江苏专用高考数学一轮复习第七章数列推理与证明第38课直接证明与间接证明教师用书04140167.docx
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江苏专用高考数学一轮复习第七章数列推理与证明第38课直接证明与间接证明教师用书04140167
第38课直接证明与间接证明
[最新考纲]
内容
要求
A
B
C
分析法与综合法
√
反证法
√
1.直接证明
(1)综合法
①定义:
从已知条件出发,以已知的定义、公理、定理为依据,逐步下推,直到推出要证明的结论为止,这种证明方法常称为综合法.
②框图表示:
⇒…⇒…⇒
③思维过程:
由因导果.
(2)分析法
①定义:
从问题的结论出发,追溯导致结论成立的条件,逐步上溯,直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法常称为分析法.
②框图表示:
⇐…⇐…⇐
③思维过程:
执果索因.
2.间接证明
(1)反证法:
假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立的证明方法.
(2)反证法的步骤:
①反设——假设命题的结论不成立,即假定原结论的反面为真;
②归谬——从反设和已知条件出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾结果;
③存真——由矛盾结果,断定反设不真,从而肯定原结论成立.
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)综合法的思维过程是由因导果,逐步寻找已知的必要条件.( )
(2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件.( )
(3)用反证法证明时,推出的矛盾不能与假设矛盾.( )
(4)在解决问题时,常常用分析法寻找解题的思路与方法,再用综合法展现解决问题的过程.( )
[答案]
(1)√
(2)× (3)× (4)√
2.用反证法证明命题:
“已知a,b为实数,则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是____________.
方程x2+ax+b=0没有实根 [“方程x2+ax+b=0至少有一个实根”的反面是“方程x2+ax+b=0没有实根”.]
3.要证明+<2,可选择的方法有以下几种,其中最合理的是____________.(填序号)
①综合法; ②分析法;
③反证法;④归纳法.
② [要证明+<2成立,可采用分析法对不等式两边平方后再证明.]
4.已知a,b,x均为正数,且a>b,则与的大小关系是__________.
> [∵-=>0,
∴>.]
5.(教材改编)在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列,a,b,c成等比数列,则△ABC的形状为__________三角形.
等边 [由题意2B=A+C,
又A+B+C=π,∴B=,又b2=ac,
由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac,
∴a2+c2-2ac=0,即(a-c)2=0,∴a=c,
∴A=C,∴A=B=C=,∴△ABC为等边三角形.]
综合法
如图381所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD=.
(1)求证:
平面PAB⊥平面PCD;
(2)求三棱锥DPBC的体积.
图381
[解]
(1)因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,
又CD⊥AD,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PA.
因为PA=PD=AD,所以△PAD是等腰直角三角形,且∠APD=,即PA⊥PD.
又CD∩PD=D,所以PA⊥平面PCD
又PA⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PCD.
(2)取AD的中点O,连接OP,如图
因为PA=PD,所以PO⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD,平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,
所以PO⊥平面ABCD.
即PO为三棱锥PBCD的高,
由PA=PD=AD=,知OP=1.
因为底面ABCD是正方形,所以S△BCD=×2×2=2.所以V三棱锥DPBC=V三棱锥PBCD=PO·S△BCD=×1×2=.
[规律方法] 综合法是“由因导果”的证明方法,其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法,常与分析法结合使用,用分析法探路,综合法书写,但要注意有关定理、性质、结论题设条件的正确运用.
[变式训练1] 已知函数f(x)=ln(1+x),g(x)=a+bx-x2+x3,函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线.
(1)求a,b的值;
(2)证明:
f(x)≤g(x).【导学号:
62172205】
[解]
(1)f′(x)=,g′(x)=b-x+x2,
由题意得
解得a=0,b=1.
(2)证明:
令h(x)=f(x)-g(x)
=ln(x+1)-x3+x2-x(x>-1).
h′(x)=-x2+x-1=.
所以h(x)在(-1,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数.
h(x)max=h(0)=0,h(x)≤h(0)=0,即f(x)≤g(x).
分析法
已知a>0,求证:
-≥a+-2.
[证明] 要证-≥a+-2,
只需要证+2≥a++.
因为a>0,故只需要证2≥2,
即a2++4+4≥a2+2++2+2,
从而只需要证2≥,
只需要证4≥2,
即a2+≥2,而上述不等式显然成立,故原不等式成立.
[规律方法] 1.当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,常考虑用分析法.
2.分析法的特点和思路是“执果索因”,逐步寻找结论成立的充分条件,即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等,通常采用“欲证—只需证—已知”的格式,在表达中要注意叙述形式的规范性.
[变式训练2] 已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,A,B,C的对边分别为a,b,c.
求证:
+=.
[证明] 要证+=,
即证+=3,也就是+=1,
只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),
需证c2+a2=ac+b2,
又△ABC三内角A,B,C成等差数列,故B=60°,
由余弦定理,得
b2=c2+a2-2accos60°,
即b2=c2+a2-ac,故c2+a2=ac+b2成立.
于是原等式成立.
反证法
设{an}是公比为q的等比数列.
(1)推导{an}的前n项和公式;
(2)设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.
[解]
(1)设{an}的前n项和为Sn,
当q=1时,Sn=a1+a1+…+a1=na1;
当q≠1时,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,①
qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,②
①-②得,(1-q)Sn=a1-a1qn,
∴Sn=,∴Sn=
(2)证明:
假设{an+1}是等比数列,则对任意的k∈N+,
(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),
a+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,
aq2k+2a1qk=a1qk-1·a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1.
∵a1≠0,∴2qk=qk-1+qk+1.∵q≠0,∴q2-2q+1=0,
∴q=1,这与已知矛盾.
∴假设不成立,故{an+1}不是等比数列.
[规律方法] 用反证法证明问题的步骤:
(1)反设:
假定所要证的结论不成立,而设结论的反面成立;(否定结论)
(2)归谬:
将“反设”作为条件,由此出发经过正确的推理,导出矛盾,矛盾可以是与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾;(推导矛盾)
(3)立论:
因为推理正确,所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然原命题结论的反面不成立,从而肯定了原命题成立.(命题成立)
[变式训练3] 已知a≥-1,求证三个方程:
x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根.【导学号:
62172206】
[证明] 假设三个方程都没有实数根,则
⇒
∴- 这与已知a≥-1矛盾,所以假设不成立,故原结论成立. [思想与方法] 1.综合法与分析法的关系: 分析法与综合法相辅相成,对较复杂的问题,常常先从结论进行分析,寻求结论与条件的关系,找到解题思路,再运用综合法证明;或两种方法交叉使用. 2.反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立.反证法证明的关键: ①准确反设;②从否定的结论正确推理;③得出矛盾. [易错与防范] 1.用分析法证明数学问题时,要注意书写格式的规范性,常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论P,再说明所要证明的数学问题成立. 2.利用反证法证明数学问题时,没有用假设命题推理而推出矛盾结果,其推理过程是错误的. 课时分层训练(三十八) A组 基础达标 (建议用时: 30分钟) 一、填空题 1.下列表述: ①综合法是由因导果法;②综合法是顺推法;③分析法是执果索因法;④分析法是逆推法;⑤反证法是间接证法.其中正确的个数有____________.(填序号) ①②③④⑤ [由分析法、综合法、反证法的定义知①②③④⑤都正确.] 2.用反证法证明命题: 若整数系数的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理实数根,则a,b,c中至少有一个是偶数.下列假设中正确的是____________.(填序号) ①假设a,b,c至多有一个是偶数; ②假设a,b,c至多有两个偶数; ③假设a,b,c都是偶数; ④假设a,b,c都不是偶数. ④ [“至少有一个”的否定为“一个都没有”,即假设a,b,c都不是偶数.] 3.若a,b,c为实数,且a 【导学号: 62172207】 ①ac2 ③<;④>. ② [a2-ab=a(a-b), ∵a ∴a2-ab>0, ∴a2>ab. 又ab-b2=b(a-b)>0,∴ab>b2, 即a2>ab>b2.] 4.分析法又称执果索因法,若用分析法证明: “设a>b>c,且a+b+c=0,求证 ①a-b>0;②a-c>0; ③(a-b)(a-c)>0;④(a-b)(a-c)<0.
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