数值分析试题解析.docx
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数值分析试题解析
数值分析试题
填空题(20>2')
1.322设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值,则x有2
A,X
213
位有效数字。
2.若f(x)=x7—x3+1,贝Uf[20,21,22,23,24,25,26,27]=_J,
012345678
f[2,2,2,2,2,2,2,2,2]=0。
3.设,11A|—5,HX|—3,
IIAX||_15_0
4.非线性方程f(x)=0的迭代函数x=(x)在有解区间满足|'(x)|<1,则使用
该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。
5.区间[a,b]上的三次样条插值函数S(x)在[a,b]上具有直到_2—阶的连续导数。
6.当插值节点为等距分布时,若所求节点靠近首节点,应该选用等距节点下牛顿差商
公式的前插公式,若所求节点靠近尾节点,应该选用等距节点下牛顿差商公
式的后插公式:
如果要估计结果的舍入误差,应该选用插值公式中的
拉格朗日插值公式。
n
7.拉格朗日插值公式中f(xj的系数ai(x)的特点是:
ai(x)_J;所
i0
以当系数ai(x)满足ai(x)>1,计算时不会放大f(xj
的误差。
8.要使20的近似值的相对误差小于0.1%,至少要取」4位有效数字。
9.对任意初始向量X0)及任意向量g,线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bxk)+g(k=0,1,…)
收敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是(B)<1。
10.由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是5。
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
y=f(x)
-2
-1.75
-1
0.25
2
4.25
11.牛顿下山法的下山条件为|f(xn+1)|v|f(xn)|。
12.线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差ri(i=0,1,…,n)来实现的,其中的残
差ri=(bi-aiixi-ai2X2-•…-ainXn)/aii,(i=0,1,…,n)。
13.在非线性方程f(x)=O使用各种切线法迭代求解时,若在迭代区间存在唯一解,且
f(x)的二阶导数不变号,则初始点xo的选取依据为
f(xO)f”(x0)>0。
14.使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、选取初值、迭代计算。
二、判断题(10X1')
1、若A是n阶非奇异矩阵,则线性方程组AX^b一定可以使用高斯消元法求解。
(X)
2、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。
()
3、若A为n阶方阵,且其元素满足不等式
n
aHaj(i1,2,…,n)
j1
ji
则解线性方程组AX=b的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。
(X)
4、样条插值一种分段插值。
()
5、如果插值结点相同,在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。
()
6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差
及舍入误差。
AX^b0
()7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组
8、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步
迭代计算的舍入误差。
(X)
9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差,则误差的最佳分配原则是截
断误差=舍入误差。
()
10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。
(X)
三、计算题(5X0')
1、用列主元高斯消元法解线性方程组。
x1x2x34
5x14x23x312
2x1x2x311
解答:
(1,5,2)最大元5在第二行,交换第一与第二行:
5x14x23x312
x1x2x34
2x1x2x311
L21=1/5=0.2,l31=2/5=0.4方程化为:
5x14x23x312
0.2x20.4x31.6
2.6x20.2x315.8
-0.2,2.6)最大元在第三行,交换第二与第三行:
5x14x23x312
2.6x20.2x315.8
0.2x20.4x31.6
L32=-0.2/2.6=-0.076923,方程化为:
5x14x23x312
2.6x20.2x315.8
0.38462x30.38466
回代得:
x13.00005
x25.99999
x31.00010
2、用牛顿一一埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式R(x),并写
出其截断误差的表达式(设f(x)在插值区间上具有直到五阶连续导数)。
Xi
0
1
2
f(Xi)
1
-1
3
f'(Xi)
1
5
解答:
做差商表
xi
F(xi
F[xi,xi+
F[xi.xi+1.xi
F[xi,xi+1,xi+2,x
F[xi,xi+1,xi+2,xi+3,
)
1]
+2]
i+3]
xi+4]
0
1
1
-1
-2
1
-1
1
3
2
3
4
3
0
2
3
5
1
-2
-1
P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)
R4(x)=f(5)()/5!
x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)
3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组,使之应用雅克比迭代法和高斯一一
赛德尔迭代法均收敛,写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯一一赛德尔迭代
法的迭代公式,并简单说明收敛的理由。
2x!
x2x41
x35x46
x24x3x48
x^i3x2x33
解答:
交换第二和第四个方程,使系数矩阵为严格对角占优:
2x1
X1
x2x41
3x2x33
x24x3x48
X1
X35x46
雅克比迭代公式:
2x^1
x41
Xi
X2
Xi3x2X3
X24x3X48
x35x46
《计算机数学基础
(2)》数值分析试题
一、单项选择题(每小题3分,共15分)
1.已知准确值x*与其有t位有效数字的近似值
x=0.0aa2…anX10s(ai
0)的绝对误差x*—
x()
s+1—ts
XI0(D)0.5X10
2
1
0
0
5
2
1
0
1
2
1
0
1
4
1
0
(A)
(B)
0
1
2
1
1
1
4
1
0
0
1
2
0
0
1
2
5
2
1
0
4
2
1
1
1
4
2
1
1
4
1
0
(C)
(D)
2
1
4
1
2
1
4
1
0
0
1
2
1
3
1
5
s—1—ts—t
(A)0.5X10(B)0.5X10(C)0.5
2.以下矩阵是严格对角占优矩阵的为()
3.
过(0,1),
(2,4),(3,1)点的分段线性插值函数
P(x)=(
(A)
3x1
2
0
x2
(B)
3x10
2
x3
(C)
3x1
2
0
x2
(D)
3x10
2
x3
4.等距二点的求导公式是()
f(Xk)
(A)
f(xk1)
1(、(ykyk1)
h
1
(ykyk1)
h
3
x
2
10x2
3x
210
2x3
3
x
2
10x2
x
42
x3
f(Xk)
E(ykyk1)
h
1
(ykyk1)
h
(B)
f(xk1)
)
1
f(xQ-(ykyk1)
(C)-(D)
1
f(xk1)—(yk1yk)
5.解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是yk12(ypyc)
那么yp,yc分别为().
(A)
ypyc
yk
yk
hf(Xk,yk)
Yp
Yc
Yk
Yk
hf(Xk1,Yk)hf(Xk,Yp)
hf(Xk1,yk)
(B)
yp
Yk
f(Xk,yQ
Yp
Yk
hf(Xk,Yk)
(C)
(D)
yc
Yk
f(Xk,Yp)
Yc
Yk
hf(Xk1,Yp)
、
填空题
(每小题3分,共
15分)
6.设近似值xi,X2满足(xi)=0.05,(X2)=0.005,那么(xiX2)=.
7.三次样条函数S(x)满足:
S(x)在区间[a,b]内二阶连续可导,S(Xk)=yk(已知),k=0,1,2,…,n,
且满足S(x)在每个子区间[xk,xk+i]上是.
9.解方程f(x)=0的简单迭代法的迭代函数(x)满足在有根区间内,则在有根区间内
任意取一点作为初始值,迭代解都收敛.
10.解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报一一校正公式是
预报值:
ykrykhf(xk,yk),校正值:
yk+1=
三、计算题(每小题15分,共60分)
11.用简单迭代法求线性方程组
8x-|
3x2
2x3
20
4x-|
11x2
X3
33
6x1
3x2
12x3
36
的x(3)•取初始值
(0,0,0)
T,计算过程保留4位小数
12.已知函数值f(0)=6,f
(1)=10,f(3)=46,f(4)=82,f(6)=212,求函数的四阶均差f(0,1,3,4,6)和二阶均差f(4,1,3).
13.将积分区间8等分,用梯形求积公式计算定积分3.1x2dx,计算过程保留4位小数.
1
14.用牛顿法求,115的近似值,取x=10或11为初始值,计算过程保留4位小数.
四、证明题(本题10分)
15.证明求常微分方程初值问题
yf(x,y)y(x。
)y。
在等距节点a=x° y(Xk+1)yk+1=yk+[f(xk,yk)+f(xk+1,yk+1)] 2 其中h=Xk+1-xk(k=0,1,2,…n-1) 《计算机数学基础 (2)》数值分析试题答案 xj 0.3636 000.09090 33 (1) X3 0.50 0.250033 得到X1=(2.5, 3,3)t X1⑵ 00.375 30.25 32.5 2.875 x22) 0.3636 2.500.0909 33 2.3637 x32) 0.52.5 0.253 03 1.0000 得到X2): =(2.875, 2.3637, 1.0000)T x13) 00.375 2.3637 0.251 2.5; 3.1364 x23) 0.3636 2.8750 0.090913 2.0456 x33) 0.52.8750.25 2.3637 03 0.9716 得到X3): =(3.1364 2.0456 0.9716) T 12.计算均差列给出. Xk f(Xk) 一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差 0 6 1 10 4 3 46 18 14/3 4 82 36 6 1/3 6 212 65 29/3 11/15 1/15 f(0,1,3,4,6)=— 15 f(4,1,3)=6 13.f(x)=.1x2,h=—0.25.分点X0=1.o,X1=1.25,X2=1.5,X3=1.75,X4=2.0,X5=2.25, 8 X6=2.50,X7=2.75,X8=3.0. 函数值: f(1.0)=1.4142,f(1.25)=1.6008,f(1.5)=1.8028,f(1.75)=2.0156,f(2.0)=2.236 1,f(2.25)=2.4622,f(2.50)=2.6926,f(2.75)=2.9262,f(3.0)=3.1623. 3h IT2[f(x0)f(X8) 2(f(xJf(x2)f(X3)f(X4)f(X5)f(X6)f(X7))](9分) =0.25K1.4142+3.1623+2><1.6008+1.8028+2.0156 2 +2.2361+2.4622+2.6926+2.9262)] =0.125<4.5765+2XI5.7363)=4.5061 22 14.设x为所求,即求x-115=0的正根.f(x)=x—115. 因为f(x)=2x,f(x)=2, f(10)f(10)=(100—115)X<0,f(11)f(11)=(121—115)X>0 取X0=11. 有迭代公式 f(Xk) xk2115Xk115门、 Xk+1=xk— Xk —-(k=0,1,2,…) f(Xk) 2xk22xk 11 115 X1==10.7273 2211 10.7273 X2= 2 115 =10.7238 210.7273 10.7238 X3= 2 115 —10.7238 210.7238 x*10.7238 四、证明题(本题10分) 15.在子区间[xk+1,xk]上,对微分方程两边关于x积分,得 xk1 y(xk+i)—y(xk)=f(x,y(x))dx xk 用求积梯形公式,有 h y(XE)—y(xk)=—[f(xk,y(xQ)f(xk1,y(Xk1))] 2 将y(xk),y(xk+1)用yk,yk+1替代,得到 — y(Xk+1)yk+1=yk+—[f(xk,yk)+f(xk+1,yk+1)](k=0,1,2,…,n—1) 2 数值分析期末试题 」、填空题(2 10 20分) 1 5 2 (1)设A2 1 0 ,则A- 13。 3 8 2 1II (2)对于方程组 2x1 5x2 1 迭代法的迭代矩阵是Bj 0 2.5 Jacobi 10x1 4X2 3 2.5 0 (4)求方程X (3)3X*的相对误差约是X*的相对误差的1倍。 3 (5)设f(x)xx1,则差商f[0,1,2,3]__1 (6)设nn矩阵g的特征值是1,2,,n,则矩阵G的谱半径(G)max 12 (7)已知A,则条件数Cond(A)9 01— (8)为了提高数值计算精度,当正数x充分大时,应将ln(xx21)改写为ln(xx21)。 (9)n个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为n1次。 13 (10)拟合二点(X1,f(x」),(X2,f(X2)),(X3,f(X3))的水平直线是yf(xj。 3i1 2x1x2x31 二、(10分)证明: 方程组x1x2x31使用Jacobi迭代法求解不收敛性。 x1x22x31 证明: Jacobi迭代法的迭代矩阵为 0 0.5 0.5 Bj1 0 1 0.5 0.5 0 Bj的特征多项式为 0.50.5 det(IBj ) 1 1 (21.25) 0.5 0.5 Bj的特征值为1 0 2 V1.25i, 3寸1.25i,故(Bj)丿1.25>1,因而迭代法不收 敛性。 (10分)定义内积 (f,g)0f(x)g(x)dx 解: 0(x)1,1(x)x, 法方程 解: y(x)c0c1xc2x2c3x3 ATy(2.9,4.2,7,14.4)T 法方程 ATAcATy 的解为c00.4086,c10.39167,c20.0857,c30.00833 得到三次多项式 y(x)0.40860.39167x0.0857x20.00833x3 误差平方和为30.000194 5.(10分)依据如下函数值表 X 0 1 2 4 f(x) 1 9 23 3 建立不超过三次的Lagrange插值多项式,用它计算f(2.2),并在假设f(4)(x)1下,估计计算误差。 解: 先计算插值基函数 f(2.2)L3(2.2)25.0683。 据误差公式 R3(x) (4)() (xx°)(xxj(xX2)(x4! X3 )及假设f(4)(x)1 得误差 估计: ⑷() (2.20)(2.21)(2.22)(2.24)4! 6.(10分)用矩阵的直接三角分解法解方程组 X1 X2 X3 17 X4 1 0 2 0 1 1 0 2 0 0 1 0 1 121 1 U22 U23 U24 1 2 4 3 131 1321 U33 U34 0 1 0 3 141 142143 1 U44 uij和l ij 1 1 121 1 0 1 1311 321 1 2 1 1411 42143 1 0 1 01 10 2 0 1 0 20 U22 U23 U24 1 01 由矩阵乘法可求出 2 1 U33 U44 u34 解下三角方程组 y1y2 y3 17 y4 7.(10分)试用Simpson公式计算积分 1 eXdX 的近似值,并估计截断误差 解: Xk Xk1 Xk 10 截断误差为 -(4) 1 12 36 24; f(} (8 7 ~6 p)e X X X X max 1x2 r(4),、 f(x) f ⑷ (1) 198.43 f(x)xlnx2 取x03,得sx43.146193221。 九.(10分)给定数表 X -1 0 1 2 f(x) 10 14 16 15 f'(x) 1 0.1 求次数不高于5的多项式H5(x),使其满足条件 Hs(Xi)f(Xi),i0,1,2,3 H5(x」f(Xi),i0,2 其中Xi1i,i0,1,2,3。 解: 先建立满足条件 P3(x)f(xj,i0,1,2,3 Xi)+ 的三次插值多项式p3(x)。 采用Newton插值多项式 fX0,X1,X2,X3(x X°)(X X1)(xX2) 1 10 4(x 1)(x1)x(x1)x(x1) 6 14 19 213 X XX 6 6 再设H 5(X) P3(x)(axb)(x 1)x(x 1)(x2),由 H5 (1) 1 P3( 1)(ab)(6) H5 (1) P3 (1) (ab) (2)0 得 11 a b 8 17 a b 60 解得a 59 161 ,b o 360 360 故所求的插值多项式 H5(x) 14 19 X 2131 XX -(161 2 59x)x(x1)(x P3(x)f(Xo)fXo,Xi(xXo)fXo,Xi,X2(xXo)(X 66360 1
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