动态规划动态转移方程大全.docx
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动态规划动态转移方程大全.docx
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动态规划动态转移方程大全
1.资源问题1
-----机器分配问题
F[I,j]:
=max(f[i-1,k]+w[i,j-k])
2.资源问题2
------01背包问题
F[I,j]:
=max(f[i-1,j-v]+w,f[i-1,j]);
3.线性动态规划1
-----朴素最长非降子序列
F:
=max{f[j]+1}
4.剖分问题1
-----石子合并
F[i,j]:
=min(f[i,k]+f[k+1,j]+sum[i,j]);
5.剖分问题2
-----多边形剖分
F[I,j]:
=min(f[i,k]+f[k,j]+a[k]*a[j]*a);
6.剖分问题3
------乘积最大
f[i,j]:
=max(f[k,j-1]*mult[k,i]);
7.资源问题3
-----系统可靠性(完全背包)
F[i,j]:
=max{f[i-1,j-c*k]*P[I,x]}
8.贪心的动态规划1
-----快餐问题
F[i,j,k]:
=max{f[i-1,j',k']+(T-(j-j')*p1-(k-k')*p2)divp3}
9.贪心的动态规划2
-----过河f=min{{f(i-k)}(notstone)
{f(i-k)}+1}(stone);+贪心压缩状态
10.剖分问题4
-----多边形-讨论的动态规划
F[i,j]:
=max{正正f[I,k]*f[k+1,j];
负负g[I,k]*f[k+1,j];
正负g[I,k]*f[k+1,j];
负正f[I,k]*g[k+1,j];}g为min
11.树型动态规划1
-----加分二叉树(从两侧到根结点模型)
F[I,j]:
=max{f[I,k-1]*f[k+1,j]+c[k]}
12.树型动态规划2
-----选课(多叉树转二叉树,自顶向下模型)
F[I,j]表示以i为根节点选j门功课得到的最大学分
f[i,j]:
=max{f[t.l,k]+f[t.r,j-k-1]+c}
13.计数问题1
-----砝码称重
f[f[0]+1]=f[j]+k*w[j];
(1<=i<=n;1<=j<=f[0];1<=k<=a;)
14.递推天地1
------核电站问题
f[-1]:
=1;f[0]:
=1;
f:
=2*f[i-1]-f[i-1-m]
15.递推天地2
------数的划分
f[i,j]:
=f[i-j,j]+f[i-1,j-1];
16.最大子矩阵1
-----一最大01子矩阵
f[i,j]:
=min(f[i-1,j],v[i,j-1],v[i-1,j-1])+1;
ans:
=maxvalue(f);
17.判定性问题1
-----能否被4整除
g[1,0]:
=true;g[1,1]:
=false;g[1,2]:
=false;g[1,3]:
=false;
g[i,j]:
=g[i-1,k]and((k+a[i,p])mod4=j)
18.判定性问题2
-----能否被k整除
f[I,j±nmodk]:
=f[i-1,j];-k<=j<=k;1<=i<=n
20.线型动态规划2
-----方块消除游戏
f[i,i-1,0]:
=0
f[i,j,k]:
=max{f[i,j-1,0]+sqr(len(j)+k),
f[i,p,k+len[j]]+f[p+1,j-1,0]}
ans:
=f[1,m,0]
21.线型动态规划3
-----最长公共子串,LCS问题
f[i,j]={0(i=0)&(j=0);
f[i-1,j-1]+1(i>0,j>0,x=y[j]);
max{f[i,j-1]+f[i-1,j]}}(i>0,j>0,x<>y[j]);
22.最大子矩阵2
-----最大带权01子矩阵O(n^2*m)
枚举行的起始,压缩进数列,求最大字段和,遇0则清零
23.资源问题4
-----装箱问题(判定性01背包)
f[j]:
=(f[j]orf[j-v]);
24.数字三角形1
-----朴素の数字三角形
f[i,j]:
=max(f[i+1,j]+a[I,j],f[i+1,j+1]+a[i,j]);
25.数字三角形2
-----晴天小猪历险记之Hill
同一阶段上暴力动态规划
if[i,j]:
=min(f[i,j-1],f[I,j+1],f[i-1,j],f[i-1,j-1])+a[i,j]
26.双向动态规划1
数字三角形3
-----小胖办证
f[i,j]:
=max(f[i-1,j]+a[i,j],f[i,j-1]+a[i,j],f[i,j+1]+a[i,j])
27.数字三角形4
-----过河卒
//边界初始化
f[i,j]:
=f[i-1,j]+f[i,j-1];
28.数字三角形5
-----朴素的打砖块
f[i,j,k]:
=max(f[i-1,j-k,p]+sum[i,k],f[i,j,k]);
29.数字三角形6
-----优化的打砖块
f[I,j,k]:
=max{g[i-1,j-k,k-1]+sum[I,k]}
30.线性动态规划3
-----打鼹鼠’
f:
=f[j]+1;(abs(x-x[j])+abs(y-y[j])<=t-t[j])
31.树形动态规划3
-----贪吃的九头龙
32.状态压缩动态规划1
-----炮兵阵地
Max(f[Q*(r+1)+k],g[j]+num[k])
If(mapandplan[k]=0)and
((plan[P]orplan[q])andplan[k]=0)
33.递推天地3
-----情书抄写员
f:
=f[i-1]+k*f[i-2]
34.递推天地4
-----错位排列
f:
=(i-1)(f[i-2]+f[i-1]);
f[n]:
=n*f[n-1]+(-1)^(n-2);
35.递推天地5
-----直线分平面最大区域数
f[n]:
=f[n-1]+n
:
=n*(n+1)div2+1;
36.递推天地6
-----折线分平面最大区域数
f[n]:
=(n-1)(2*n-1)+2*n;
37.递推天地7
-----封闭曲线分平面最大区域数
f[n]:
=f[n-1]+2*(n-1)
:
=sqr(n)-n+2;
38递推天地8
-----凸多边形分三角形方法数
f[n]:
=C(2*n-2,n-1)divn;
对于k边形
f[k]:
=C(2*k-4,k-2)div(k-1);//(k>=3)
39递推天地9
-----Catalan数列一般形式
1,1,2,5,14,42,132
f[n]:
=C(2k,k)div(k+1);
40递推天地10
-----彩灯布置
排列组合中的环形染色问题
f[n]:
=f[n-1]*(m-2)+f[n-2]*(m-1);(f[1]:
=m;f[2]:
=m(m-1);
41线性动态规划4
-----找数
线性扫描
sum:
=f+g[j];
(ifsum=Aimthengetout;ifsum 42线性动态规划5 -----隐形的翅膀 min: =min{abs(w/w[j]-gold)}; ifw/w[j] 43剖分问题5 -----最大奖励 f: =max(f,f[j]+(sum[j]-sum)*i-t 44最短路1 -----Floyd f[i,j]: =max(f[i,j],f[i,k]+f[k,j]); ans[q[i,j,k]]: =ans[q[i,j,k]]+s[i,q[i,j,k]]*s[q[i,j,k],j]/s[i,j]; 45剖分问题6 -----小H的小屋 F[l,m,n]: =f[l-x,m-1,n-k]+S(x,k); 46计数问题2 -----陨石的秘密(排列组合中的计数问题) Ans[l1,l2,l3,D]: =f[l1+1,l2,l3,D+1]-f[l1+1,l2,l3,D]; F[l1,l2,l3,D]: =Sigma(f[o,p,q,d-1]*f[l1-o,l2-p,l3-q,d]); 47线性动态规划 ------合唱队形 两次F: =max{f[j]+1}+枚举中央结点 48资源问题 ------明明的预算方案: 加花的动态规划 f[i,j]: =max(f[i,j],f[l,j-v-v[fb]-v[fa]]+v*p+v[fb]*p[fb]+v[fa]*p[fa]); 49资源问题 -----化工场装箱员 50树形动态规划 -----聚会的快乐 f[i,2]: =max(f[i,0],f[i,1]); f[i,1]: =sigma(f[t^.son,0]); f[i,0]: =sigma(f[t^.son,3]); 51树形动态规划 -----皇宫看守 f[i,2]: =max(f[i,0],f[i,1]); f[i,1]: =sigma(f[t^.son,0]); f[i,0]: =sigma(f[t^.son,3]); 52递推天地 -----盒子与球 f[i,1]: =1; f[i,j]: =j*(f[i-1,j-1]+f[i-1,j]); 53双重动态规划 -----有限的基因序列 f: =min{f[j]+1} g[c,i,j]: =(g[a,i,j]andg[b,i,j])or(g[c,i,j]) 54最大子矩阵问题 -----居住空间 f[i,j,k]: =min(min(min(f[i-1,j,k],f[i,j-1,k]), min(f[i,j,k-1],f[i-1,j-1,k])), min(min(f[i-1,j,k-1],f[i,j-1,k-1]), f[i-1,j-1,k-1]))+1; 55线性动态规划 ------日程安排 f: =max{f[j]}+P[I];(e[j] 56递推天地 ------组合数 C[I,j]: =C[i-1,j]+C[I-1,j-1] C[I,0]: =1 57树形动态规划 -----有向树k中值问题 F[I,r,k]: =max{max{f[l,I,j]+f[r,I,k-j-1]},f[f[l,r,j]+f[r,r,k-j]+w[I,r]]} 58树形动态规划 -----CTSC2001选课 F[I,j]: =w(ifi∈P)+f[l,k]+f[r,m-k](0≤k≤m)(ifl<>0) 59线性动态规划 -----多重历史 f[i,j]: =sigma{f[i-k,j-1]}(ifchecked) 60背包问题(+-1背包问题+回溯) -----CEOI1998Substract f[i,j]: =f[i-1,j-a]orf[i-1,j+a] 61线性动态规划(字符串) -----NOI2000古城之谜 f[i,1,1]: =min{f[i+length(s),2,1],f[i+length(s),1,1]+1}f[i,1,2]: =min{f[i+length(s),1,2]+words[s],f[i+length(s),1,2]+words[s]} 62线性动态规划 -----最少单词个数 f[i,j]: =max{f[I,j],f[u-1,j-1]+l} 63线型动态规划 -----APIO2007数据备份 状态压缩+剪掉每个阶段j前j*2个状态和j*2+200后的状态贪心动态规划 f: =min(g[i-2]+s,f[i-1]); 64树形动态规划 -----APIO2007风铃 f: =f[l]+f[r]+{1(ifc[l] g: =1(d[l]<>d[r])0(d[l]=d[r]) g[l]=g[r]=1thenHalt; 65地图动态规划 -----NOI2005adv19910 F[t,i,j]: =max{f[t-1,i-dx[d[[t]],j-dy[d[k]]]+1],f[t-1,i,j]; 66地图动态规划 -----优化的NOI2005adv19910 F[k,i,j]: =max{f[k-1,i,p]+1}j-b[k]<=p<=j; 67目标动态规划 -----CEOI98subtra F[I,j]: =f[I-1,j+a]orf[i-1,j-a] 68目标动态规划 -----Vijos1037搭建双塔问题 F[value,delta]: =g[value+a,delta+a]org[value,delta-a] 69树形动态规划 -----有线电视网 f[i,p]: =max(f[i,p],f[i,p-q]+f[j,q]-map[i,j]) leaves>=p>=l,1<=q<=p; 70地图动态规划 -----vijos某题 F[I,j]: =min(f[i-1,j-1],f[I,j-1],f[i-1,j]); 71最大子矩阵问题 -----最大字段和问题 f: =max(f[i-1]+b,b);f[1]: =b[1] 72最大子矩阵问题 -----最大子立方体问题 枚举一组边i的起始,压缩进矩阵B[I,j]+=a[x,I,j] 枚举另外一组边的其实,做最大子矩阵 73括号序列 -----线型动态规划 f[I,j]: =min(f[I,j],f[i+1,j-1](ss[j]=”()”or(”[]”)), f[I+1,j+1]+1(s[j]=”(”or”[”],f[I,j-1]+1(s[j]=”)”or”]”) 74棋盘切割 -----线型动态规划 f[k,x1,y1,x2,y2]=min{min{f[k-1,x1,y1,a,y2]+s[a+1,y1,x2,y2], f[k-1,a+1,y1,x2,y2]+s[x1,y1,a,y2] min{}} 75概率动态规划 -----聪聪和可可(NOI2005) x: =p[p[i,j],j] f[I,j]: =(f[x,b[j,k]]+f[x,j])/(l[j]+1)+1 f[I,i]=0 f[x,j]=1 76概率动态规划 -----血缘关系 F[A,B]=(f[A0,B]+P[A1,B])/2 f[I,i]=1 f[I,j]=0(I,j无相同基因) 77线性动态规划 -----决斗 F[I,j]=(f[I,j]andf[k,j])and(e[I,k]ore[j,k]),i 78线性动态规划 -----舞蹈家 F[x,y,k]=min(f[a[k],y,k+1]+w[x,a[k]],f[x,a[k],k+1]+w[y,a[k]]) 79线性动态规划 -----积木游戏 F[I,a,b,k]=max(f[I,a+1,b,k],f[i+1,a+1,a+1,k’],f[I,a+1,a+1,k’]) 80树形动态规划(双次记录) -----NOI2003逃学的小孩 朴素的话枚举节点i和离其最远的两个节点j,kO(n^2) 每个节点记录最大的两个值,并记录这最大值分别是从哪个相邻节点传过来的。 当遍历到某个孩子节点的时候,只需检查最大值是否是从该孩子节点传递来的。 如果是,就取次大,否则取最大值 81树形动态规划(完全二叉树) -----NOI2006网络收费 F[I,j,k]表示在点i所管辖的所有用户中,有j个用户为A,在I的每个祖先u上,如果N[a]>N则标0否则标1,用二进制状态压缩进k中,在这种情况下的最小花费 F[I,j,k]: =min{f[l,u,kand(s<<(i-1))]+w1,f[r,j-u,kand(s<<(i-1))]} 82树形动态规划 -----IOI2005河流 F: =max 83记忆化搜索 -----Vijos某题,忘了 F[pre,h,m]: =sigma{SDP(I,h+1,M+i)}(pre<=i<=M+1) 84状态压缩动态规划 -----APIO2007动物园 f[I,k]: =f[i-1,kandnot(1<<4)]+NewAddVal 85树形动态规划 -----访问术馆 f[i,j-c×2]: =max(f[l,k],f[r,j-c×2-k]) 86字符串动态规划 -----Ural1002Phone ifexist(copy(s,j,i-j))thenf: =min(f,f[j]+1); 87多进程动态规划 -----CEOI2005service Min(f[i,j,k],f[i-1,j,k]+c[t[i-1],t]) Min(f[i,t[i-1],k],f[i-1,j,k]+c[j,t]) Min(f[i,j,t[i-1]],f[i-1,j,k]+c[k,t]) 88多进程动态规划 -----Vijos1143三取方格数 max(f[i,j,k,l],f[i-1,j-R[m,1],k-R[m,2],l-R[m,3]]); if(j=k)and(k=l)theninc(f[i,j,k,l],a[j,i-j])else if(j=k)theninc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[l,i-l])else if(k=l)theninc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[k,i-k])else if(j=l)theninc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[k,i-k])else inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[k,i-k]+a[l,i-l]); 89线型动态规划 -----IOI2000邮局问题 f[i,j]: =min(f[I,j],f[k,j-1]+d[k+1,i]); 90线型动态规划 -----Vijos1198最佳课题选择 ifj-k>=0thenMin(f[i,j],f[i-1,j-k]+time(i,k)); 91背包问题 -----USACORaucousRockers 多个背包,不可以重复放物品,但放物品的顺序有限制。 F[I,j,k]表示决策到第i个物品、第j个背包,此背包花费了k的空间。 f[I,j,k]: =max(f[I-1,j,k],f[I-1,j,k-t]+p,f[i-1,j-1,maxtime-t]) 92多进程动态规划 -----巡游加拿大(IOI95、USACO) d[i,j]=max{d[k,j]+1(a[k,i]&j f[i,j]表示从起点出发,一个人到达i,另一个人到达j时经过的城市数。 d[i,j]=d[j,i],所以我们限制i>j 分析状态(i,j),它可能是(k,j)(j 但它不能是(i,k)(k 即使不会出现重复路径,那么它由(j,k)通过方式2同样可以得到,所以不会遗漏解时间复杂度O(n3) 93动态规划 -----ZOJcheese f[i,j]: =f[i-kk*zl[u,1],j-kk*zl[u,2]]+a[i-kk*zl[u,1],j-kk*zl[u,2]] 94动态规划 -----NOI2004berry线性 F[I,1]: =s F[I,j]: =max{min{s-s[l-1]},f[l-1,j-1]}(2≤j≤k,j≤l≤i) 95动态规划 -----NOI2004berry完全无向图 F[I,j]: =f[i-1,j]or(j≥w)and(f[i-1,j-w]) 96动态规划 -----石子合并四边形不等式优化 m[i,j]=max{m[i+1,j],m[i,j-1]}+t[i,j] 97动态规划 -----CEOI2005service (k≥long,i≥1)g[i,j,k]=max{g[i-1,j,k-long]+1,g[i-1,j,k]} (k (0≤j≤m,0≤k ans: =g[n,m,0]。 状态优化: g[i,j]=min{g[i-1,j],g[i-1,j-1]+long} 其中(a,b)+long=(a’,b’)的计算方法为: 当b+long≤t时: a’=a;b’=b+long; 当b+long>t时: a’=a+1;b’=long; 规划的边界条件: 当0≤i≤n时,g[i,0]=(0,0) 98动态规划 -----AHOI2006宝库通道 f[k]: =max{f[k-1]+x[k,j]-x[k,i-1],x[k,j]-x[k,i-1]} 99动态规划 -----Travel A)费用最少的旅行计划。 设f表示从起点到第i个旅店住宿一天的最小费用;g表示从起点到第i个旅店住宿一天,在满足最小费用的前提下所需要的最少天数。 那么: f=f[x]+v,g=g[x]+1 x满足: 1、x 2、对于所有的t A.g[x] f[0]=0,g[0]=0。 Ans: =f[n+1],g[n+1]。 B).天数最少的旅行计划。 方法其实和第一问十分类似。 设g’表示从起点到第i个旅店住宿一天的最少天数;f’表示从起点到第i个旅店住宿一天,在满足最小天数前提下所需要的最少费用。 那么: g’=g’[x]+1,f’=f’[x]+v x满足: 1、x 2、对于所有的t f’[x] g’[x] f’[0]=0,g’[0]=0。 Ans: =f’[n+1],g’[n+1]。 100动态规划 -----NOI2007cash y: =f[j]/(a[j]*c[j]+b[j]); g: =c[j]*y*a+y*b; f: =max(f,g)
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