第10章轴对称华东师大版讲解.docx
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第10章轴对称华东师大版讲解
第一课时生活中的轴对称
一、学习目标
什么是轴对称?
什么是轴对称图形?
它们有什么性质?
你见过哪些轴对称图?
轴对称与轴对称图形有什么区别与联系?
二、重点难点
轴对称和轴对称图形的定义。
轴对称和轴对称图形的性质。
三、学前准备
直尺、圆规、铅笔预习:
P80-----P83页
四、探究过程
1、书上P80页总结,完成P81页最上面云符号问题。
如果一个图形沿一条直线,直线两旁的部分能够,这个图形就叫做轴对称图形。
这条叫做它的。
练习:
P82练习
图中的图形中是常见的安全标记,其中是轴对称图形的是( )
2、书上P81,回答第二个云符号问题,找出答案
把一个图形沿某一条直线翻折过去,如果它能够与另一个图形重合,那么这
成,这条直线就是,两个图形中的(
)叫对称点。
我们可发现:
对称轴过对称点连线的中点,并且垂直于这条线段的直线。
注意:
(1)、对称轴是,不是,也不是;
(2)、一个图形的对称轴可以有条,也可以有条。
例正方形有对称轴,等边三角形有
对称轴。
(3)轴对称图形(或关于某条直线对称的两个图形)它的对应线段(对折后重合的线段),对应角(对折后重合的角)。
还有没有什么性质?
练习:
习题10.1
2、比较轴对称和轴对称图形
如图:
△ABC沿一条直线对折后与△DEF重合,由此可知△ABC与△DEF关于直线成轴对称,且AB=,AC=,BC=,∠A=,∠B=,∠C=.同时若把△ABC、△DEF与直线看成一个整体图形,则此图形为轴对称图形。
轴对称与轴对称图形的区别与联系。
它们的区别:
(1)。
(图形个数)
(2)。
(对称点位置)
(3)。
(对称轴位置)
(4)。
(对称轴个数)
它们的联系:
(1)。
(2)。
五、应用举例:
如图已知△ABC和△A′B′C′关于MN对称,并且AB=5,BC=3,则A′C′的取值范围。
解析:
利用轴对称中对应线段的性质,想一想。
例3如图,如果直线m是多边形ABCDE的对称轴,其中∠A=130°,∠B=110°,那么∠BCD度数等于()。
A.40°B.50°C.60°D.70°
六、目标检测
1、如图所示,图中不是轴对称图形的是()
ABCD
2.我国文字非常讲究对称美,分析图中的四个图案,有别于其余三个图案的是.()
ABCD
3、请举出5个我们学过的轴对称图形,并说明它有几条对称轴。
六、拓展提高
1、李芳同学球衣上的号码是253,当他把镜子放在号码的正左边时,镜子中的号码是()
ABCD
2.如图将△ABC沿DE对折,A点落在四边形BCED内部,∠DAE与∠1、∠2之间的关系为。
3.如图所示,A,B两点关于直线DE对称,如果AC=5cm,BC=4cm,求△BCD的周长。
七、学后反思
第二课时轴对称的认识——中垂线
一、学习目标
什么是线段的垂直平分线?
怎样运用线段的垂直平分线?
二、重点难点
重点:
线段垂直平分线的性质。
难点:
运用该性质解决实际问题。
三、学前准备
直尺、圆规、铅笔。
预习书上P84页。
四、探究过程
知识链接:
1、轴对称图形的性质:
轴对称图形沿着对称轴对折后的两部分 ,所以它的
相等, 相等。
2、线段(填“是”或“不是”)轴对称图形,它有条对称轴。
完成P84做一做
1、线段垂直平分线:
且一条线段的称为这条线段的垂直平分线(又称为中垂线)。
2、线段垂直平分线的性质及判定:
线段垂直平分线上的到线段的距离相等。
反之,到线段的两个端点
的点,在上,所以线段垂直平分线可以看成是的所有点的集合。
(注意:
①点在线的垂直平分线上
点到线段两个端点的距离相等,同时这一结论向我们提供了一个说明两条线段相等的方法。
②线段的垂直平分线满足两个条件:
平分和垂直。
③由此可知线段是轴对称图形,它有两个对称轴,一条是它的垂直平分线,另一条是这条线段本身所在的直线。
)
练习:
P85练习第1题
3、画出下列三角形三边的中垂线:
完成P86第2题
五、应用举例:
例题1如图,在△ABC中,AB=6,CD⊥AB且平分AB,AC=10,则△ABC的周长为。
解析:
利用线段垂直平分线的性质,将要求的问题转化为已知条件,从而使问题巧妙求解。
例2:
已知,如图在△ABC中,AB=AC=14㎝,AB的垂直平分线交AC于点D,垂足为E,△BCD的周长为21㎝,求BC的长。
练习:
1、P102第3题
2、如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,△ABC与△ABD的周长分别为18㎝和12㎝,求线段AE的长。
例3已知某山区有三个村庄A、B、C,如图,现要建一所“希望小学”,使三个村庄的孩子上学所走的路程相等,应选在什么位置建学校?
并加以说明理由。
解析:
(解题关键)要确定到两个点距离相等的点,此
点应在以这两点为端点的线段的垂直平分线上。
六、目标检测
1、如图,在△ABC中,AD垂直平分BC,AC=EC,点B、D、C、E在同一条直线上,则AB+BD与DE之间的关系是()。
A.AB+BD>DEB.AB+BD<DE
C.AB+BD=DED.非上述答案
2、如图,△ACD的周长为50㎝,DE为AB的垂直平分线,则AC+BC=㎝。
3、在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,垂足为点E,DE交BC于点D,且AE=3,△ABD的周长为13,求△ABC的周长。
3、如图,A、B、C三点表示三个村庄,为了解决村民子女就近入学问题,计划新建一所小学,要求三个村庄到学校的距离相等,请你在图中确定学校的位置。
七、拓展提高
1、点P关于OA、OB的对称点分别是
、
,
分别交OA、OB于点D、C,
=6㎝,则△PCD的周长为。
八、学后反思
第三课时轴对称的认识——角平分线
一、学习目标
角平分线上的点有什么性质?
怎样用这个性质?
二、重点难点
1、掌握角的对称性。
2、掌握角平分线的性质。
三、学前准备
直尺、圆规、铅笔。
预习书上P85页。
四、探究过程
(一)知识链接
1、角平分线的性质:
角平分线上的点相等,角是图形,它的对称轴是。
详解:
(1)角平分线的性质中的“距离”指的是点到角两边的距离,是垂线段的长度。
(2)角的平分线是一条,三角形中的角平分线是一条,而角的对称轴是角平分线所在的,注意三者之间的区别。
(3)如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,PE⊥OA于E,PF⊥OB于F,则角平分线的性质的符号语言为:
∵∠1=,PE⊥,PF⊥
∴PE=PF()。
完成练习P86第3题
(二)应用举例:
例1、如图所示,在△ABC中,BD⊥AC于点D,AE平分∠BAC交BD于F点,∠ABC=90°。
(1)若BC=80㎝,BE:
EC=3:
5,求点E到AC的距离
(2)你能说明∠BEF=∠BFE吗?
试说出理由。
分析:
已知角平分线可得出,。
练习:
如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,S△ABC=36
,AB=18㎝,BC=12㎝,求DE的长。
例2.已知在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线交于P,试证明P点到△ABC三边的距离相等(如图示)。
分析:
欲说明P点到△ABC三边的距离相等,先P到△ABC的AB、BC距离相等,即P到∠ABC两边的距离相等,再说明P到BC、AC的距离也相等。
例3在V型公路(∠AOB)内部,有两个村庄,C、D如图示,你能选择一个纺织厂的厂址P,使P到V型公路的距离相等,且使C、D两村的工人上下班的路程一样吗?
分析:
本题应分两层次去思考
(1)到OA、OB的距离相等,符合题意的点在
(2)到点C、点E的距离相等,符合题意的点在,所以所找的P点就是
交点。
完成练习P86第4题
五、目标检测
1、下列语句中,正确的有()
①线段是轴对称图形,它只有一条对称轴;
②角的平分线是这个角的对称轴;
③若PA=PB,则P点在线段AB的中垂线上;
④若PA=PB,P点在∠AOB内部,则P点在∠AOB的平分线上。
A.0个B.1个C.2个D.3个
2、如图,OP为∠AOB的角平分线,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C、D,则下列结论错误的是()
A.PC=PDB.OC=OD
C.∠CPO=∠DPOD.OC=PC
3、如图某学校开运动会,要选一起点C,两名运动员先从C点出发分别到E、F两处取物品,然后负重回到C,再分别将物品送到OA、OB的路上,你能找到一个公平的点C吗?
两名运动员又应沿怎样的路线走?
4、如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,BC=8㎝,BD=5㎝,那么点D到直线AB的距离是。
六、拓展提高
1、如图,PA、PC分别是△ABC的外角∠MAC与∠NCA的平分线,它们交于P点,PD⊥BM,PF⊥BN,垂足分别为D、F,那么BP为∠MBN的平分线吗?
为什么?
2、如图,直线L1、L2、L3表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,你能说出可供选择的地址有几处吗?
七、学后反思
第四课时画图形的对称轴和轴对称图形
一、学习目标
怎样根据已知图形画对称轴?
怎样利用已知图形和对称轴画出另一部份图形?
二、重点难点
掌握对称轴和轴对称图形的画法。
三、学前准备(学法指导、预习内容)
直尺、圆规、铅笔。
预习:
P86-----P87页。
P89-----90页
四、探究过程
做一做:
将右图所有应点连起来并填空
(1)连结对称点的线段,被对称轴。
(2)当对称点重合时,对称轴这个点。
(填“经过”或“不经过”)
(3)轴对称图形中,所有对称点连线互相。
1、画出P86试一试和P87做一做图形的对称轴
2、根据上面的信息,试着画出下列轴对称及轴对称图形的对称轴
注:
轴对称图形的对称轴是一条直线,有时不止一条,甚至有无数条。
3、对称轴的画法:
①,②。
例:
如图,要在河边修一座水泵站,分别向张村和李村送水,水泵站修在河边哪个位置,可使所用水管最短?
分析:
利用“两点之间线段最短”来思考
4、若已知一个图形和对称轴,如何画出另一部分?
请试着补全下列图形。
我们总结一下找对应点的方法:
①,②,
。
五、目标检测
1、在上图画出四边形ABCD关于直线l成轴对称的另一个图形
A
BC
D
2、如果一个三角形的在两边的垂直平分线的交点在第三边上,那么这个三角()。
A、锐角三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、无法确定
3、轴对称图形的对应点连线被垂直平分。
4、如图,在等腰三角形△ABC中,AB=AC=20,DE垂直平分AB,若△DBC的周长为35,则BC=。
若BC=16,则△DBC的周长为。
六、拓展提高
1、如图,已知直线L两侧的A、B两点,在L上找一点C,使C到A、B的距离之差最小,并说明作图依据。
2、如图,四边形EFGH是一长方形的台球桌,有黑、白两球分别为A、B两点。
(1)怎样撞击黑球A,使黑球A先碰撞台边EF,反弹后再击中白球B?
(2)怎样撞击黑球A,使黑球先碰撞台边GH,反弹后再碰撞台边EF,最后击中白球B?
分析:
利用轴对称的性质,问题得解。
3、已知,如图,在小河(宽度为d)的两岸有村庄A、B,现有在小河上造一座桥(要求桥垂直于小河),使从A村到B村所行路程最短。
问小桥应建在哪里?
4、:
如图所示,∠1=∠2,且AB>AC,点P是AD上的一点。
求证:
PB-PC<AB-AC
分析:
利用对称轴将所求证的线段集中一个三角形中,再利用三角形三边之间的关系,便可使问题得到解决。
七、学后反思
第五课时设计轴对称图案
一、学习目标
1.使学生能利用米字格设计简单的轴对称图案。
2.使学生能够欣赏现实生活中的轴对称图形。
二、重点难点
重点:
利用对称轴进行图案设计。
难点;寻找对称轴以及如何利用对称轴作轴对称图形
三、学前准备(学法指导、预习内容)
P91-92
四、探究过程(知识链接、典型例题)
1.如图
(1),请画出△ABC的关于直线l对称的图形。
A
B C
图
(1) 图
(2)
2.如图
(2),等边△ABC是轴对称图形吗?
如果是,它有几条对称轴?
画画试试看。
二、新课
在日常生活中,我们可以看到丰富多彩的装饰图案,仔细观察这些装饰图案,你会发现其中有许多轴对称图形。
请同学们欣赏P91四个装饰图案。
如图(3)是一个轴对称图形。
问:
第一个图形有条对称轴;第二个图形有条对称轴;第三个图形有条对称轴;第四个图形有条对称轴;
2.请选一个图形可以利用轴对称性把安画出来。
请准备一张正方形纸片,按以下5个步骤一起来画。
(1)在正方形纸片上画出四条对称轴。
(2)在其中一个三角形中,画出图形形状的基本线条。
(注意:
不同的线条最终会得到不同的图案,你可以自己设计线条,而不必和书上一样。
)
(3)按照其中一条斜的对称轴画出
(2)中图形的对称图形。
(4)按照另一条斜的对称轴画出(3)中图形的对称图形。
(5)按照水平(或垂直)对称画出(4)中图形的对称图形,即得到图(3)中的图。
在图案上涂上你喜欢的颜色,擦掉其他的线条,轴对称的图案就完成了。
五、目标检测 利用上图设计一个轴对称图案六、学后反思
第六课时等腰三角形
一、学习目标
什么是等腰三角形?
等腰三角形有哪些性质?
等腰三角形的“三线合一”指的是什么?
如何运用这一性质?
二、重点难点
重点:
等腰三角形等边对等角性质。
难点:
通过操作,如何观察、分析、归纳得出等腰“三线合一”。
三、学前准备
预习P94-P96
四、探究过程
1、条边相等的三角形叫等腰三角形。
如图可用数学语言来表示。
2、等腰三角形中,的两边叫做腰,另一边叫做,
两腰的夹角叫做,腰和底边的夹角叫做。
请在图上注明。
3、预习P95页:
可以得出等腰三角形的两个底角(简写成“”)
这是因为:
等腰三角形是一个图形,它的两底角在折叠后能够。
4、看上图,用数学语言表示这个性质为:
∵
∴()
5、如图等腰三角形ABC中,AB=CD,现将它沿它的对称轴翻折,
可以看出:
1)BD=,说明AD是;
2)∠BAD=∠,说明AD;
3)∠ADB=∠=,说明AD。
由此可以知道:
等腰三角形的、和互相重合,简称“”
填空:
几何语言表达
∵AB=AC,∠1=∠2
∴
∵AB=AC,BD=CD
∴
∵AB=AC,AD⊥BC
∴
应用举例:
例1已知:
在△ABC中,AB=AC,∠B=80°,求∠C和∠A的度数。
例2填空:
(1)已知等腰三角形的一个内角为72°,则它的另外两个角为
(2)等腰三角形三边长分别为4,4,10,现在底边上做一条高,现已知高为3,则分成的两个三角形周长分别是
(3)已知等腰三角形周长为20,则它的腰的范围,底的范围
例3.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,∠B=30。
求∠1和∠ADC的度数.
例3.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,D为BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,请问DE等于DF吗?
并说明理由。
五、目标检测
1、在ΔABC中,AB=AC,∠B=50°,则∠A=,
∠C=。
2、等腰三角形的一个角为70°,则底角是。
3、书上P97练习
六、拓展提高
如图:
ΔABC中,AB=AC,CD⊥AB于D,求证:
∠BCD=∠A
方法一:
A
D
CEB
方法二:
A
D
CBE
结论:
七、学后反思
第七课时等腰三角形
一、学习目标
怎样识别是否是等腰三角形?
什么样的三角形是等腰直角三角形?
二、重点难点
1、掌握等腰三角形的识别。
2、掌握等腰直角三角形的定义。
三、学前准备
学习用具:
直尺、圆规、铅笔。
预习:
P97---P99。
四、探究过程
1、是等腰三角形。
等腰三角形的性质
等腰三角形的相等。
等腰三角形的、和互相重合,简称“”
看书P98页完成做一做
2、判断一个三角形是等腰三角形的方法是:
用定义判断:
如果一个三角形有相等,那么这两个角所对的边也。
简写成“”。
如图,用数学语言表示为:
3、等腰直角三角形:
顶角为的等腰三角形。
例1填空:
1、等腰三角形中两边分别为3和6,则这个三角形周长为
2、如图,等腰直角三角形中,∠A=90°,BD是角形分线,DE⊥BC,BC=20,则ΔDCE的周长为
例2如图,△ABC中,BE是△ABC的角平分线,DE∥BC,试证明△DBE为等腰三角形。
分析:
要证△DBE为等腰三角形,就需证明BD=DE,证明∠DBE=∠DEB即可。
练习如图,△ABC中,∠A=36°,∠C=72°,BD是△ABC的角平分线,请找出图中所有的等腰三角形。
并加以证明。
分析:
判断等腰三角形往往是通过“等角对等边”。
例3如图,△ABC中,AB=AC,过BC边上一点D作BC的垂线,交BA的延长线于Q,交AC于P,请判断△APQ的形状,并说明你的结论。
练习如图,△ABC中,D为AC上一点,DE⊥AB于E,ED的延长线交BC的延长线于F,且CD=CF,请说明△ABC是等腰三角形。
五、目标检测1、已知△ABC中,∠A=80°,∠B=50°,则△ABC是三角形。
2、如图,在△ABC中,∠B=∠C=40°,D、E是BC上两点,且∠ADE=∠AED=80°,则图中共有个等腰三角形。
3、如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE分别是∠ABC与∠ACB的角平分线,且相交于点F,则图中的等腰三角形共有()。
A.6个B.7个C.8个D.9个
4、如图,O是△ABC的两内角平分线BO、CO的交点,OD∥AB,OE∥AC,则△ODE的周长与BC有何关系?
为什么?
六、拓展提高
1、在等边ΔABC所在平面内取一点P,使得ΔPBC、ΔPAC、ΔPAB都是等腰三角形,则具有这一性质的点有个.
2、如图,∠MON是一个钢架,∠MON=10°。
在其内部添加一些钢管BC,CD,DE,EF,FG……添加的钢管长度都与OB相等。
(1)当添加到第五根钢管时,求∠FGM的度数。
(2)假设OM,ON足够长,能无限地添加下去?
如果能,请说明理由,如果不能,最多能添加几根?
七、学后反思
第八课时等边三角形
一、学习目标
什么是等边三角形?
它有什么样的性质?
怎样去判断一个三角形是否是等边三角形?
二、重点难点
等边三角形的性质及识别。
三、学前准备
学习用具:
直尺、圆规、铅笔。
预习:
P97。
四、探究过程
1、是等腰三角形。
2、等腰三角形的性质
3、等边三角形的概念:
的三角形叫等边三角形。
注意:
由定义可知,等边三角形是一种特殊的三角形,也就是说等腰三角形包括等边三角形。
等边三角形有三条对称轴,是。
等边三角形也称为正三角形。
等边三角形是轴对称图形,有条对称轴。
等边三角形的性质及识别:
4、等边三角形的性质:
等边三角形具有等腰三角形的一切性质,如:
除此之外,等边三角形的三边,三个内角并且每个内角都。
例1如图四边形ABCD是正方形,△PAD是等边三角形,求∠BPC的度数。
分析:
易得和是两个等腰三角形,且其顶角可求,
故可算出、的度数,从而求出∠BPC的度数。
注意:
①在已知底角(或顶角)时,可求等腰三角形的内角的度数。
②寻找所求的角和已知角之间的关系,用于求角的大小。
练习:
5、等边三角形识别方法:
利用定义:
用数学语言表示为:
A
三个角都的三角形用数学语言表示为:
是等边三角形。
有一个角是用数学语言表示为:
是等边三角形。
BC
注意:
识别
是通过“等角对等边”来说明它是一个等边三角形,也可以转变为两个角都是60°的三角形是等边三角形;识别
和
是在三角形的条件下,识别
是在等腰三角形的条件下,识别
中的60°角可以是顶角也可以是底角;从对称轴的条数考虑:
有三条对称轴的三角形是等边三角形。
例2等边三角形ABC的边AB、AC上分别截取AD=AE,ΔADE是等边三角形?
请说明理由。
例3如图AD是△ABC的中线且∠ADC=60°,把△ADC沿直线AD折过来,点C落在点C′的位置,如果BC=4,求BC′的长度。
分析:
沿中线AD翻折后,可得到∠ADC===60°且BD==,
所以△BDC′为一个等边三角形,就可得到BC′的长度。
注意:
①求线段的长度时,应将它与已知线段发生联系。
②当题目中出现等腰、60°角等条件时,应联想等边三角形,利用等边三角形的有关知识解题。
五、目标检测
1、一个三角形三边上的中垂线交于一点,则这个三角形是三角形。
2、一个三角形的三条外角平分线与其中一边平行,这个三角形是()。
A、等腰三角形B、等边三角形C、等腰直角三角形D、直角三角形
3、如图将一个(30°,60°)的直角三角尺沿60°所对的直角边翻折,新三角形与原三角形构成一个新的三角形,这个三角形是三角形,其中30°角所对的直角边等于斜边的。
4、如图:
△ABC是等边三角形,BD、CE、是中线,
求∠CBD、∠BOE、∠BOC、∠EOD的度数。
六、拓展提高
1、如图,△ABC是等边三角形,D、E是边BC、AC上的点,连接BE、AD交于点P,
∠1=∠2,BQ⊥AD于Q,
求∠PBQ的度数。
(
求PQ与BP的关系)
七、学后反思
第九课时等腰三角形的性质及判定练习
(一)
1、已知:
DA//BC,BC=CE,试说明∠A=∠E。
2、
已知:
AC=AB,AE是ΔABC的外角平分线,试说明AE//BC。
3、已知如图AB=AC,BD=CD,AD、BC交于点O,
试说明:
AD
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