高中数学《独立性检验的基本思想及其初步应用》教案2新人教A版选修12.docx
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高中数学《独立性检验的基本思想及其初步应用》教案2新人教A版选修12
2019-2020年高中数学《独立性检验的基本思想及其初步应用》教案2新人教A版选修1-2
教学目标:
1、理解独立性检验的基本思想;
2、会从列联表、柱形图、条形图直观判断吸烟与患肺癌有关;
3、了解随机变量K2的含义。
教学重点:
理解独立性检验的基本思想。
教学难点:
1、理解独立性检验的基本思想;
2、了解随机变量K2的含义。
教学手段:
多媒体课件。
教学方法:
讲练结合。
教学过程:
一、引入:
问题:
某医疗机构为了了解患肺癌与吸烟是否有关,进行了一次抽样调查,共调查了9965个成年人,其中吸烟者2148人,不吸烟者7817人,调查结果是:
吸烟的2148人中49人患肺癌,2099人不患肺癌;不吸烟的7817人中42人患肺癌,7775人不患肺癌。
根据这些数据能否断定:
患肺癌与吸烟有关?
从问题“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题,并借助样本数据的列联表,柱形图,和条形图的展示,使学生直观感觉到吸烟和患肺癌可能会有关系。
吸烟与肺癌列联表
患肺癌
不患肺癌
总计
吸烟
49
2099
2148
不吸烟
42
7775
7817
总计
91
9874
9965
在不吸烟者中患肺癌的比重是0.54%
在吸烟者中患肺癌的比重是2.28%
说明:
吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异,吸烟者患肺癌的可能性大。
通过数据和图表分析,得到结论是:
吸烟与患肺癌有关。
但这种结论能否推广到总体呢?
要回答这个问题,就必须借助于统计理论来分析。
二、独立性检验就是检验两个分类变量是否有关的一种统计方法:
用字母表示吸烟与患肺癌的列联表:
不患肺癌
患肺癌
合计
不吸烟
a
b
a+b
吸烟
c
d
c+d
合计
a+c
b+d
a+b+c+d
样本容量n=a+b+c+d
假设H0:
吸烟与患肺癌没有关系。
则吸烟者中不患肺癌的的比例应该与不吸烟者中相应的比例差不多,即:
作为检验在多大程度上可以认为“两个变量有关系”的标准。
三、结论:
y1
y2
总计
x1
a
b
a+b
x2
c
d
c+d
总计
a+c
b+d
a+b+c+d
2×2列联表
1)如果P(k>10.828)=0.001表示有99.9%的把握认为“X与Y”有关系;
2)如果P(k>7.879)=0.005表示有99.5%的把握认为“X与Y”有关系;
3)如果P(k>6.635)=0.01表示有99%的把握认为“X与Y”有关系;
4)如果P(k>5.024)=0.025表示有97.5%的把握认为“X与Y”有关系;
5)如果P(k>3.841)=0.05表示有95%的把握认为“X与Y”有关系;
6)如果P(k>2.706)=0.10表示有90%的把握认为“X与Y”有关系;
7)如果P(k≤2.706),就认为没有充分的证据显示“X与Y”有关系。
用K^2统计量研究这类问题的方法称为独立性检验。
一般地,对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ,Ⅰ有两类取值,即类A和B(如吸烟与不吸烟);Ⅱ也有两类取值,即类1和2(如患病与不患病)。
于是得到
下列联表所示的抽样数据:
类1
类2
总计
类A
a
b
a+b
类B
c
d
c+d
总计
a+c
b+d
a+b+c+d
要推断“Ⅰ和Ⅱ有关系”,可按下面的步骤进行:
(1)提出假设H0:
Ⅰ和Ⅱ没有关系;
(2)根据2×2列表与公式计算K^2的值;
(3)查对临界值,作出判断。
由于抽样的随机性,由样本得到的推断有可能正确,也有可能错误。
利用K^2进行独立性检验,可以对推断的正确性的概率作出估计,样本量n越大,估计越准确。
四、应用举例:
例1.在500人身上试验某种血清预防感冒作用,把他们一年中的感冒记录与另外500名未用血清的人的感冒记录作比较,结果如表所示。
问:
该种血清能否起到预防感冒的作用?
未感冒
感冒
合计
使用血清
258
242
500
未使用血清
216
284
500
合计
474
526
1000
五、作业:
P21习题1.2的1、2和预习18页。
课后记:
2019-2020年高中数学《独立重复实验与二项分布》教案1新人教A版选修2-3
教学目标:
知识与技能:
理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解答一些简单的实际问题。
过程与方法:
能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。
情感、态度与价值观:
承前启后,感悟数学与生活的和谐之美,体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点:
理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解答一些简单的实际问题
教学难点:
能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算
授课类型:
新授课
课时安排:
1课时
教具:
多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
1_事件的定义:
随机事件:
在一定条件下可能发生也可能不发生的事件;
必然事件:
在一定条件下必然发生的事件;
不可能事件:
在一定条件下不可能发生的事件
2.随机事件的概率:
一般地,在大量重复进行同一试验时,事件发生的频率总是接近某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件的概率,记作.
3.概率的确定方法:
通过进行大量的重复试验,用这个事件发生的频率近似地作为它的概率;
4.概率的性质:
必然事件的概率为,不可能事件的概率为,随机事件的概率为,必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形
5_基本事件:
一次试验连同其中可能出现的每一个结果(事件)称为一个基本事件
6.等可能性事件:
如果一次试验中可能出现的结果有个,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每个基本事件的概率都是,这种事件叫等可能性事件
7.等可能性事件的概率:
如果一次试验中可能出现的结果有个,而且所有结果都是等可能的,如果事件包含个结果,那么事件的概率
8.等可能性事件的概率公式及一般求解方法
9.事件的和的意义:
对于事件A和事件B是可以进行加法运算的
10互斥事件:
不可能同时发生的两个事件.
一般地:
如果事件中的任何两个都是互斥的,那么就说事件彼此互斥
11.对立事件:
必然有一个发生的互斥事件.
12.互斥事件的概率的求法:
如果事件彼此互斥,那么
=
13.相互独立事件:
事件(或)是否发生对事件(或)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件
若与是相互独立事件,则与,与,与也相互独立
14.相互独立事件同时发生的概率:
一般地,如果事件相互独立,那么这个事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,
二、讲解新课:
1_独立重复试验的定义:
指在同样条件下进行的,各次之间相互独立的一种试验
2.独立重复试验的概率公式:
一般地,如果在1次试验中某事件发生的概率是,那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率.
它是展开式的第项
3.离散型随机变量的二项分布:
在一次随机试验中,某事件可能发生也可能不发生,在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量.如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是
,(k=0,1,2,…,n,).
于是得到随机变量ξ的概率分布如下:
ξ
0
1
…
k
…
n
P
…
…
由于恰好是二项展开式
中的各项的值,所以称这样的随机变量ξ服从二项分布(binomialdistribution),
记作ξ~B(n,p),其中n,p为参数,并记=b(k;n,p).
三、讲解范例:
例1.某射手每次射击击中目标的概率是0.8.求这名射手在10次射击中,
(1)恰有8次击中目标的概率;
(2)至少有8次击中目标的概率.(结果保留两个有效数字.)
解:
设X为击中目标的次数,则X~B(10,0.8).
(1)在10次射击中,恰有8次击中目标的概率为
P(X=8)=
.
(2)在10次射击中,至少有8次击中目标的概率为
P(X≥8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)
.
例2.(xx年高考题)某厂生产电子元件,其产品的次品率为5%.现从一批产品中任意地连续取出2件,写出其中次品数ξ的概率分布.
解:
依题意,随机变量ξ~B(2,5%).所以,
P(ξ=0)=(95%)=0.9025,P(ξ=1)=(5%)(95%)=0.095,
P()=(5%)=0.0025.
因此,次品数ξ的概率分布是
ξ
0
1
2
P
0.9025
0.095
0.0025
例3.重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数记为ξ,求P(ξ>3).
解:
依题意,随机变量ξ~B.
∴P(ξ=4)==,P(ξ=5)==.
∴P(ξ>3)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=
例4.某气象站天气预报的准确率为,计算(结果保留两个有效数字):
(1)5次预报中恰有4次准确的概率;
(2)5次预报中至少有4次准确的概率
解:
(1)记“预报1次,结果准确”为事件.预报5次相当于5次独立重复试验,根据次独立重复试验中某事件恰好发生次的概率计算公式,5次预报中恰有4次准确的概率
答:
5次预报中恰有4次准确的概率约为0.41.
(2)5次预报中至少有4次准确的概率,就是5次预报中恰有4次准确的概率与5次预报都准确的概率的和,即
答:
5次预报中至少有4次准确的概率约为0.74.
例5.某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是,求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少?
(结果保留两个有效数字)
解:
记事件=“1小时内,1台机器需要人照管”,1小时内5台机器需要照管相当于5次独立重复试验
1小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率,
1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率,
所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为
答:
1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率约为.
点评:
“至多”,“至少”问题往往考虑逆向思维法
例6.某人对一目标进行射击,每次命中率都是0.25,若使至少命中1次的概率不小于0.75,至少应射击几次?
解:
设要使至少命中1次的概率不小于0.75,应射击次
记事件=“射击一次,击中目标”,则.
∵射击次相当于次独立重复试验,
∴事件至少发生1次的概率为.
由题意,令,∴,∴
,
∴至少取5.
答:
要使至少命中1次的概率不小于0.75,至少应射击5次
例7.十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少?
停几次概率最大?
解:
依题意,从低层到顶层停不少于3次,应包括停3次,停4次,停5次,……,直到停9次
∴从低层到顶层停不少于3次的概率
设从低层到顶层停次,则其概率为,
∴当或时,最大,即最大,
答:
从低层到顶层停不少于3次的概率为,停4次或5次概率最大.
例8.实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛).
(1)试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率.
(2)按比赛规则甲获胜的概率.
解:
甲、乙两队实力相等,所以每局比赛甲获胜的概率为,乙获胜的概率为.
记事件=“甲打完3局才能取胜”,记事件=“甲打完4局才能取胜”,
记事件=“甲打完5局才能取胜”.
①甲打完3局取胜,相当于进行3次独立重复试验,且每局比赛甲均取胜
∴甲打完3局取胜的概率为.
②甲打完4局才能取胜,相当于进行4次独立重复试验,且甲第4局比赛取胜,前3局为2胜1负
∴甲打完4局才能取胜的概率为
.
③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验,且甲第5局比赛取胜,前4局恰好2胜2负
∴甲打完5局才能取胜的概率为
.
(2)事件=“按比赛规则甲获胜”,则,
又因为事件、、彼此互斥,
故
.
答:
按比赛规则甲获胜的概率为.
例9.一批玉米种子,其发芽率是0.8.
(1)问每穴至少种几粒,才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于?
(2)若每穴种3粒,求恰好两粒发芽的概率.()
解:
记事件=“种一粒种子,发芽”,则,,
(1)设每穴至少种粒,才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于.
∵每穴种粒相当于次独立重复试验,记事件=“每穴至少有一粒发芽”,则
.
∴
.
由题意,令,所以,两边取常用对数得,
.即,
∴
,且,所以取.
答:
每穴至少种3粒,才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于.
(2)∵每穴种3粒相当于3次独立重复试验,
∴每穴种3粒,恰好两粒发芽的概率为
,
答:
每穴种3粒,恰好两粒发芽的概率为0.384
四、课堂练习:
1.每次试验的成功率为,重复进行10次试验,其中前7次都未成功后3次都成功的概率为()
2.10张奖券中含有3张中奖的奖券,每人购买1张,则前3个购买者中,恰有一人中奖的概率为()
3.某人有5把钥匙,其中有两把房门钥匙,但忘记了开房门的是哪两把,只好逐把试开,则此人在3次内能开房门的概率是()
4.甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,甲队与乙队实力之比为,比赛时均能正常发挥技术水平,则在5局3胜制中,甲打完4局才胜的概率为()
5.一射手命中10环的概率为0.7,命中9环的概率为0.3,则该射手打3发得到不少于29环的概率为.(设每次命中的环数都是自然数)
6.一名篮球运动员投篮命中率为,在一次决赛中投10个球,则投中的球数不少于9个的概率为.
7.一射手对同一目标独立地进行4次射击,已知至少命中一次的概率为,则此射手的命中率为.
8.某车间有5台车床,每台车床的停车或开车是相互独立的,若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为,求:
(1)在任一时刻车间有3台车床处于停车的概率;
(2)至少有一台处于停车的概率
9.种植某种树苗,成活率为90%,现在种植这种树苗5棵,试求:
⑴全部成活的概率;⑵全部死亡的概率;
⑶恰好成活3棵的概率;⑷至少成活4棵的概率
10.
(1)设在四次独立重复试验中,事件至少发生一次的概率为,试求在一次试验中事件发生的概率
(2)某人向某个目标射击,直至击中目标为止,每次射击击中目标的概率为,求在第次才击中目标的概率
答案:
1.C2.D3.A4.A5.0.7846.0.046
7.8.
(1)
(2)
9.⑴;⑵;
⑶
;⑷
10.
(1)
(2)
五、小结:
1.独立重复试验要从三方面考虑第一:
每次试验是在同样条件下进行第二:
各次试验中的事件是相互独立的第三,每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生
2.如果1次试验中某事件发生的概率是,那么次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率为对于此式可以这么理解:
由于1次试验中事件要么发生,要么不发生,所以在次独立重复试验中恰好发生次,则在另外的次中没有发生,即发生,由,所以上面的公式恰为展开式中的第项,可见排列组合、二项式定理及概率间存在着密切的联系
六、课后作业:
课本58页练习1、2、3、4第60页习题2.2B组2、3
七、板书设计(略)
八、课后记:
教学反思:
1.理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解答一些简单的实际问题。
2.能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。
3.承前启后,感悟数学与生活的和谐之美,体现数学的文化功能与人文价值。
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- 独立性检验的基本思想及其初步应用 高中数学 独立性 检验 基本 思想 及其 初步 应用 教案 新人 选修 12