投资组合的选择.docx

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投资组合的选择

五、投資組合的選擇

本章前言

針對理性的投資人而言，若要投資人承擔較高的投資風險，相對地，也必須該投資標的可以提供足夠的風險溢價，才有吸引投資人的誘因，本章以這個觀念為出發點，並導入效率前緣、資本市場以及個人效用無異曲線的觀念來更進一步說明該如何進行投資組合的選擇。

學習路徑

（一）.效率前緣與投資組合的選擇：

介紹效率前緣與投資組合的關係並導入個人效用的概念。

（二）.資本市場、無風險資產與投資組合的選擇：

介紹引入資本市場（Capital

Market）--資金的借貸市場，與無風險資產（Risk-freeAsset）下，投資組合的

選擇原理將有哪些不同之處。

（一）、效率前緣與投資組合的選擇

假設投資人只能使用自有資金投資（即無法進行資金借貸的情形），投資人在特定資金水準之下，「所有」可供投資人選擇的投資組合共有A、B、C…J等十種（稱為「可行投資集合」（FeasibleSet）），十個投資組合各有不同的預期報酬率與風險值。

此時，以投資組合的總風險和預期報酬率所構成的平面來表示此一可行投資集合，如圖5-1。

在圖5-1裡呈現了可供投資人選擇的投資組合群，然而哪一種才是最佳（Optimal）的投資組合呢？

在理性的要求下，投資人應該選擇一個「總風險相同時，相對上可獲得最高的預期報酬率」或「預期報酬一致時，相對上總風險最低」的投資組合。

所謂相對，乃是因投資人的投資標的選擇範圍受限於各自的可行投資集合，因此就單一投資人而言，在其集合內最佳的投資對象是「相對於此集合內其他組合」為優者，對其他投資人而言，則未必是最好的。

如在總風險為10%時，某甲在其可行集合內可以選擇預期報酬達12%的投資組合，但某乙則能選擇達14%的組合。

若再仔細觀察圖5-1，將發現「尋找最佳投資組合」的道理是很容易理解的。

首先是A、G、C、J四個預期報酬率相同的投資組合，從效率（Efficient）的角度來說，為了使投入的資金得到最有利的使用，投資人應理性地選擇風險最小的A組合。

同理，若就B、D、C三個總風險相同的投資組合而言，投資人是不是應選擇其中可獲得最大預期報酬的B組合呢？

答案是肯定的，因為投資人也必理性地在風險相同的前提下，選擇預期報酬最高的B組合進行投資。

此時可以稱A與B為效率投資組合（EfficientPortfolio）。

圖5-1所有可供選擇的投資組合群與效率前緣

資料來源：

謝劍平，「財務管理新觀念與本土化（再版）」

當然，在一組可行投資集合中，具有投資效率的投資組合可能不只一個，因為不同的預期報酬率，都會有其風險最低的投資組合，而不同的風險值，也會有其對應、最大預期報酬的投資組合，如前述的A與B即是。

這些在不同報酬或風險水準下具有效率的投資組合，由於不是報酬最大就是風險最小，因此如圖5-1所示，將會位於「風險—報酬」平面的左上方，而如AIBF的連線，則稱此為可行投資集合的效率前緣（EfficientFrontier）。

另外要注意的是，效率前緣除了指出哪些投資組合是具有效率的，同時也暗示位於效率前緣「右下方」的投資組合都是不值得投資的，我們可稱其為無效率的投資組合（InefficientPortfolio）。

但效率前緣上的投資組合中哪一個才是效率最好的？

原則上，投資人會依自己的「風險偏好」來選擇其投資的對象。

換句話說，理性的投資人除了重視風險與報酬間的合理性（即風險較大的投資組合必須提供好的報酬），也會重視自己承擔風險意願的高低來選擇投資組合。

例如較有能力且願意承擔較高風險的投資人，可能會以搭配不同貨幣、投資報酬大的外匯期貨（ForeignCurrencyFutures）；而情況相反的投資人，或許會選擇一般的公債或國庫券來投資，因為這些投資工具雖然沒有期貨的平均報酬來得高，但其風險卻小得太多了。

事實上投資組合的選擇，與經濟學中關於「消費者選擇」的原理是十分類似的。

若以經濟學中的效用無異曲線（UtilityIndifferenceCurve）來表示投資人的偏好（Preference），則一個理性（迴避風險）投資人的偏好有如圖5-2中「效用無異曲線群」所示。

圖5-2具迴避風險偏好之投資人的無異曲線群

資料來源：

謝劍平，「財務管理新觀念與本土化（再版）」

效用曲線的課題屬於經濟學的範疇，在此不多作說明，但要加以強調的是「效用」在此的意義。

投資人既然具有迴避風險的傾向，因此在相同的報酬水準下，當風險愈大時，理應提供較低水準的效用，即U3的效用水準是較低的。

同理可知，U1的效用也必大於U2，所以對一個「理性」的投資人來說，愈往「左上方」的風險報酬無異曲線代表較高的效用水準。

因此，為在投資組合的選擇上獲致最大的效用，一個理性的投資人應選擇圖5-1中的哪一個投資組合呢？

將圖5-1與5-2結合起來，則可發現圖5-3中的「投資組合I」，將能滿足投資人效用又符合投資效率的要求的。

圖5-3選擇投資組合I可以滿足投資效率與效用極大的條件

資料來源：

謝劍平，「財務管理新觀念與本土化（再版）」

在圖5-3中，效用無異曲線U1、U2及U3各與效率前緣AIBF有一個交點，然而U2與U3未使得投資人的效用達到最大，因為再繼續提高效用的條件是可能的。

投資人可在U1的效用水準下，選擇組合I作投資，這將是在可行投集合中最佳的投資決策。

而在左上方以虛線表示的無異曲線

則是投資人所無法達到的，因為在

的水準下，並沒有可供投資人選擇的投資機會。

由於不同偏好的效用無異曲線群，在形狀與相對位置上也不同（即一組無異曲線表示一種偏好的不同效用水準），因此不同的投資人若都是「理性」的，效用無異曲線群也不一定會相同，因風險迴避的偏好程度可能不同，如圖5-4所示。

圖5-4不同風險迴避程度的投資人，會選擇不同的投資組合

資料來源：

謝劍平，「財務管理新觀念與本土化（再版）」

在圖5-4中，U甲與U乙分表甲乙兩個投資人在其無異曲線群中，效用最大的無異曲線。

在甲乙兩人面對的效率前緣相同的情形下，對於甲投資人來說，「I」或許是最好的組合，然而對於風險迴避偏好較低的乙投資人來說，或許「B」才是最好的投資組合。

至此，我們歸納上的結論可知：

在資金無法借貸的前提下，不同投資人必須依個別的可行投資集合，結合自己的風險偏好，來選擇最適投資組合。

不同的投資人由於風險迴避在程度上的差異，即使面對相同的效率前緣，也不一定會有相同的最佳投資組合。

（二）、資本市場、無風險資產與投資組合的選擇

效率前緣與效用無異曲線的結合，說明投資組合的選擇原理，然而此是指在投資人「無法進行資金借貸」的情況下所推導出的結論。

不過，在本節中讀者將看到在引入資本市場（CapitalMarket）--資金的借貸市場，與無風險資產（Risk-freeAsset）下，投資組合的選擇原理將有哪些不同之處。

資本市場的存在與否，與投資人對投資組合的選擇有密切的關係。

基本上每個投資人所擁有的資金數量都不同，對風險的偏好與資金的需求數量也不盡相同，因此在受制於資本數量的情形下，只能達成「有條件」的最佳選擇（如圖5-4中的I與B點）；然而若能透過資本市場的運作，將閒置資金以一定的價格（即利率）貸放給資金需求者，而能提高借貸雙方在投資上所獲致的效用。

即將資金的貸放（Lending）想成一種「可供作投資的金融資產」，同時投資這種金融資產可以是無風險的（Risk-free），有如將多餘的閒錢存入信用基礎堅強的金融機構，並由其輾轉貸放給資金需求者的過程一樣，存款者領取利息，而借款者支付較高的利息。

但在本節裡基於說明理論的需要，則須假設資本市場是一個「能以無風險利率（Risk-freeRateofInterest）借貸」的場所。

所謂「無風險利率」，可以想成投資是沒有任何風險（即所獲報酬確定不變）而可獲得之報酬率。

若上述的假設成立，則意味著「無風險資產」的存在，此時投資人可透過發行無風險資產或證券來募集所需資金，資金來源不再受限；且多餘的資金也可透過無風險資產的投資得到去處，即風險迴避程度較高的投資人可將部分資金投資於無風險資產，來降低其投資組合的風險。

在無風險資產存在時，投資組合的風險將如下式：

投資組合=

投資組合的預期報酬率=

在上式，F表無風險資產，X表風險性資產（RiskyAsset），其中X可為原先在「風險—報酬」平面上任何風險不為零的一個投資組合，而

與

則分表預期報酬率。

與

分別為該投資組合中投資在F與X的權數。

而Var（P）則表示此包含無風險資產投資組合的風險值。

但若無風險資產F加入之後，投資組合P的風險將有何變化？

由於F的風險值為零，且依數學原理「任何變數與常數的共變數為零」（即F與風險性資產X的報酬是沒有相關的），可得：

（5-1）

換句話說，此時投資組合的風險大小，將依投資組合中風險性資產的持有比例來決定，因此在資本市場與無風險資產存在時，風險迴避程度較高的投資人可透過在風險資產上的減碼，降低其投資組合的風險。

相對地，風險迴避程度較低的投資人，亦可透過資金的借入（Borrowing）來提高其對風險性資產的投資額度，此時風險性資產的權數

可能大於1，即持有超過自有資金所能負荷額度的風險性資產，而

則會小於0，因為投資人為無風險資產的發行者（為融資者），必須支付利率為

的利息給貸放者。

此時的投資組合如圖5-5。

將上述的結論以圖5-5作進一步的說明，至少隱含了三個重要的訊息：

圖5-5資本市場與無風險資產存在時的投資組合選擇

資料來源：

謝劍平，「財務管理新觀念與本土化（再版）」

1.風險—報酬的線性關係

由於投資組合在數學上是一種線性分配的關係，由

與其他投資組合的連線，恰可表示加入無風險資產後可供投資人選擇的新投資組合群。

舉實例來說明。

設由兩類資產（或投資組合）所組成的投資組合I，其一為風險性資產X，預期報酬率為10%，風險值10%；其二為無風險資產F，報酬率為6%，風險值為0。

若X與F占有的權重各半，則投資組合的預期報酬率為0.5．10%+0.5．6%=8%，而風險值將依風險性資產的權重計算為0.5．10%=5%。

如此的結論若以平面來表示則如圖5-6所示。

圖5-6顯示了「風險—報酬」的線性關係。

由於預期報酬率與風險值在此時都是「加權平均」的結果（即使權數改變也是如此），因而由此兩種資產所組成的投資組合皆會位於X與F的連線上。

另一方面，更可試著計算出此風險與報酬間的線性函數（LinearFunction）：

。

上式中的0.4為該線性函數圖形的斜率，由預期報酬率相對於單位風險值的變化率而得。

經由這個線性函數，則可以推算出在特定風險水準S下的投資組合I之預期報酬率

。

但除了數學上的解釋，重要的是高風險高報酬之關係的體現—風險的提高，合理的預期報酬率也跟著增加。

另外，這樣的線性函數尚可以將之「一般化」（Generalization）還原成可適用於其他狀況的式子：

（5-2）

圖5-6加入無風險資產後呈現的「風險—報酬」線性關係

資料來源：

謝劍平，「財務管理新觀念與本土化（再版）」

上式中，

代表與無風險資產結合的風險性資產X所提供的預期報酬率，

則為其風險值。

「

」表示預期報酬率相對於單位風險值的變化率（即上例斜率0.4的求算方式），即多承擔一單位的風險所能獲得的預期報酬率，可稱「為單位風險溢酬」；而

則為欲求算之投資組合的總風險值。

因此投資人若知道自己風險偏好的程度大小，即可利用此式對合理的報酬水準

做個估計，以決定投資組合中資產配置的權數。

2.效率前緣的改善

由以上的推導可知，在無風險資產加入後，投資人可用原效率前緣上的任一個投資組合和無風險資產結合以降低風險，並以線性函數來描繪。

然而在「效率」的前提下投資人應會選擇「連線後」與原效率前緣「相切」的M組合來搭配無風險資產。

由於相較於

與N1、N2的結合（與原效率前緣「相交」的兩條虛線），

與M的結合都提供了較為優越的投資效率。

由此可知，原先的效率前緣在無風險資產加入後，將由效率上較優越的「

-M–B2」連線，又稱資本市場線（CapitalMarketLine，簡稱CML）所取代。

要注意的是，其中「M–B2」的部分，表示投資人將以融資（Financing）方式來進行投資，即對風險性資產的投資比例大於1的情形。

再以前面的實例說明其中的原因，由於資本市場存在，若投資人以融資方式將總投資額度提高到原先的1.5倍（其中50%來自貸款），並全部投資於風險性資產，則依前面的討論，此時的投資組合應為：

投資組合1.5X–0.5F

預期報酬率應為1.5．10%-0.5．6%=12%，風險值也提高為：

1.5．10%=15%，並代入前面所求得的線性函數是相符的，表示以融資提高額度後的投資組合，仍可以線性關係式來函蓋。

同理，在圖5-5中的「M–B2」連線也會是可供選擇的投資組合群，並且能提供較B1或N2更好的投資效率（固定風險來看）。

因此可知，效率前緣在無風險資產存在時，將由原先的弧線「N1–M–N2」變成效率上更佳的直線「

-M–B2」，投資人可就其風險偏好程度在新的效率前緣上，選擇更好的投資組合。

3.投資效用的提高

在原先的效率前緣下，投資人A與B無法進行借貸（資本市場不存在），因此在各自的風險偏好水準下，只能分別選擇A1與B1，此時的兩人得到的效用水準是較低的，此結論有如圖5-4所示。

然而在資本市場與無風險資產存在時，投資人A由於風險迴避程度較高，在將部分資金分散到無風險資產後，則最終選擇為A2，稱為貸出投資組合（LendingPortfolio）；而投資人B也可透過融資來加碼，提高投資額度，其最終選擇為B2，稱為借入投資組合（BorrowingPortfolio）。

如此一來，結果是兩人透過投資活動所獲得的效用都提高了。

由以上的分析可知，資本市場與無風險資產的存在，不但為投資人提供了更充裕、更有效率的籌碼，同時也提高投資組合選擇上所獲致的滿足程度，這對於整體投資環境的健全與改善是十分有益的。

由此結論，在目前國內一片金融自由化與建設亞太金融中心的各種呼聲高漲之際，似乎唯有從「根」思考國內資本市場的現況與發展是否足以適應金融變革的要求，才是正確的方向。

關鍵字

◆效率投資組合（EfficientPortfolio）

◆效率前緣（EfficientFrontier）

◆效用無異曲線（UtilityIndifferenceCurve）

◆無風險利率（Risk-freeRateofInterest）

◆資本市場線（CapitalMarketLine，簡稱CML）

◆貸出投資組合（LendingPortfolio）

◆借入投資組合（BorrowingPortfolio）

問題與討論

1、試問效率前緣是如何找出來的，所依尋的基本原理是什麼？

2、試問為何要組成一個效率投資組合，它能帶給投資人什麼樣的保障？

3、何謂市場資本線，它和效率前緣的差別在那裡？

4、假設今天有一個投資組合落在資本市場線上，那它是否為一個有效率的投資組合？

5、試問「只要是在資本市場線上的投資組合都是效率投資組合」這句話，成立嗎？

6、如果投資人可以找到效率前緣，是否表示投資一定可以找到最理想的投資組合？