数列知识点总结解体方法归纳和练习习题.docx
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数列知识点总结解体方法归纳和练习习题
第一部分数列的基础知识
等差数列
一定义式:
二通项公式:
一个数列是等差数列的等价条件:
(a,b为常数),即是关于n的一次函数,因为,所以关于n的图像是一次函数图像的分点表示形式。
三前n项和公式:
一个数列是等差数列的另一个充要条件:
(a,b为常数,a≠0),即是关于n的二次函数,因为,所以关于n的图像是二次函数图像的分点表示形式。
四性质结论
1.3或4个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置,
如:
3个数a-d,a,a+d;4个数a-3d,a-d,a+d,a+3d
2.与的等差中项;
在等差数列中,若,则
;若,则;
3.若等差数列的项数为2,则
;
若等差数列的项数为,则,且,
4.凡按一定规律和次序选出的一组一组的和仍然成等差数列。
设,,
,则有;
5.,,则前(m+n为偶数)或(m+n为奇数)最大
等比数列
一定义:
成等比数列。
二通项公式:
,
数列{an}是等比数列的一个等价条件是:
当且时,关于n的图像是指数函数图像的分点表示形式。
三前n项和:
;(注意对公比的讨论)
四性质结论:
1.与的等比中项(同号);
2.在等比数列中,若,则;
若,则;
3.设,,
,则有
求通项公式的基本方法
一.构造等差数列:
递推式不能构造等比时,构造等差数列。
第一类:
凡是出现分式递推式都可以构造等差数列来求通项公式,
例如:
,
两边取倒数是公差为2的等差数列,从而求出。
第二类:
是公差为1的等差数列
二。
递推:
即按照后项和前项的对应规律,再往前项推写对应式。
例如
【注:
】
求通项公式的题,不能够利用构造等比或者构造等差求的时候,一般通过递推来求。
求前n项和
一裂项相消法:
、
二错位相减法:
凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法,
求:
①
②
①减②得:
从而求出。
错位相减法的步骤:
(1)将要求和的杂数列前后各写出三项,列出①式
(2)将①式左右两边都乘以公比q,得到②式
(3)用①②,错位相减
(4)化简计算
三倒序相加法:
前两种方法不行时考虑倒序相加法
例:
等差数列求和:
两式相加可得:
第二部分数列通项公式的求和方法
一、公式法
例1已知数列满足,,求数列的通项公式。
解:
两边除以,得,则,故数列是以为首项,以为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得,所以数列的通项公式为。
二、累加法
例2已知数列满足,求数列的通项公式。
解:
由得则
所以数列的通项公式为。
例3已知数列满足,求数列的通项公式。
解:
由得则
所以
例4已知数列满足,求数列的通项公式。
解:
两边除以,得,
则,故
因此,
则
三、累乘法
例5已知数列满足,求数列的通项公式。
解:
因为,所以,则,故
所以数列的通项公式为
例6(20XX年全国I第15题,原题是填空题)已知数列满足,求的通项公式。
解:
因为①
所以②
用②式-①式得
则
故
所以③
由,,则,又知,则,代入③得。
所以,的通项公式为
四、待定系数法
例7已知数列满足,求数列的通项公式。
解:
设④
将代入④式,得,等式两边消去,得,两边除以,得代入④式得⑤
由及⑤式得,则,则数列是以为首项,以2为公比的等比数列,则,故。
例8已知数列满足,求数列的通项公式。
解:
设⑥
将代入⑥式,得
整理得。
令,则,代入⑥式得
⑦
由及⑦式,
得,则,
故数列是以为首项,以3为公比的等比数列,因此,则。
例9已知数列满足,求数列的通项公式。
解:
设⑧
将代入⑧式,得
,则
等式两边消去,得,
解方程组,则,代入⑧式,得
⑨
由及⑨式,得
则,故数列为以为首项,以2为公比的等比数列,因此,则。
五、对数变换法
例10已知数列满足,,求数列的通项公式。
解:
因为,所以。
在式两边取常用对数得⑩
设
将⑩式代入式,得,两边消去并整理,得,则
,故
代入式,得
由及式,
得,
则,
所以数列是以为首项,以5为公比的等比数列,则,因此
则。
六、迭代法
例11已知数列满足,求数列的通项公式。
解:
因为,所以
又,所以数列的通项公式为。
评注:
本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。
即先将等式两边取常用对数得,即,再由累乘法可推知,从而。
七、数学归纳法
例12已知数列满足,求数列的通项公式。
解:
由及,得
由此可猜测,往下用数学归纳法证明这个结论。
(1)当时,,所以等式成立。
(2)假设当时等式成立,即,则当时,
由此可知,当时等式也成立。
根据
(1),
(2)可知,等式对任何都成立。
八、换元法
例13已知数列满足,求数列的通项公式。
解:
令,则
故,代入得
即
因为,故
则,即,
可化为,
所以是以为首项,以为公比的等比数列,因此,则,即,得
。
九、不动点法(三种情况)
例14已知数列满足,求数列的通项公式。
解:
令,得,则是函数的两个不动点。
因为
。
所以数列是以为首项,以为公比的等比数列,故,则。
例15已知数列满足,求数列的通项公式。
解:
令,得,则是函数的不动点。
因为,所以
。
第三部分数列练习题
成绩:
一、填空题
1.各项都是正数的等比数列{an},公比q1,a5,a7,a8成等差数列,则公比q=
2.已知等差数列{an},公差d0,a1,a5,a17成等比数列,则=
3.已知数列{an}满足Sn=1+,则an=
4.已知二次函数f(x)=n(n+1)x2-(2n+1)x+1,当n=1,2,…,12时,这些函数的图像在x轴上截得的线段长度之和为
5.已知数列{an}的通项公式为an=log(n+1)(n+2),则它的前n项之积为
6.数列{(-1)n-1n2}的前n项之和为
7.一种堆垛方式,最高一层2个物品,第二层6个物品,第三层12个物品,第四层20个物品,第五层30个物品,…,当堆到第n层时的物品的个数为
8.已知数列1,1,2,…,它的各项由一个等比数列与一个首项为0的等差数列的对应项相加而得到,则该数列前10项之和为
9.在2和30之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的这两个数的等比中项为
10.已知整数对的序列如下:
(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),……,则第60个数对为
11.设等差数列{an}的前n项和是Sn,若a5=20-a16,则S20=___________.
12.若{an}是等比数列,a4·a7=-512,a3+a8=124,且公比q为整数,则a10等于___________.
13.在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,a1a2…an=n2恒成立,则a3+a5=___________.
14.设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)-na+an+1an=0(n=1,2,3,…),则它的通项公式是an=___________.
二.解答题
1.已知数列{an}的通项公式为an=3n+2n+(2n-1),求前n项和。
2.已知数列{an}是公差d不为零的等差数列,数列{abn}是公比为q的等比数列,b1=1,b2=10,b3=46,,求公比q及bn。
3.已知等差数列{an}的公差与等比数列{bn}的公比相等,且都等于d(d>0,d1),a1=b1,a3=3b3,a5=5b5,求an,bn。
4.有四个数,其中前三个数成等比数列,其积为216,后三个数成等差数列,其和为36,求这四个数。
5.已知等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求{an}的通项公式.
6.在等差数列{an}中,a1=13,前n项和为Sn,且S3=S11,求Sn的最大值.
参考答案
一、填空题
1.
2.
3.,相减得an=故an=-
4.
5.log2(n+2)
6.(-1)n-1
7.n2+n
8.978
9.6
10.(5,7)
规律:
(1)两个数之和为n的整数对共有n-1个。
(2)在两个数之和为n的n-1个整数对中,排列顺序为,第1个数由1起越来越大,第2个数由n-1起来越来越小。
设两个数之和为2的数对方第1组,数对个数为1;两个数之和为3的数对为第二组,数对个数2;……,两个数之和为n+1的数对为第n组,数对个数为n。
∵1+2+…+10=55,1+2+…+11=66
∴第60个数对在第11组之中的第5个数,从而两数之和为12,应为(5,7)
11.200.a1+a20=a5+a16=20,∴S20==10×20=200.
12.512.∵a3+a8=124,又a3·a8=a4·a7=-512,
故a3,a8是方程x2-124x-512=0的两个根.
于是,a3=-4,a8=128,或a3=128,a8=-4.
由于q为整数,故只有a3=-4,a8=128
因此-4·q5=128,q=-2.所以a10=a8··q2=128×4=512.
13..a1a2…an=n2,∴a1a2…an-1=(n-1)2.
两式相除,得(n≥2).所以,a3+a5=.
14..所给条件式即(an+1an)[(n+1)an+1-nan]=0,由于an+1an>0,所以(n+1)an+1=nan,
又a1=1,故nan=(n-1)an-1=(n-2)an-2=…=2a2=a1=1,∴an=.
二、解答题
1.Sn=a1+a2+…+an=(31+21+1)+(32+22+3)+…+[3n+2n+(2n-1)]=(31+32+…+3n)+(21+22+…2n)++[1+3+…+(2n-1)]=
2.a=a1,a=a10=a1+9d,a=a46=a1+45d
由{abn}为等比数例,得(a1+9d)2=a1(a1+45d)得a1=3d,即ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d.
∴q=4又由{abn}是{an}中的第bna项,及abn=ab1·4n-1=3d·4n-1,a1+(bn-1)d=3d·4n-1
∴bn=3·4n-1-2
3.∴a3=3b3,a1+2d=3a1d2,a1(1-3d2)=-2d①a5=5b5,a1+4d=5a1d4,∴a1(1-5d4)=-4d②②/①,得=2,∴d2=1或d2=,由题意,d=,a1=-。
∴an=a1+(n-1)d=(n-6)bn=a1dn-1=-·()n-1
4.设这四个数为
则由①,得a3=216,a=6③
③代入②,得3aq=36,q=2∴这四个数为3,6,12,18
5、∵a1+a7=2a4,
∴3a4=a1+a4+a7=15,a4=5.——3分
∵a2a4a6=45,
∴a2a6=9.——4分
设{an}的公差为d,
则(a4-2d)(a4+2d)9,
即(5-2d)(5+2d)=9,
∴d=±2.——7分
因此,当d=2时,an=a4+(n-4)d=2n-3,——9分
当d=-2时,an=a4+(n-4)d=-
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