高考文科数学题型秘籍06函数的奇偶性与周期性解析版.docx
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高考文科数学题型秘籍06函数的奇偶性与周期性解析版
高考数学精品复习资料
2019.5
专题06函数的奇偶性与周期性
【高频考点解读】
从近几年的高考试题来看,函数的奇偶性、周期性是高考命题的热点.主要是奇偶性与单调性的小综合,周期性的考查常以利用周期性求函数值,以选择题、填空题的形式出现,这部分知识对学生要求很高,属中低档题.
1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.
2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.
3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.
【热点题型】
题型一函数奇偶性的判定
例1、判断下列各函数的奇偶性:
(1)f(x)=lgx2+lg;
(2)f(x)=(x-1);
(3)f(x)=;
(4)f(x)=.
【提分秘籍】
(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤:
(2)分段函数奇偶性的判断,要注意定义域内x取值的任意性,应分段讨论,讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简,判断f(x)与f(-x)的关系,得出结论,也可以利用图象作判断.
【举一反三】
判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=;
(2)f(x)=x2-|x-a|+2.
【热点题型】
题型二函数奇偶性的应用
(1)设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f
(1)=( )
A.-3 B.-1
C.1D.3
(2)若函数f(x)=为奇函数,则a=( )
A.B.
C.D.1
(3)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-)<f()的x的取值范围是( )
A.(-∞,0)B.(0,)
C.(0,2)D.(,+∞)
【举一反三】
在本例
(1)中的条件下,求f(x)在R上的解析式.
【热点题型】
题型三函数的周期性
例3、设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.
(1)求证:
f(x)是周期函数;
(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式.
【提分秘籍】
1.深化奇函数和偶函数的定义
(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件;
(2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.在利用定义时,可应用定义的等价形式:
f(-x)=±f(x)⇔f(-x)±f(x)=0⇔=±1(f(x)≠0).
2.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,反之也真.利用这一性质可简化一些函数图象的画法,也可以利用它去判断函数的奇偶性.
3.若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x都有f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=或f(x+a)=-(a是常数且a≠0),则f(x)是一个周期为2a的周期函数.
4.函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查,主要涉及函数周期性的判断,利用函数周期性求值,以及解决与周期有关的函数综合问题.解决此类问题的关键是充分利用题目提供的信息,找到函数的周期,利用周期在有定义的范围上进行求解.
【举一反三】
已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=-f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则f(20xx)+f(-20xx)的值为( )
A.-2B.-1
C.1D.2
【热点题型】
题型四利用奇偶性破解函数的最值
例4、设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m=________.
【提分秘籍】
本题看似复杂,其实并不难,破解本题的关键就是把函数f(x)=的解析式分解成1+g(x),其次利用奇函数的图象关于原点对称这一性质得出g(x)max+g(x)min=0,突出转化思想,问题得到圆满解决.
【举一反三】
已知y=f(x)是奇函数.若g(x)=f(x)+2且g
(1)=1,则g(-1)=________.
【高考风向标】
1.(20xx·重庆卷)下列函数为偶函数的是( )
A.f(x)=x-1B.f(x)=x2+x
C.f(x)=2x-2-xD.f(x)=2x+2-x
2.(20xx·安徽卷)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f(x)=则f+f=______.
【答案】 【解析】由题易知f+f=f+f=-f-f=-+sin=.
3.(20xx·广东卷)下列函数为奇函数的是( )
A.2x-B.x3sinx
C.2cosx+1D.x2+2x
4.(20xx·湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x,则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为( )
A.{1,3}B.{-3,-1,1,3}
C.{2-,1,3}D.{-2-,1,3}
5.(20xx·湖南卷)下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是( )
A.f(x)=B.f(x)=x2+1
C.f(x)=x3D.f(x)=2-x
【答案】A 【解析】由偶函数的定义,可以排除C,D,又根据单调性,可得B不对.
6.(20xx·湖南卷)若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a=________.
7.(20xx·江苏卷)已知函数f(x)=ex+e-x,其中e是自然对数的底数.
(1)证明:
f(x)是R上的偶函数.
(2)若关于x的不等式mf(x)≤e-x+m-1在(0,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围.
(3)已知正数a满足:
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