专题复习对数与对数函数docx.docx
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对数与对数函数
1.对数的概念
(1)对数的定义:
如果a'=N(a>0冃。
工1),那么数x叫做以g为底N的对数,记作x=log“N,其屮鱼叫做对数的底数,丛叫做真数.q=10吋叫常用对数.记作x=lgJV,a=e吋叫自然对数,记作x=lnM
(2)对数的常用关系式(a,b,c,d均大于0且不等于1):
1logj=Q.
2lo^=k
3对数恒等式:
dlogJV=理.
4换底公式:
^b=^.
推广log“b=j^j,logn/?
-log^c-log.J=log^J.
(3)对数的运算法则:
如果Q>0,且aHl,M>0,N>0,那么:
1log«(M-N)=log^M+log^N;
M
210莎=3少_畑理;
310gjVf=7?
10gaM(A?
wR);
4log“〃M'=不log’M
2.对数函数的概念
⑴把)=log^(d>0,gHI)叫做对数函数,其中兀是自变量,函数的定义域是(0,+°°).
(2)函数y=R)m(g>0,gHI)是指数函数y=cix的反函数,函数y=ax与y=log泌(g>0,qHI)的图象关于\=兀对称.
3.对数函数的图象与性质
y=lo财
6/>1
0 图象 y\x=i JZ °\/(1,0) rt«=i 1K 性质 定义域: (0,+8) 值域: R 过点仃、()),即x=\_时,>=0 当%>1时,y>0当Owl时,y<0 当兀>1时,X0当0 时,y>0 在(0,+°°)上是增函数 在(0,+8)上是减函数 基础训练 2.函数y=log“(3x—2)(g>(),gHI)的图象经过定点A,则A点坐标是() A.(0,守B(|,0)C.(1,0)D・(0,1) 解析: 选C当x=l时y=0. 3.函数y=lg|x|() A.是偶函数,在区间0)上单调递增B.是偶函数,在区间0)上单调递减 C.是奇函数,在区间(0,+8)上单调递减D.是奇函数,在区间(0,+8)上单调递增 解析: 选By=Ig\x\是偶函数,由图象知在(一8,0)上单调递减,在(0,+°°)上单调递增. 4.函数./(兀)=p1—21og(A的定义域为・ 解析: 由1—21og6x20,解得故所求定31域为(0,y[6]. 答案: (0,y[6] 5.己知函数Xx)=lgx,若人必)=1,贝〃/)+肚2)=. 解析: 由j[ab)=\得ab=10,于是/(a2)+y(fe2)=lga2+lgb2=2(lga+\gb)=21g(afe)=21g10=2.答案: 2 I对数式的化简与求值 [例1]求解下列各题. (2)若2"=5”=加,且*+*=2,则〃? = [自主解答1(l)|lg焉一扌1朋+1凶页 1431 =2X(51g2~21g7)-5X^lg2+㊁(lg5+21g7) ⑵由2(l=5b=m得d=log2〃,b=log5加, log,„2+logw5=log”J0. ・°・log”? 10=2,即bi=10.解得7? ? =Vlb(Vm>0). [答案](i)| (2)Vib 专题训练 3 1.化简: (1)1叼+lg70_lg3一寸lg? 3—lg9+1; 3-45X2-11. flg4—lg60 (2)(lg3+lg5. |x70 解: (1)原式=]g■二一一丿『3—21g3+l=lg10—寸(lg3—1)2=1-|lg3—l|=Ig3. X2-1,= (2)原式= 对数函数的图象及应用 [例2]⑴函数y=]n(\~x)的图象大致为() (2)当0VW*吋,4¥ |.自主解答] (1)由1—.Q0,知xvl,排除选项A、B;设7=1—兀(尤<1),因为/=1—x为减函数,而y=lnr为增函数,所以y=ln(l-x)为减函数,可排除D选C. 当Osvl时,画 所以a的取值 (2)法一: 构造函数J(x)=4x和£(兀)=10&/,当g>1时不满足条件,出两个函数在(0,I上的图象,可知,7(|)《(+),即2vlo晶,则g>¥, 法二: ・.・0 2,10谱=1,显然4v [答案] (1)C (2)B 一题多变 若本例 (2)变为: 若不等式(x-l)2 解析: 设/1(x)=(x-l)2,/2«=log^,要使当%^(1,2)时,不等式(x-l)2 当Osvl时,显然不成立; 当a>l时,如图, 要使xe(l,2)时/;(兀)=(兀一1)2的图象在鸟(兀)=10&"的图象下方,只即(2-l)2^logrt2, 又即log“2$l. 所以1vaW2,即实数a的取值范围是(1,2]. 需力 (2)令 (2), 答案: (1,2] 3宀,心0, 解析: 选C由题意可得心)=]败—0,当*0时,y=f(l-x)为增函数,且yvo. 对数厨数的性质及应用 [例3]已知函数Xx)=log4(^2+2x+3). ⑴若沧)定义域为R,求a的取值范围; (2)若夬1)=1,求金)的单调区间; (3)是否存在实数°,使./U)的最小值为0? 若存在,求岀a的值;若不存在,说明理由・[自主解答1 (1)因为./U)的定义域为R, 所以ajC+2x+3>0对任意xeR恒成立. 显然a=0时不合题意, 即a的取值范围是住,+8) (2)因为y(l)=1,所以log4(a+5)=l,因此a+5=4,a=—1,这时7U)=log4(—F+2y+3). 由一? +2x+3>0得一1 令g(x)=—X+2x+3. 则g(Q在(-U)上单调递增,在(1,3)上单调递减. 又y=log/在(0,+8)上单调递增, 所以几r)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,3). ⑶假设存在实数d使./U)的最小值为0, 则h(x)=ax1+2x+3应有最小值1, a>0, 因此应有*3d—1解得ci=〒. =1,2 Ia故存在实数+使/U)的最小值为0.专题训练 3.已知Xx)=log«(t? v-l)(6f>0且aHl). (1)求7U)的定义域; (2)判断函数戏朗的单调性. 解: (1)由^-1>0得才>1,当°>1时,兀>0; 当0 ・••当a>l时,夬x)的定义域为(0,+8); 当0<6/<1时,/U)的定义域为(一8,0). (2)当a>l时,设0 故0<处]—1 Alog^Cori—1)vlog“(ox2—1)• ・・・心)勺(兀2)・ 故当a>l时,/U)在(0,+8)上是增函数. 类似地,当0SV1时,夬Q在(一8,0)上为增函数. 难点突破 [典例]已知兀=111兀,y=log52,z=e—I,贝“) A.x [巧思妙解]因为In7t>lne=1,log52 嗒案1D 针对训练 解析: 选Atz=log|3 因为而函数y=1。 春为(0,+8)上的减函数,所以o=log|l 所以b<0 跟踪演练 1.函数)=寸1_以卄2)的定义域为() A.(0,8]B.(2,8]C.(-2,8]D.[8,+<«) "+2W10, 解析: 选C由题意可知,l—lg(兀+2)20,整理得lg(x+2)Wlg10,贝9’八解得一2SW8,lx十2>0, 故函数y=#l—lg(x+2)的定义域为(一2,8]・ 2.(log29)-(log34)=() A#B.*C.2D.4 3. 若函数y=/U)是函数)=N(a>0,且aHl)的反函数,且/2)=h则/U)=( 解析: 选Ayw=log八vy (2)=l,•••lo缶2=1••••a=2・・\/W=10g2兀. 4.已知a=log23.6,/? =log43.2,c=log43.6,贝! J() D.c>a>b A.a>b>cB.a>c>bC.h>a>c 解析: 选Ba=log23.6=log43.62=log412.96,y=logM(x>0)是单调增函数,而3.2V3.6V12.96,.\a>c>b. 5.函数『二12響的大致图象是() 解析: 选C由丁卫里二如=一聲用,所以函数y=^^-是奇函数,其图象关于原点对称.当Q0时,X兀 对函数求导可知函数图象先增后减,结合选项可知选C. 6.已知函数/(x)=log|*—1|,则下列结论正确的是() A.£勺(0)勺(3)B.人0)勺(一*)勺(3)C.人3)勺(一£勺(0)D.人3)勺(0)勺(一 又AO)=log| 解析: 选C依题意得人3)=10甘2=—lvO,log***—£)=log||vlog|l,即一1 1=0,因此有用)勺(一勺(0)・ a 则lg10000®(^)_2= r/9-i 7.对任意的非零实数a,b,若a®b=\, 1 ・・・igioooo£)p=¥=¥ 8.函数y=log|(/—6x+17)的值域是 所以有log^rWlo誌8=—3. 解析: 令r=x2—6x+17=(x—3)2+8>8,y=log|r为减函数, 答案: (一8,—3] 9.函数.心)=10财(°>1)在区间[d,2d]上的最大值与最小值之差为则a等于 解析: ・・・°>1, ・°・/W=logfA在[a,2a]上为增函数. .•.1O&2Q—logM=*,解得Q=4. 答案: 4 10•计算下列各式. (l)lg25+lg2-lg50+(lg2)2; 黒(览3F—lg9+1・(1丽+lg8—lgVF655) Qlg0.3-lg1.2 解: ⑴原式=(lg2)2+(l+lg5)lg2+lg52=(lg2+lg5+l)lg2+21g5=(1+l)lg2+21g5=2(lg2+lg5)=2. Q(lg3)2_21g3+l・ (2)原式= 3+31g2—|)(1-lg3> 3+21g2-l)3 (lg3-1)•(lg3+21g2-1)—(lg3-1)•(lg3+21g2-l)=一刁 11.说明函数)=10刃1兀+11的图象,可由函数)=log2兀的图象经过怎样的变换而得到. 函数的单调区间. 并由图象指出 解: 作出函数y=log2x的图象,再作其关于y轴对称的图形得到函的图象,再将图象向左平移1个单位长度就得到函数 数y=log2W j*=iog2k+11的图象(如图所示). 由图知,函数y=log2k+1|的递减区间为(一8,—1),递增区间为(一12.若j(x)=^—x+bf且贝og2d)=b,log2/(d)=2(dHl). (1)求X10g2X)的最小值及对应的X值; (2)x収何值时,人10尙兀)次1),且log2/(x) 解: ⑴••談兀)=兀2—_x+b, =(log2a)2—log2a+b. 由已知得(log2«)2—log2«+b=bf.•・log2d(log2d—1)=0. TdHl,/.Iog2tz=1,即d=2. 1,+°°). 又10g2/(d)=2,・・・.心)=4. : .a1—a+b=4.: .b=4—a+a=2.故几y)=F—卄2. 从而/(10g2X)=(log20~—10g2“+2 =(10财-穿+扌 ・••当log2X=*,即兀=迈时,/(log2X)有最小值#. (2)由题意 (1(崔2汙一10g2x+2>2,log2(x2-x+2)<2 兀>2或OVxVl, =>0 -Kx<2 课后训练 [log2(8—x),xWO, 1.定义在R上的函数/U)满足^)=_则人3)的值为( 1/(兀一1)~j{x—2),x>{)9 A.1 B.2 C.—2 D.—3 解析: 选D依题意得y(3)=X2)-Xl)=Wl)-X0)]-/l)=-X0)=-log28=-3.b=/Q),c=/|),则(D) 2.已知yu)是周期为2的奇函数,当o A•a
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