≤1。
故选B。
例4:
(2012江西南昌3分)已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根,则a的值是【】
A.1B.﹣1C.D.﹣
【答案】B。
【考点】一元二次方程根的判别式。
【分析】∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根,∴△=22+4a=0,解得a=﹣1。
故选B。
例5:
(2012上海市4分)如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0(c是常数)没有实根,那么c的取值范围是▲。
【答案】c>9。
【考点】一元二次方程根的判别式。
【分析】∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0(c是常数)没有实根,
∴△=(﹣6)2﹣4c<0,即36﹣4c<0,c>9。
例6:
(2012湖北孝感12分)已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0.
(1)求证:
无论m取何值,原方程总有两个不相等的实数根;
(2)若x1、x2是原方程的两根,且|x1-x2|=2,求m的值和此时方程的两根。
【答案】解:
(1)证明:
由关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0得
△=(m+3)2-4(m+1)=(m+1)2+4,
∵无论m取何值,(m+1)2+4恒大于0,
∴原方程总有两个不相等的实数根。
(2)∵x1,x2是原方程的两根,∴x1+x2=-(m+3),x1•x2=m+1。
∵|x1-x2|=2,∴(x1-x2)2=8,即(x1+x2)2-4x1x2=8。
∴[-(m+3)]2-4(m+1)=8,即m2+2m-3=0。
解得:
m1=-3,m2=1。
当m=-3时,原方程化为:
x2-2=0,解得:
x1=,x2=-。
当m=1时,原方程化为:
x2+4x+2=0,解得:
x1=-2+,x2=-2-。
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。
【分析】
(1)根据关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0的根的判别式△=b2-4ac的符号来判定该方程的根的情况。
(2)根据根与系数的关系求得x1+x2和x1•x2,由已知条件|x1-x2|=2平方后可以得到关于x1+x2和x1•x2的等式,从而列出关于m的方程,通过解该方程即可求得m的值,最后将m值代入原方程并解方程。
例7:
(2011山东潍坊3分)关于的方程的根的情况描述正确的是【】.
A.为任何实数,方程都没有实数根
B.为任何实数,方程都有两个不相等的实数根
C.为任何实数,方程都有两个相等的实数根
D.根据的取值不同,方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实
数根三种
【答案】B。
【考点】一元二次方程根的判别式。
【分析】求出一元二次方程根的判别式的值,然后据此判别,从而得出答案:
∵一元二次方程根的判别式为△=(2k)2-4×(k-1)=4k2-4k+4=(2k﹣1)2+3>0,
∴不论k为任何实数,方程都有两个不相等的实数根。
故选B。
例8:
(2012四川成都4分)有七张正面分别标有数字-3,-2,-1,0,l,2,3的卡片,它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上,洗匀后从中随机抽取一张,记卡片上的数字为a,则使关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,且以x为自变量的二次函数的图象不经过点(1,0)的概率是▲。
【答案】。
【考点】二次函数图象上点的坐标特征,一元二次方程根的判别式,解一元二次方程和一元一次不等式,概率公式。
【分析】∵有两个不相等的实数根,∴△>0。
∴[﹣2(a﹣1)]2﹣4a(a﹣3)>0,∴a>﹣1。
将(1,0)代入得,a2+a﹣2=0,解得a1=1,a2=﹣2。
可见,符合要求的点为0,2,3。
∴P(符合要求)=。
练习题:
1(2012四川广安3分)已知关于x的一元二次方程(a﹣l)x2﹣2x+l=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是【】
A.a>2B.a<2C.a<2且a≠lD.a<﹣2
2.(2012山东日照4分)已知关于x的一元二次方程(k-2)2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是【】
(A)k>且k≠2(B)k≥且k≠2(C)k>且k≠2(D)k≥且k≠2
3.(2012四川泸州2分)若关于x的一元二次方程x2-4x+2k=0有两个实数根,则k的取值范围是【】
A、k≥2B、k≤2C、k>-2D、k<-2
4.(2012山东东营3分)方程有两个实数根,则k的取值范围是【】.
A.k≥1B.k≤1C.k>1D.k<1
5.(2012北京市4分)若关于的方程有两个相等的实数根,则的值是▲。
6.(2012四川资阳3分)关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则k的取值范围是▲。
7.(2012湖北鄂州8分)关于x的一元二次方程。
(1)证明:
方程总有两个不相等的实数根;
(2)设这个方程的两个实数根为x1,x2,且|x1|=|x2|-2,求m的值及方程的根。
8.(2011湖南郴州6分)当t取什么值时,关于的一元二次方程22+t+2=0有两个相等的实数根?
9.(2009黑龙江佳木斯3分)若关于x的一元二次方程nx2-2x-1=0无实数根,则一次函数y=(n+1)x-n的图象不经过【】
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
三.限制一元二次方程根与系数关系的应用:
典型例题:
例1:
(2011四川泸州2分)已知关于x的方程x2+(2k+1)x+k2﹣2=0的两实根的平方和等于11,则k的值为 ▲ 。
例2:
(2012湖南娄底10分)已知二次函数y=x2﹣(m2﹣2)x﹣2m的图象与x轴交于点A(x1,0)和点B(x2,0),x1<x2,与y轴交于点C,且满足。
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)探究:
在直线y=x+3上是否存在一点P,使四边形PACB为平行四边形?
如果有,求出点P的坐标;如果没有,请说明理由。
【答案】解:
(1)∵二次函数y=x2﹣(m2﹣2)x﹣2m的图象与x轴交于点A(x1,0)和点B(x2,0),x1<x2,
∴令y=0,即x2﹣(m2﹣2)x﹣2m=0①,则有:
x1+x2=m2﹣2,x1x2=﹣2m。
∴,化简得到:
m2+m﹣2=0,解得m1=﹣2,m2=1。
当m=﹣2时,方程①为:
x2﹣2x+4=0,其判别式△=b2﹣4ac=﹣12<0,此时抛物线与x轴没有交点,不符合题意,舍去;
当m=1时,方程①为:
x2+x﹣2=0,其判别式△=b2﹣4ac=9>0,此时抛物线与x轴有两个不同的交点,符合题意。
∴m=1。
∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣2。
(2)存在。
理由如下:
假设在直线y=x+3上是否存在一点P,使四边形PACB为平行四边形。
如图所示,连接PA.PB.AC.BC,过点P作PD⊥x轴于D点。
∵抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A.B两点,与y轴交于C点,
∴A(﹣2,0),B(1,0),C(0,2)。
∴OB=1,OC=2。
∵PACB为平行四边形,∴PA∥BC,PA=BC。
∴∠PAD=∠CBO,∴∠APD=∠OCB。
在Rt△PAD与Rt△CBO中,
∵∠PAD=∠CBO,PA=BC,∠APD=∠OCB,
∴Rt△PAD≌Rt△CBO(A
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- 一元 二次方程 判别式 应用 探讨