新人教A版版高考数学大一轮复习第八章平面解析几何第6节双曲线讲义理.docx
- 文档编号:10882641
- 上传时间:2023-02-23
- 格式:DOCX
- 页数:17
- 大小:67.04KB
新人教A版版高考数学大一轮复习第八章平面解析几何第6节双曲线讲义理.docx
《新人教A版版高考数学大一轮复习第八章平面解析几何第6节双曲线讲义理.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《新人教A版版高考数学大一轮复习第八章平面解析几何第6节双曲线讲义理.docx(17页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
新人教A版版高考数学大一轮复习第八章平面解析几何第6节双曲线讲义理
考试要求 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).
知识梳理
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2(|F1F2|=2c>0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式:
集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0:
(1)若a (2)若a=c时,则集合P为两条射线; (3)若a>c时,则集合P为空集. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0) 图 形 性 质 范围 x≥a或x≤-a,y∈R x∈R,y≤-a或y≥a 对称性 对称轴: 坐标轴;对称中心: 原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) 渐近线 y=±x y=±x 离心率 e=,e∈(1,+∞) 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长度|A1A2|=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长度|B1B2|=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长 a,b,c的关系 c2=a2+b2 [微点提醒] 1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为. 2.离心率e===. 3.等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于. 基础自测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( ) (2)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( ) (3)方程-=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( ) (4)双曲线-=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是±=0.( ) (5)若双曲线-=1(a>0,b>0)与-=1(a>0,b>0)的离心率分别是e1,e2,则+=1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).( ) 解析 (1)因为||MF1|-|MF2||=8=|F1F2|,表示的轨迹为两条射线. (2)由双曲线的定义知,应为双曲线的一支,而非双曲线的全部. (3)当m>0,n>0时表示焦点在x轴上的双曲线,而m<0,n<0时则表示焦点在y轴上的双曲线. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ 2.(选修2-1P62A6改编)经过点A(3,-1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________________. 解析 设双曲线方程为: x2-y2=λ(λ≠0),把点A(3,-1)代入,得λ=8,故所求双曲线方程为-=1. 答案 -=1 3.(选修2-1P61A1改编)已知双曲线x2-=1上一点P到它的一个焦点的距离等于4,那么点P到另一个焦点的距离等于________. 解析 设双曲线的焦点为F1,F2,|PF1|=4,则||PF1|-|PF2||=2,故|PF2|=6或2,又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c-a=-1,故|PF2|=6. 答案 6 4.(2018·浙江卷)双曲线-y2=1的焦点坐标是( ) A.(-,0),(,0)B.(-2,0),(2,0) C.(0,-),(0,)D.(0,-2),(0,2) 解析 由题可知双曲线的焦点在x轴上,又c2=a2+b2=3+1=4,所以c=2,故焦点坐标为(-2,0),(2,0). 答案 B 5.(2017·全国Ⅲ卷)双曲线-=1(a>0)的一条渐近线方程为y=x,则a=________. 解析 由题意可得=,所以a=5. 答案 5 6.(2018·北京卷)若双曲线-=1(a>0)的离心率为,则a=________. 解析 由题意可得,=,即a2=16,又a>0,所以a=4. 答案 4 考点一 双曲线的定义及应用 【例1】 (1)已知F1,F2为双曲线C: x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=( ) A.B.C.D. (2)(2019·济南调研)已知圆C1: (x+3)2+y2=1和圆C2: (x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为____________. 解析 (1)由x2-y2=2,知a=b=,c=2.由双曲线定义知,|PF1|-|PF2|=2a=2,又|PF1|=2|PF2|, ∴|PF1|=4,|PF2|=2, 在△PF1F2中,|F1F2|=2c=4,由余弦定理,得 cos∠F1PF2==. (2)如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B. 根据两圆外切的条件, 得|MC1|-|AC1|=|MA|, |MC2|-|BC2|=|MB|, 因为|MA|=|MB|, 所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|, 即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2, 所以点M到两定点C1,C2的距离的差是常数且小于|C1C2|=6. 又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小), 其中a=1,c=3,则b2=8. 故点M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1). 答案 (1)C (2)x2-=1(x≤-1) 规律方法 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程; 2.在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|,|PF2|的联系. 【训练1】 (1)已知双曲线C: -=1(a>0,b>0)的离心率为2,左、右焦点分别为F1,F2,点A在双曲线C上,若△AF1F2的周长为10a,则△AF1F2的面积为( ) A.2a2B.a2 C.30a2D.15a2 (2)(2019·杭州质检)双曲线C的渐近线方程为y=±x,一个焦点为F(0,-),点A(,0),点P为双曲线第一象限内的点,则当点P的位置变化时,△PAF周长的最小值为( ) A.8B.10C.4+3D.3+3 解析 (1)由双曲线的对称性不妨设A在双曲线的右支上,由e==2,得c=2a,∴△AF1F2的周长为|AF1|+|AF2|+|F1F2|=|AF1|+|AF2|+4a,又△AF1F2的周长为10a,∴|AF1|+|AF2|=6a,又∵|AF1|-|AF2|=2a, ∴|AF1|=4a,|AF2|=2a,在△AF1F2中,|F1F2|=4a, ∴cos∠F1AF2= ==. 又0<∠F1AF<π,∴sin∠F1AF2=, ∴S△AF1F2=|AF1|·|AF2|·sin∠F1AF2=×4a×2a×=a2. (2)由已知得双曲线方程为-=1,设双曲线的另一个焦点为F′,则|PF|=|PF′|+4,△PAF的周长为|PF|+|PA|+|AF|=|PF′|+4+|PA|+3,当F′,P,A三点共线时,|PF′|+|PA|有最小值,为|AF′|=3,故△PAF的周长的最小值为10. 答案 (1)B (2)B 考点二 双曲线的标准方程 【例2】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C: -=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为( ) A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1 (2)(2018·天津卷)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为( ) A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1 解析 (1)由题设知=,① 又由椭圆+=1与双曲线有公共焦点, 易知a2+b2=c2=9,② 由①②解得a=2,b=,则双曲线C的方程为-=1. (2)由d1+d2=6,得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3,所以b=3.因为双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,所以=2,所以=4,所以=4,解得a2=3,所以双曲线的方程为-=1. 答案 (1)B (2)C 规律方法 1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是: 设出双曲线方程的标准形式,根据已知条件,列出关于参数a,b,c的方程并求出a,b,c的值. 2.与双曲线-=1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为-=λ(λ≠0). 【训练2】 (1)(2019·海南二模)已知双曲线C: -=1(a>0,b>0)过点(,),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,则双曲线C的标准方程是( ) A.-y2=1B.-=1 C.x2-=1D.-=1 (2)已知双曲线的渐近线方程为2x±3y=0,且双曲线经过点P(,2),则双曲线的方程为________________. 解析 (1)由双曲线C: -=1(a>0,b>0)过点(,),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,可得解得 ∴双曲线C的标准方程是x2-=1. (2)由双曲线的渐近线方程为y=±x, 可设双曲线方程为-=λ(λ≠0). 因为双曲线过点P(,2),所以-=λ,λ=-, 故所求双曲线方程为-=1. 答案 (1)C (2)-=1 考点三 双曲线的性质 多维探究 角度1 求双曲线的渐近线 【例3-1】(一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为( ) A.y=±xB.y=±x C.y=±xD.y=±x 解析 法一 由题意知,e==,所以c=a,所以b==a,即=,所以该双曲线的渐近线方程为y=±x=±x. 法二 由e===,得=,所以该双曲线的渐近线方程为y=±x=±x. 答案 A 角度2 求双曲线的离心率 【例3-2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)设F1,F2是双曲线C: -=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=|OP|,则C的离心率为( ) A.B.2C.D. (2)(2018·泰安联考)已知双曲线C1: -=1(a>0,b>0),圆C2: x2+y2-2ax+a2=0,若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点,则双曲线C1的离心率的取值范围是( ) A.B. C.(1,2)D.(2,+∞) 解析 (1)不妨设一条渐近线的方程为y=x,则F2到y=x的距离d==b,在Rt△F2PO中,|F2O|=c,所以|PO|=a,所以|PF1|=a,又|F1O|=c,所以在△F1PO与Rt△F2PO中,根据余弦定理得cos∠POF1==-cos∠POF2=-,则3a2+c2-(a)2=0,得3a2=c2,所以e==. (2)由双曲线方程可得其渐近线方程为y=±x,即bx±ay=0,圆C2: x2+y2-2ax+a2=0可化为(x-a)2+y2=a2,圆心C2的坐标为(a,0),半径r=a,由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点,得2b,即c2>4b2,又知b2=c2-a2,所以c2>4(c2-a2),即c2 答案 (1)C (2)A 角度3 与双曲线有关的范围(最值)问题 【例3-3】已知M(x0,y0)是双曲线C: -y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点,若·<0,则y0的取值范围是( ) A.B. C.D. 解析 因为F1(-,0),F2(,0),-y=1,所以·=(--x0,-y0)·(-x0,-y0)=x+y-3<0,即3y-1<0,解得- 答案 A 规律方法 1.求双曲线离心率或其取值范围的方法 (1)求a,b,c的值,由==1+直接求e. (2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=c2-a2消去b,然后转化成关于e的方程(或不等式)求解. 2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路 (1)若条件中存在不等关系,则借助此关系直接变换转化求解. (2)若条件中没有不等关系,要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决. 【训练3】 (1)(2019·上海崇明区调研)在平面直角坐标系xOy中,双曲线C: -=1(a>0,b>0)的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-1)2=1相切,则C的离心率为( ) A.B.C.D. (2)已知焦点在x轴上的双曲线+=1,它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________. 解析 (1)双曲线C的渐近线方程为by±ax=0,结合图形易知与圆相切的只可能是by-ax=0,又圆心坐标为(2,1),则=1,得3a=4b, 所以9a2=16b2=16(c2-a2),则e2=, 又e>1,故e=. (2)对于焦点在x轴上的双曲线-=1(a>0,b>0),它的一个焦点(c,0)到渐近线bx-ay=0的距离为=b.本题中,双曲线+=1即-=1,其焦点在x轴上,则解得4 答案 (1)B (2)(0,2) [思维升华] 1.与双曲线-=1(a>0,b>0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为-=t(t≠0). 2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时,只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程,即方程-=0就是双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程. [易错防范] 1.双曲线方程中c2=a2+b2,说明双曲线方程中c最大,解决双曲线问题时不要忽视了这个结论,不要与椭圆中的知识相混淆. 2.求双曲线离心率及其范围时,不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1, +∞)这个前提条件,否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错. 3.双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程是y=±x,-=1(a>0,b>0)的渐近线方程是y=±x. 基础巩固题组 (建议用时: 40分钟) 一、选择题 1.(2019·郑州模拟)设双曲线-=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为( ) A.y=±xB.y=±x C.y=±xD.y=±2x 解析 因为2b=2,所以b=1,因为2c=2,所以c=,所以a==,所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x. 答案 B 2.双曲线C: -=1(a>0,b>0)的一个焦点为F,过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线,垂足为A,且交y轴于B,若A为BF的中点,则双曲线的离心率为( ) A.B.C.2D. 解析 由题易知双曲线C的一条渐近线与x轴的夹角为,故双曲线C的离心率e==. 答案 A 3.(2018·全国Ⅲ卷)已知双曲线C: -=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为( ) A.B.2C.D.2 解析 法一 由离心率e==,得c=a,又b2=c2-a2,得b=a,所以双曲线C的渐近线方程为y=±x.由点到直线的距离公式,得点(4,0)到C的渐近线的距离为=2. 法二 离心率e=的双曲线是等轴双曲线,其渐近线方程是y=±x,∴点(4,0)到C的渐近线的距离为=2. 答案 D 4.(2019·天津和平区一模)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,过右焦点F作渐近线的垂线,垂足为M.若△FOM的面积为,其中O为坐标原点,则双曲线的方程为( ) A.x2-=1B.-=1 C.-=1D.-=1 解析 由题意可知e==,可得=, 取一条渐近线为y=x, 可得F到渐近线y=x的距离d==b, 在Rt△FOM中,由勾股定理可得|OM|===a,由题意可得ab=, 联立解得 所以双曲线的方程为-=1. 答案 C 5.已知F2,F1是双曲线-=1(a>0,b>0)的上、下两个焦点,过F1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B,A,若△ABF2为等边三角形,则双曲线的渐近线方程为( ) A.y=±xB.y=±x C.y=±xD.y=±x 解析 根据双曲线的定义,可得|BF1|-|BF2|=2a, ∵△ABF2为等边三角形,∴|BF2|=|AB|,∴|BF1|-|AB|=|AF1|=2a,又∵|AF2|-|AF1|=2a,∴|AF2|=|AF1|+2a=4a,∵在△AF1F2中,|AF1|=2a,|AF2|=4a,∠F1AF2=120°,∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|·|AF2|cos120°,即4c2=4a2+16a2-2×2a×4a×=28a2,亦即c2=7a2,则b===a,由此可得双曲线C的渐近线方程为y=±x. 答案 D 二、填空题 6.直线l: y=2x+10过双曲线-=1(a>0,b>0)一个焦点且与其一条渐近线平行,则双曲线方程为_________________________________. 解析 由题意得一个焦点为F(-5,0),c=5,=2, 又a2+b2=c2,所以a2=5,b2=20, 所以双曲线方程为-=1. 答案 -=1 7.设双曲线-=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB的面积为________. 解析 a2=9,b2=16,故c=5.∴A(3,0),F(5,0),不妨设直线BF的方程为y=(x-5),代入双曲线方程解得B.∴S△AFB=|AF|·|yB|=·2·=. 答案 8.(2019·梅州质检)已知双曲线C: -=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点.P是双曲线在第一象限上的点,直线PO,PF2分别交双曲线C左、右支于M,N.若|PF1|=2|PF2|,且∠MF2N=60°,则双曲线C的离心率为________. 解析 由题意,|PF1|=2|PF2|,由双曲线的定义可得,|PF1|-|PF2|=2a,可得|PF1|=4a,|PF2|=2a,又|F1O|=|F2O|,|PO|=|MO|,得四边形PF1MF2为平行四边形,又∠MF2N=60°,可得∠F1PF2=60°,在△PF1F2中,由余弦定理可得,4c2=16a2+4a2-2·4a·2a·cos60°,即4c2=20a2-8a2,c2=3a2,可得c=a,所以e==. 答案 三、解答题 9.(2019·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点P(4,-). (1)求双曲线的方程; (2)(一题多解)若点M(3,m)在双曲线上,求证: ·=0. (1)解 ∵e=, ∴可设双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0). ∵双曲线过点(4,-),∴16-10=λ,即λ=6. ∴双曲线的方程为x2-y2=6,即-=1. (2)证明 法一 由 (1)可知,a=b=, ∴c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0), ∴kMF1=,kMF2=, kMF1·kMF2==-. ∵点M(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,m2=3, 故kMF1·kMF2=-1,∴MF1⊥MF2.∴·=0. 法二 由 (1)可知,a=b=,∴c=2, ∴F1(-2,0),F2(2,0), =(-2-3,-m),=(2-3,-m), ∴·=(3+2)×(3-2)+m2=-3+m2, ∵点M(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,即m2-3=0, ∴·=0. 10.设A,B分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程; (2)已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使+=t,求t的值及点D的坐标. 解 (1)由题意知a=2, ∵一条渐近线为y=x,即bx-ay=0. ∴由焦点到渐近线的距离为,得=. 又∵c2=a2+b2,∴b2=3, ∴双曲线的方程为-=1. (2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),其中x0≥2. 又+=t,即(x1,y1)+(x2,y2)=t(x0,y0), 则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0. 将直线方程y=x-2代入双曲线方程-=1得x2-16x+84=0,其中Δ=(16)2-4×84>0, 则x1+x2=16,y1+y2=(x1+x2)-4=12. ∴解得 ∴t=4,点D的坐标为(4,3). 能力提升题组 (建议用时: 20分钟) 11.(2019·河南适应测试)已知F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是双曲线上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为,则双曲线的渐近线方程为( ) A.y=±2xB.y=±x C.y=±xD.y=±x 解析 不妨设P为双曲线右支上一点,则|PF1|>|PF2|,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6a,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a.又因为所以∠PF1F2为最小内角,故∠PF1F2=. 由余弦定理,可得=,即(a-c)2=0,所以c=a,则b=a,所以双曲线的渐近线方程为y=±x. 答案 D 12.已知点F为双曲线E: -=1(a>0,b>0)的右焦点,直线y=kx(k>0)与E交于不同象限内的M,N两点,若MF⊥NF,设∠MNF=β,且β∈,则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A.[,+]B.[2,+1] C.[2,+]D.[,+1] 解析 如图,设左焦点为F′,连接MF′,NF′,令|MF|=r1,|MF′|=r2,则|NF|=|MF′|=r2, 由双曲线定义可知r2-r1=2a①,∵点M与点N关于原点对称,且MF⊥NF,∴|OM|=|ON|=|OF|=c,∴r+r=4c2②, 由①②得r1r2=2(c2-a2),又知S△MNF=2S△MOF, ∴r1r2=2·c2·sin2β,∴c2-a2=c2·sin2β, ∴e2=,又∵β∈,∴sin2β∈, ∴e2=∈[2,(+1)2]. 又e>1,∴e∈[,+1]. 答案 D 13.(2018·北京卷)已知椭圆M: +=1(a>b>0),双曲线N: -=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为________;双曲线N的离心率为________. 解析 设椭圆的右焦点为F(c,0),双曲线N的渐近线与椭圆M在第一象限内的交点为A, 由题意可知A,由点A在椭圆M上得,+=1,∴b2c2+3a2c2=4a2b2,∵b2=a2-c2,∴(a2-c2)c2+3a2c2=4a2(a2-c2),∴4a4-8a2c2+c4=0,∴e-8e+4=0,∴e=4±2,∴e椭=+1(舍去)或e椭=-1,∴椭圆M的离心率为-1.∵双曲线的渐近线过点A,∴渐近线方程为y=x,∴=,故双曲线的离心率e双==2. 答案 -1 2 14.已知椭圆C1的方程为+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点. (1)求双曲线C2的方程; (2)若直线l: y=kx+与双曲线C2
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 新人 高考 数学 一轮 复习 第八 平面 解析几何 双曲线 义理