人教版九年级数学上册二次函数应用题分类解析.docx

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人教版九年级数学上册二次函数应用题分类解析

初中数学试卷

二次函数应用题分类解析

二次函数是初中学段的难点，学生学起来觉的比较的吃力，可以把应用问题进行分类：

第一类、利用待定系数法

对于题目明确给出两个变量间是二次函数关系，并且给出几对变量值，要求求出函数关系式，并进行简单的应用。

解答的关键是熟练运用待定系数法，准确求出函数关系式。

例1．某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。

根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：

x（十万元）

0

1

2

…

y

1

1.5

1.8

…

（1）求y与x的函数关系式；

（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；

（3）如果投入的年广告费为10—30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？

析解：

（1）因为题中给出了y是x的二次函数关系，所以用待定系数法即可求出y与x的函数关系式为

（2）由题意得S=10y（3-2）-x

（3）由

（2）及二次函数性质知，当1≤x≤2.5，即广告费在10—25万元之间时，S随广告费的增大而增大。

二、分析数量关系型

题设结合实际情景给出了一定数与量的关系，要求在分析的基础上直接写出函数关系式，并进行应用。

解答的关键是认真分析题意，正确写出数量关系式。

例2．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。

物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。

市场调查发现：

单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。

在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。

设销售单价为x元，日均获利为y元。

（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；

（2）将

（1）中所求出的二次函数配方成的形式，写出顶点坐标；在图2所示的坐标系中画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获得最多，是多少？

（3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？

析解：

（1）若销售单价为x元，则每千克降低（70-x）元，日均多售出2（70-x）千克，日均销售量为[60+2（70-x）]千克，每千克获利为（x-30）元。

根据题意得（30≤x≤70）。

（2）。

顶点坐标为（65，1950），草图略，当单价定为65元时，日均获利最多，是1950元。

（3）列式计算得，当日均获利最多时，可获总利195000元；当销售单价最高时，可获总利221500元。

故当销售单价最高时获总利较多，且多获利221500-195000=26500元。

三、建模型

即要求自主构造二次函数，利用二次函数的图象、性质等解决实际问题。

这类问题建模要求高，有一定难度。

例3．如图4，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4dm，抛物线顶点处到边MN的距离是4dm，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上，问这样截下去的矩形铁皮的周长能否等于8dm？

析解：

由“抛物线”联想到二次函数。

如图4，以MN所在的直线为x轴，点M为原点建立直角坐标系。

设抛物线的顶点为P，则M（0，0），N（4，0），P（2，4）。

用待定系数法求得抛物线的解析式为。

设A点坐标为（x，y），则AD=BC=2x-4，AB=CD=y。

于是

。

且x的取值范围是0

若l=8，则，即。

解得。

而0

故l的值不可能取8，即截下的矩形周长不可能等于8dm。

注：

本题还可在其它位置建立直角坐标系。

例4..某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品,已知每件产品的进价为40元,经销过程中测出销售量y（万件）与销售单价x（元）存在如图所示的一次函数关系,每年销售该种产品的总开支z（万元）（不含进价）与年销量y（万件）存在函数关系z=10y+42.5.

（1）求y关于x的函数关系式;

（2）度写出该公司销售该种产品年获利w（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式;（年获利=年销售总金额-年销售产品的总进价-年总开支金额）当销售单价x为何值时,年获利最大?

最大值是多少?

（3）若公司希望该产品一年的销售获利不低于57.5万元,请你利用

（2）小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围

在此条件下要使产品的销售量最大,你认为销售单价应定为多少元?

.解:

（1）由题意,设y=kx+b,图象过点（70,5）,（90,3）,

∴解得∴y=x+12.…………………………………………3分

（2）由题意,得w=y（x-40）-z=y（x-40）-（10y+42.5）=（x+12）（x-10）-10（x+12）-42.5

=-0.1x2+17x-642.5=（x-85）2+80.

当85元时,年获利的最大值为80万元.……………………………………………………6分

（3）令w=57.5,得-0.1x2+17x-642.5=57.2.

整理,得x2-170x+7000=0.

解得x1=70,x2=100.

由图象可知,要使年获利不低于57.5万元,销售单价应在70元到100元之间.又因为销售单价越低,销售量越大,所以要使销售量最大,又使年获利不低于57.5万元,销售单价应定为70元.………………………………10分

二次函数应用练习题

1．如图，已知抛物线l1：

y=x2-4的图象与x轴相交于A、C两点，B是抛物线l1上的动点（B不与A、C重合），抛物线l2与l1关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D.

（1）求l2的解析式；

（2）求证：

点D一定在l2上；

（3）□ABCD能否为矩形？

如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积（若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积）；如果不能为矩形，请说明理由.

注：

计算结果不取近似值.

2．已知，二次函数与x轴交于A、B两点，（A在B的左边），与y轴交于点C，且∠ACB=90°.

（1）求这个二次函数的解析式.

（2）矩形DEFG的一条边DG在AB上，E、F分别在BC、AC上，设OD=x，矩形DEFG的面积为S，求S关于x的函数解析式.

（3）将

（1）中所得抛物线向左平移2个单位后，与x轴交于A’、B’点（A’在B’的左边），矩形D'E’F’G’的一条边D’G’在A，B’上（G，在D’的左边），E’、F’分别在抛物线上，矩形D'E’F’G’的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

3．阅读材料，解答下列问题：

求函数y=（x>-1）中的y的取值范围．

解．∵y=

∵

∴y>2

在高中我们将学习这样一个重要的不等式：

（x、y为正数）；此不等式说明：

当正数x、y的积为定值时，其和有最小值．

例如：

求证：

x+≥2（x>O）

证明：

∵

∴x+≥2

利用以上信息，解决以下问题：

（1）求函数：

y=中（x>1），y的取值范围．

（2）．若x>O，求代数式2x+的最小值．

4．如图，已知二次函数y=-x2+4x+c的图像经过坐标原点，并且与函数y=x的图像交于O、A两点．

（1）求c的值；

（2）求A点的坐标；

（3）若一条平行于y轴的直线与线段OA交于点F，与这个二次函数的图像交于点E，求线段EF的最大长度．

5．利用图象解一元二次方程x2-2x-1=0时，我们采用的一种方法是：

在直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=2x+1，两图象交点的横坐标就是该方程的解．

（1）请再给出一种利用图象求方程x2-2x-1=0的解的方法

（2）已知函数y=x3的图象（如图）：

求方程x3-x-2=0的解．（结果保留2个有效数字）

6．我们学过二次函数的图象的平移，如：

将二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所图象的函数表达式是.

类比二次函数的图象的平移，我们对反比例函数的图象作类似的变换：

（1）将的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为　　　　　　　，

再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为　　　　　　　　　；

（2）函数的图象可由的图象向　　　　平移　　　　个单位得到；的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？

（3）一般地，函数（，且）的图象可由哪个反比例函数的图象经过和怎样的变换得到？

7．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，B，C三点，当x≥0时，其图象如图所示．

（1）求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；

（2）画出抛物线y＝ax2＋bx＋c当x＜0时的图象；

（3）利用抛物线y＝ax2＋bx＋c，写出为何值时，y＞0．

8．下表给出了代数式与的一些对应值：

x

…

0

1

2

3

4

…

…

3

－1

3

…

（1）请在表内的空格中填入适当的数；

（2）设，则当取何值时，y＞0？

（3）请说明经过怎样平移函数的图象得到函数的图象.

9．已知抛物线经过及原点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）过P点作平行于轴的直线PC交轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上，任取一点Q，过点Q作直线QA平行于轴交轴于A点，交直线PC于B点，直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC（如图13）．是否存在点Q，使得△OPC与△PQB相似？

若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如果符合

（2）中的Q点在x轴的上方，连结OQ，矩形OABC内的四个三角形△OPC，△PQB，OQP，△OQA之间存在怎样的关系？

为什么？

10．一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系．

（1）求抛物线的解析式；

（2）一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么?

（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么?

11．如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m。

（1）在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式；

（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？

12．某企业信息部进行市场调研发现：

信息一：

如果单独投资A种产品，则所获利润yA（万元）与投资金额x万元）之间存在正比例函数关系：

yA=kx，并且当投资5万元时，可获利润2万元．

信息二：

如果单独投资B种产品，则所获利润yB（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：

yB=ax2+bx，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．

（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；

（2）如果企业同时对A，B两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？

13．小明为了通过描点法作出函数y=x2-x+1的图象，先取自变量x的7个值满足：

x2-x1=x3-x2=…=x7-x6=d，再分别算出对应的y值，列出表1：

表l

x

xl

x2

x3

x4

x5

x6

x7

y

l

3

7

13

21

31

43

记ml=y2-y1，m2=y3-y2，m3=y4-y3，m4=y5-y4，…；s1=m2-m1