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离散数学高教概念整理
数理逻辑
命题逻辑
命题p,q,r,s……
非真即假的陈述句
命题的真值01
命题的陈述句所表达的判断结果
原子命题(简单命题)
不能被分解成更简单的命题
简单命题通过联结词联结而成的命题,称为复合命题
命题的符号化p:
4是素数
用小写英文字母(如p:
4是素数)表示命题。
用小写英文字母(如p:
4是素数)表示原子命题,用联结词联结原子命题表示复合命题。
联结词
否定连接词¬
否p为真当且仅当p为假
合取联结词∧
p合取q为真当且仅当p,q同时为真(复合命题“p并且q”称为p与q的合取式)
析取联结词∨
p析取q为假当且仅当p,q同时为假(复合命题“p或q”称为p与q的析取式)
蕴含连接词→
p蕴含q为假当且仅当p为真,q为假。
(复合命题“如果p,则q”(因为p所以q,除非q才p)称为p与q的蕴含式,p是蕴含式的前件,q是蕴含式的后件)q是p的必要条件。
等价联结词↔
p等价q当且仅当,同时为真或假。
(复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式)
真值表
命题公式及其赋值
命题常项
原子命题(简单命题)的另一称呼,由于其真值确定
命题变项
真值可以变化的陈述句
合式公式(命题公式)A,B……
命题变项用联结词和圆括号用一定逻辑关系连接起来的符号串,简称公式
赋值(解释)
给公式A中的每个命题变项各指定一个真值。
这组值使A为1,则称为成真赋值。
含n个命题变项的公式有2的n次方个不同赋值。
含n个命题变项的公式有2的2的n次方个不同真值表情况。
重言式(永真式)
命题公式A在各种赋值下取值均为真
矛盾式(永假式)
命题公式A在各种赋值下取值均为假
可满足式
命题公式A至少存在一个成真赋值
哑元
对公式A和B进行比较讨论,可知A和B共含有n个命题变项,其中A不含有的命题变项称为A的哑元,其取值不影响A的值
命题逻辑等值演算
等值式⇔
如果命题A和B有相同的真值表,则有命题A↔B为重言式,这种情况下称A与B是等值的,记作A⇔B
(重要)等值式模式
常用的16条命题间的等值模式,书p18
析取范式与合取范式
文字
命题变项及其否定的统称
简单析取式,简单合取式
由有限个文字构成的析取式,合取式
析取范式,合取范式
由有限个简单合取式的析取构成的命题公式,称为析取范式。
同理为合取范式。
命题公式的析取或合取范式一般不唯一
极小项,极大项
简单合取式中的命题变项及它的否定式恰好出现一次,并按照下标拍好,这样的简单合取式叫做极小项。
同理为极大项。
n个命题变项可以产生2的n次方个极小项,每个极小项都有且仅有一个成真赋值,这一组成真赋值(01组成)转化为对应的十进制数i,将这个极小项表示为
类似的,极大项为
主析取范式
主合取范式
所有简单合取式都是极小项的析取式,这是唯一的主析取范式。
同理。
联结词的完备集
n元真值函数F
函数F的自变量为n个命题变项,值域为{0,1},这样的函数叫n元真值函数。
n个命题变项一共可以构成2的2的n次方个不同的真值函数。
每个真值函数与唯一的一个主析取范式(主合取范式)等值,同时它们都等值于无穷多个等值的命题公式。
联结词完备集S={¬,∨}
s是一个联结词集合,任何n元真值函数都可以仅用s中的联结词构成的公式表示.s就是联结词完备集。
命题逻辑的推理理论
推理{
…
}┠B
是指从前提触发推出结论的思维过程。
前提是已知的命题公式集合,结论是推出的命题公式。
有效的结论
命题集合
的合取式有0和1两种取值,只要不出现某一种赋值情况下命题集合为假,结论B为真。
那么就称结论B是有效的结论。
称这一种推理是正确的。
证明
是由一个描述推理过程的命题公式序列
形式系统I
书p46
自然推理系统P
数p47
主要是用来在这个系统下构造推理的证明
附加前提证明法
结论为蕴含式时,可以把前件作为推理前提,使结论为后件
归谬法
使结论的否命题作为前提能退出矛盾,则证明
一阶逻辑基本概念
一阶命题符号化
1个体词a,b,x,y……
研究对象中独立存在的客体。
取值范围叫做“个体域”。
默认个体域为“全总个体域”
2谓词F(a) G(a,b) H……
刻画个体词性质或关系的词。
比如说“是无理数”。
含有n个命题变项的谓词叫做n元谓词。
以个体域为定义域,{0,1}为值域的n元函数或关系。
3量词∀
全称量词“任意”∀
存在量词“存在”
一阶语言(花体I)
由抽象符号构成的用于一阶逻辑的形式语言。
项
个体常项,个体变项,n元函数(自变量为项)是花体I的项。
指导变元 量词的辖域
例如∀xA,x就叫做指导变元,A是量词的辖域,在辖域中x的所有出现称为约束出现,其他变项叫自由出现
合式公式(谓词公式)
一阶语言下的合式公式。
闭式(封闭的公式)
公式中不含自由出现的个体变项.
解释I
解释就是对抽象一阶语言的在I的具体含义,包括四个部分:
①非空个体域D1②每一个个体常项在D1中的对应③每一个n元函数在D1上的对应④每一个谓词符号在D1上的对应
永真式(逻辑有效式),永假式,可满足式
同上文。
在任何解释下均为真的公式为永真式。
这里不存在重言式的说法。
代换实例
用谓词公式A1,A2……代换命题公式A0中的命题变项p1,p2……得到的公式A叫做A0的代换实例。
重言式的代换实例都是永真式。
一阶逻辑等值验算
等值式⇔
这个等值式是一阶逻辑下的等值式。
定义同上。
当A等价B为永真式,称A⇔B是等值式。
等值式类型
书p69
比如说任意x有(A(x)→B)等价于存在x满足A(x)并且→B
一阶逻辑前束范式
就是要求把所有量词放到最前方。
去掉重名变量。
集合论
集合基本概念A={}
无序,唯一,确定
幂集P(A)或花体pA,
A的全体子集构成的集合
集合的运算
∪并集A∪B
∩交集A∩B
-相对补集A-B
x属于A但是不属于B的部分组成的集合
⊕对称差集A⊕B
x属于A和x属于B的部分,不包括既属于A又属于B
~绝对补集~A
给定全集中不属于A的部分
∪A广义并
A的元素(是个集合)的元素构成的集合
∩A广义交
A(非空)的所有元素的公共元素组成的集合
有穷集的计数
文氏图
容斥定理
p90
集合恒等式
p92
有序对和笛卡尔积
有序对
两个元素按一定顺序排列成的二元组,x叫第一元素,y叫第二元素
笛卡尔积A×B
集合A中的元素作为第一元素,集合B中的元素作为第二元素,构成有序对。
这样的有序对组成的集合叫做A和B的笛卡尔积
笛卡尔积,对并和交运算满足分配率
A包含于C并且B包含于D的时候可以推出,A×B包含于C×D
二元关系R(关系)是个集合
一个集合。
如果它是空集,或者他的元素都是有序对,则这个集合是一个二元关系,记作R。
如果
从A到B的二元关系
A×B(A和B的笛卡尔积)的任何子集定义的二元关系(子集不止一个,这个就不止一个)
A=B时叫做A上的二元关系,A上有2的n平方次方个不同二元关系
R为A上的二元关系
即A的所有元素作第一元素组合A的所有元素作第二元素的有序对的集合.
空关系∅
空集∅是A×A的子集,叫做A上的空关系
全域关系
恒等关系
小于等于关系
关系矩阵,关系图
p105
关系的运算
R的定义域domR
R中所有有序对的第一元素构成的集合
R的值域ranR
R中所有有序对的第二元素构成的集合
R的域fldR
定义域和值域的并集
R的逆关系(R的逆)
这个集合的元素(有序对)为R中的有序对第一元素第二元素互换
G对F的右复合F°G
={
右复合支持结合律
A上的二元关系和恒等关系的符合为A上的二元关系
R在A上的限制R↑A(半个箭头)
R为二元关系,A为集合,“R在A上的限制”也是个二元关系(集合),其中有序对的第一元素也是A的元素
A在R下的像R[A]
R[A]是一个集合,元素是既是R中有序对的第一元素,又是A中元素的元素。
R的n次幂
首先,R是A上的二元关系,不是随便什么二元关系。
R的0次幂是A的恒等关系IA,即第一元素=第二元素的有序对组成的集合
R的第n+1次幂=R的n次幂°R
并且,必有s,t使得R的s次幂=R的t次幂
关系的性质(R为A上的关系)
自反性
任意x,如果x是A的元素可以推出
对称性R=
任意x,y,如果x,y是A的元素并且
传递性R°R
任意x,y,z,如果x,y,z是A的元素并且
关系的闭包
R的自反闭包R’r(R)
在R中添加尽可能少的有序对,得到R’,使R’具有自反性
对称闭包s(R)
传递闭包t(R)
等价关系与划分
等价(=自反,对称,传递)关系~
等价是一个对于关系的定语。
R为A上的关系,如果R是自反的,对称的,传递的,则称R为A上的等价关系。
若
x与y模n相等x≡y(modn)
x除以n的余数与y除以n的余数相等
在整数集上,模n是个等价关系。
x关于R的等价类
([x]或
)
R为A上的等价关系。
x关于R的等价类(简称x的等价类)是A中所有与x等价的元素构成的集合。
A关于R的商集A/R
R为非空集合A上的等价关系,R的所有等价类作为元素的集合称为A关于R的商集,记作A/R,即={[x]|x∈A}。
也就是元素是集合的集合。
A的子集族π
π
P(A),A的某些子集构成的集合
A的一个划分π
子集族π满足下面三个条件时,π叫做A的一个划分,π中的元素(就是A的子集)叫做A的划分块
①空集不属于π
②π中的任意两个元素(集合)交集为空
③π的广义并(π中的元素(A的子集)的元素的并集)就是A
商集就是一个划分
偏序关系
偏序(=自反,反对称,传递)关系≤
如果
恒等关系,小于或等于关系,乘除关系,包含关系都是偏序关系
x与y可比
x与y可比等价于,x≤y或者y≤x
全序关系(线序关系)
设R是非空集合A上的偏序关系,如果任意x,y属于A,x与y都是可比的(也就是A的所有元素都出现在这个R中)则称R为A上的全序关系
y覆盖x(y是x的后继)
x<y且不存在z使得x<z<y,则称y覆盖x
偏序集的哈斯图
如果x<y,就把x画在y的下方,并且如果y还覆盖x,就用一条线段连接xy
最小元,极小元,最大元,极大元
①对于任意B中的元素x都有y小于等于x,y为最小元
②对于任意B中的元素x并且x≤y使都推出x=y,y是极小元
最小元存在时,要求最小元和B中的其他元素都可比,所以不一定存在,如果存在一定是唯一的。
极小元不一定和B中所有元素都可比,所以一定存在,并且可能不唯一。
上界,下界
①对于任意B中的元素x都有y小于等于x成立,y为B的下界
①对于任意B中的元素x都有x小于等于y成立,y为B的上界
B的上界可知可能不止一个,最小的叫最小上界(上确界),最大下界同理。
B的最大元一定是B的最小上界,反之不一定(因为可能不存在最大元)
函数
函数y=F(x)
函数是一种特殊的二元关系。
每一个定义域中的x有唯一的值域中的y与它构成关系xFy,F就是函数
从A到B的函数ff:
A→B
AB为集合,A=f定义域,f值域包含于B
B上A
所有从A到B的函数组成的集合
A1在f下的像f(A1)
A1是A的子集,集合f(A1)={f(x)|x∈A1}称为A1在f下的像
B1在f下的完全原像
(
)
集合
(
)是满足f(x)属于B1的x的集合
满射
函数f:
A→B只要值域包含于B,当值域等于B的时候称它是满射的
单射
对于函数本身要求每一个x有y与之对应(不要求y不相等),也即对于同一个y可能有不止一个x是它的第一元素。
当只有唯一的x(即不同的x)与它对应是,称为函数是单射的。
双射
函数既是满射又是单射时
常函数f(x)=c
A上的恒等函数
单调递增、减
当函数f:
A映射B,A,B为偏序集时,如果x1 注意这里的大小不是指数值而是二元关系的前后性 的特征函数 : A→{0,1} 函数 (a)={1,当a是A’的元素0,当a不是 A到商集A/R的自然映射g g是一个映射g(a)=[a]即a关于R的等价类(A中与a等价的元素构成的集合) 函数的复合与反函数 函数的复合F°G 函数是一种二元关系(元素为有序对的集合),函数的复合就是关系的右复合 函数的复合传递满射,单射,双射。 即比如函数f,g满射则f复合g也满射。 反函数 (双射函数才有反函数) 函数的逆运算不一定是函数,只是二元关系。 只有双射函数才有反函数,表示从B映射到A的函数。 函数和它反函数的复合为恒等关系IA 双射函数与集合的基数 集合的势 量度集合元素多少的量 等势A≈B 存在从A到B的双射函数,即A和B等势 B优势于AA≤·B 存在从A到B的单射函数 把自然数定义为集合 0=∅ 后继 =n∪{n}(也就是说紧跟着n的自然数(n+1)定义的集合就是n定义的集合∪元素n组成的集合,类似于数学归纳法的概念) 举例3={0,1,2} 所以m=n(元素意义)等价于m≈n(集合等势) m 有穷集,无穷集 一个集合是有穷的当且仅当他与(唯一的)某个自然数等势。 否则为无穷集。 有穷集合A的基数|A|(cardA) 与有穷集A等势的哪个唯一的自然数就是A的基数(由于等势就是存在双射函数,也就是一一对应,其实基数就是A中元素的个数) 集合的基数就是集合的势。 两个集合基数相等等价于他们等势。 自然数集合N的基数Х0阿列夫零 一个标记,即为自然数的基数。 是最小的无穷基数。 实数集R的基数Х阿列夫 可数集(可列集) 当cardA≤阿列夫零时,称A为可数集 代数结构 二元运算及其性质 S上的二元运算(简称二元运算) 函数f: S×S→S称为S上的二元运算(也就是对S中的元素组成的有序对进行操作(也就是操作有序对的第一第二元素)映射到S上的元素) 比如说f: N×N→N,f( 算符°•* 用这些符号代表f对于有序对第一第二元素的操作 S上的一元运算 从S映射到S的函数叫做一元运算 运算在S上适合“交换律” 对于任意x,y有x•y=y•x,即说运算•在S上适合交换律 结合律 (x*y)*z=x*(y*z),即说运算*在S上适合结合律 幂等律 S任意x,x•x=x,即说运算•在S上适合幂等律 幂等元 S中某些x满足幂等律,则称x为运算的幂等元 分配率 吸收率 单位元 如果e对于任意x都有e•x=x且x•e=x,则称e为关于运算的单位元(唯一),只成立其一为左单位元/右单位元 零元 如果Θ对任意x都有Θ•x=Θ且x•Θ=Θ,则称零元(唯一)只成立其一为左零元/右零元 逆元 y·x=e时,y为左逆元,同理为右逆元,同时成立为逆元(唯一),称x可逆 消去律 当x不是零元的时候,对于任意x,y,z,如果x·y=x·z的时候可以推出y=z,则运算满足左消去律,同理为满足右消去律,同时满足消去律 代数系统 代数系统(代数)V= 非空集合S和S上k个一元或二元运算组成的系统,称为一个代数系统,简称代数 模n加法x⊕y x⊕y=(x+y)modn 模n乘法x⊙y(实际符号为×在内) =(xy)modn 代数常数(特异元素) 在代数系统中比较重要的特定元素,比如说零元,单位元 同类型的代数系统(构成成分相同) 运算的个数相同: 比如说你是+-我是×÷,都是两个 对应运算的元数相同: 都是二元运算 代数常数个数相同: 都有单位元和零元 则称两个代数系统具有相同的构成成分,运算性质(满不满足交换律,结合律等等性质)却不一定一样 子代数系统(子代数)B B是个集合,元素包含于代数系统V的元素集合S,B对V的所有运算f1,f2……都封闭,代数常数也相同,就称是V的子代数系统,简称B 平凡的子代数 V最大和最小的子代数,一个是它自身,一个是它的所有代数常数组成的 V1和V2是同类型的代数系统,定义二元运算·,A和B的笛卡尔积中的有序对,两对作·运算,等于<第一元素○第一元素,第二元素*第二元素> V1,V2,是V的因子代数 代数系统同态,同构 同态映射(同态)f: A→B A中两个元素的运算结果映射到B=A的两个元素映射到B对应两个元素的运算结果 如果f是单射,就叫单同态 如果f是满射,就叫满同态,V2叫V1的同态像V1~V2 同构V1 V2 如果f是双射函数,就说明V1同构于V2 群的定义及其性质 群和半群都是具有一个二元运算的代数系统 半群V= 代数系统V唯一的二元运算,是可结合的,V就是半群 幺半群(独异点)V= 半群有关于运算的单位元e 群G(结合性,单位元,逆元) 运算有结合性,有单位元,每个元素有子集的逆元,V就是群,通常记为G 省略算符x○y变成xy 由于只有一个运算,所以省略算符表示,记住,这不是乘法简写 群G的阶(群的基数) 前面说过,集合元素的个数大致等同于集合的基数(等势概念),这里也叫阶 平凡群 只含单位元的群 阿贝尔群(交换群) 二元运算可交换 群G元素a的n次幂 a的0次幂=单位元e 其他的就是做运算一个个叠上去 负数次幂=a的逆元的正数次幂 G的元素a的阶a|k|(也叫a是k阶元) 使a的k次幂=e不是等于自身,是等于单位元的最小正整数k为a的阶(周期) 若不存在,a为无限阶元 对于单位元来说,它的阶是1,因为任何元素的1次幂是它本身 子群与群的陪集分解 子群H≤G H是G的非空子集,如果H是群,它就是G的子群 平凡子群 G(最大)和{e}(最小),叫做G的平凡子群 非空子集是子群的判定定理 第一种: a,b属于H的时候,ab属于H,并且a的逆元也属于H 第二种: a,b属于H的时候,ab-1属于H 第三种: H有穷集,a,b属于H的时候,ab属于H 概括的说,子群必须满足逆元和单位元存在 a的所有幂构成的集合 (G的)中心C C是与G中所有元素可交换的元素组成的集合 由B生成的子群 所有包含B的子群的交集 群G的子群格 S是G的所有子群的集合,R是运算,ARB表示A是B的子群 因为是偏序集,所以可以画出哈斯图 陪集Ha={ha|h∈H} a是G的元素,Ha是子群H在G中的右陪集 两个同子群的陪集要么相等,要么相交为空集 给定子群的所有右陪集的集合是G的一个划分 陪集的代表元素a 正规子群(不变子群) 对G的任何元素,比如说a,都有aH=Ha,则H叫正规子群 H在G中的指数[G: H] H在G中的陪集数目,叫做H在G中的指数 拉格朗日定理|G|=|H|·[G: H] 循环群与置换群 a叫做G的生成元 循环群有n阶循环群和无限循环群 生成元的个数求法 无限循环群只有两个a和a-1 n阶生成群生成元是有与n互素的数的个数 互素=两个数公约数只有1 比如n等于6,从0数到n-1,有1,5与n互素,所以有两个生成元 这两个生成元就是a的1次方,a的5次方 即互素数是a的幂 求循环群子群的的方法 S上的n元置换σ: S→S 双射函数σ。 S是正整数1到n的集合 σ○τ的乘积στ 这两个函数的复合 S上的k阶轮换 理解一下轮换的意思就知道是怎么置换的了。 如果k=2,就叫做对换 任何n元置换可以表示成不交的轮换之积 轮换表示式σ=(1,5,2,3,6)(4) 举例的是一个六阶的S,其中1换到5,5换到2…… 1阶轮换可以省略 n元对称群 所有的n元置换构成的集合Sn,置换的乘法满足结合律, (1)是单位元,逆置换就是逆元,所以Sn关于置换的乘法构成一个群 环与域 环是具有两个二元运算的代数系统 环 ·关于+适合分配率(1·(2+3)=1·2+1·3) 这就是个环 模n的整数环 Zn={0,1,2,……n-1},后面那是模n加法,模n乘法 为了表述方便,以后都把+作为环的第一个运算,叫环中的加法,同理环中的乘法,同时把0作为环中加法单位元,1作为环中乘法单位元。 他们都不是常规意义上的+,×,0,1了 交换环 环中乘法满足交换律 含幺环 环中乘法存在单位元 无零因子环 要是ab=0,只可能是a为0或者b为0 整环 上述三点都满足 域 R是整环 R只要有两个元素 R中元素(除0外)都有逆元 图论 图 无序积A&B={{a,b}|a∈A并且b∈B} 无序对{a,b}可记作(a,b) 无向图G= 无向图G是一个有序的二元组 顶点集V(非空有穷集) 其中元素称为顶点或结点 边集E=V&V的有穷多重(元素可重复出现)的子集 元素称为无向边,简称边 有向图D= E是笛卡尔积V×V的有穷多重子集 图的阶 顶点数就是图的阶,n个顶点的图叫n阶图 零图 一条边也没有的图 平凡图 只有一个点,没有边的图 空图∅ 没有顶点的图(也就没有边) 标定图 给每个顶点和每一条变指定符号的图 有向图的基图 把有向边改成无向边的无向图 边与点的关联次数 一个边连接的两个点,叫做他的端点 端点不同时,与某个端点关联次数为1 相同为2 不关联,为0 环=端点相同的边 点与点相邻 两点之间有一条边连接 边与边相邻 两个边至少有一个公共端点 孤立点 没有边关联的顶点 点的邻域N(v) 所有与点v相邻的的点的集合 点的关联集I(v) 所有与点v关联的边的集合 平行边 关联两个点的边多于一条,这些边叫平行边 重数 平行边的条数 简单图 不含平行边和环的图 度数d(v) 这个点作为边的端点的次数 有向图按照作为起点和终点分为入度和出度,和为度数 最大度Δ(G)最小度δ(G) 图里最大的度数和最小的度数的表示 悬挂顶点 度数为1的点 悬挂边=和悬挂顶点关联的边 握手定理 无向图: 度数之和=2边数 有向图: 出度=入度=边数 度数列d=(d1,d2,……dn)举例(5,3,3,1) 每一个对应点集中的一个点的度数 只有其中所有度数和为偶数时,d才是可图化的 对于n阶简单图来说,最大度数小于等于n-1(可以判断能不能简单图化)(这是个偏序集)
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